2023届上海市长宁区高级中学九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果△ABC∽△DEF，且对应边的AB与DE的长分别为2、3，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A．4:9 B．2:3 C．3:2 D．9:4
2．如图，P（x，y）是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的逐渐增大，矩形OAPB的面积（ ）

A．保持不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．无法确定
3．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　）
A．6个 B．8个 C．9个 D．12个
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，命中靶心
B．抛一枚硬币，一定正面朝上
C．打开电视机，它正在播放新闻联播
D．三角形的内角和等于180°
5．如图，在中，，，以为斜边向上作，.连接，若，则的长度为（ ）

A．或 B．3或4 C．或 D．2或4
6．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．2011 B．2015 C．2019 D．2020
8．已知点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．无法确定
9．天津市一足球场占地163000平方米，将163000用科学记数法表示应为（   ）
A．163×103 B．16.3×104 C．1.63×105 D．0.163×106
10．已知与各边相切于点，，则的半径（ ）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2这6个数中任意取出一个数记作k，则既能使函数y＝的图象经过第一、第三象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根的概率为_____．
12．如图，正方形的边长为，在边上分别取点，，在边上分别取点，使．．．．．依次规律继续下去，则正方形的面积为__________．

13．如果函数 是二次函数，那么k的值一定是________．
14．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连结，若，则的度数是____．

15．如图，正方形中，点为射线上一点，，交的延长线于点，若，则______

16．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________
17．如图，的对角线交于O，点E为DC中点，AC=10cm，△OCE的周长为18cm，则的周长为____________．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知经过点，且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A(-3，2)，则__________．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，是⊙的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点．
（1）连接，求；
（2）点在上，，DF交于点．若，求的长．

20．（6分）先化简，后求值：，其中x＝﹣1．
21．（6分）如图，四边形中，，平分，点是延长线上一点，且.

（1）证明：；
（2）若与相交于点，，求的长.
22．（8分）解方程
（1）（用公式法求解）
（2）
23．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．

24．（8分）在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角形为“智慧三角形”．

（1）如图1，已知、是⊙上两点，请在圆上画出满足条件的点，使为“智慧三角形”，并说明理由；
（2）如图2，是等边三角形，，以点为圆心，的半径为1画圆，为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，求的最小值；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙的半径为1，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点的坐标．
25．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上．
（1）图中AC边上的高为　 　个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：
①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．

26．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．
（1）写出点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．
【详解】∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC与△DEF的面积之比等于（）2＝（）2＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
2、A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
【详解】解：依题意有矩形OAPB的面积=2×|k|=3，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数 y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，解题的关键是掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
3、C
【分析】设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案即可解决．
【详解】解：设有x个队参赛，
根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，
解得：x＝9或x＝﹣8（舍去），
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，找到题意中蕴含的等量关系.
4、D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；
B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；
D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5、A
【分析】利用A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出，再作，设AE=DE=x，最后利用勾股定理求解即可.
【详解】解：如图所示，

∵△ABC、△ABD都是直角三角形，
∴A,B,C,D四点共圆，
∵AC=BC，
∴，
∴，
作于点E,
∴△AED是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则，
∵CD=7,CE=7-x,
∵，
∴AC=BC=5，
在Rt△AEC中，，
∴
解得，x=3或x=4，
∴或.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.
6、A
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、当a=0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解题的关键．
7、C
【分析】根据方程解的定义，求出a-b，利用作图代入的思想即可解决问题．
【详解】∵关于x的一元二次方程的解是x=−1，
∴a−b+4=0，
∴a−b=-4，
∴2015−(a−b)=2215−（-4）=2019.
故选C.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
8、B
【分析】直接根据反比例函数的性质排除选项即可．
【详解】因为点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，
，反比例函数的图像在二、四象限，所以在每一象限内y随x的的增大而增大，
即；
故选B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9、C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将163000用科学记数法表示为：1.63×105 ．
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10、C
【分析】根据内切圆的性质，得到，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG⊥AC于点G，然后求出BG的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，作BG⊥AC于点G，

∵是的内切圆，
∴，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，
∴AC=8，AB=7，BC=5，
在Rt△BCG和Rt△ABG中，设CG=x，则AG=，由勾股定理，得：
，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的k的值，然后确定使方程有实数根的k值，找到同时满足两个条件的k的值即可．
【详解】解：这6个数中能使函数y＝的图象经过第一、第三象限的有1，2这2个数，
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+1＝0有实数根，
∴k2﹣4≥0，
解得k≤﹣2或k≥2，
能满足这一条件的数是：﹣3、﹣2、2这3个数，
∴能同时满足这两个条件的只有2这个数，
∴此概率为，
故答案为：．
12、
【分析】利用勾股定理可得A1B12=a2，即正方形A1B1C1D1的面积，同理可求出正方形A2B2C2D2的面积，得出规律即可得答案．
【详解】∵正方形ABCD的边长为a，，
∴A1B12=A1B2+BB12==a2，A1B1=a，
∴正方形A1B1C1D1的面积为a2，
∵，
∴A2B22==()2a2，
∴正方形A2B2C2D2的面积为()2a2，
……
∴正方形的面积为()na2，
故答案为：()na2
【点睛】
本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键．
13、-1
【解析】根据二次函数的定义判定即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴k2-7＝2，k-1≠0
解得k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．
14、
【分析】先根据旋转的性质得出，然后得出，进而求出的度数，再利用即可求出答案．
【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，得到

∵

故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．
15、
【分析】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，证出△BFG是等腰直角三角形，得出BG=FG=BF=，由三角形的外角性质得出∠AED=30°，由直角三角形的性质得出OE=OA，求出∠FEG=60°，∠EFG=30°,进而求出OA的值，即可得出答案.
【详解】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，如图所示
则∠BGF=∠EGF=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ADB=∠CBG=45°
∴△BFG是等腰直角三角形
∴BG=FG=BF=
∵∠ADB=∠EAD+∠AED，∠EAD=15°
∴∠AED=30°
∴OE=OA
∵EF⊥AE
∴∠FEG=60°
∴∠EFG=30°
∴EG=FG=
∴BE=BG+EG=
∵OA+AO=
解得：OA=
∴AB=OA=
故答案为

【点睛】
本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，综合性较强，需要熟练掌握相关性质.
16、4
【解析】由韦达定理得出x1+x2=6，x1·x2=m+4，将已知式子3x1= | x2|+2去绝对值，对x2进行分类讨论，列方程组求出x1、x2的值，即可求出m的值.
【详解】由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4，
①当x2≥0时，3x1=x2+2，
，解得，
∴m=4；
②当x2＜0时，3x1=2﹣x2，
，解得，不合题意，舍去.
∴m=4.
故答案为4.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x2分类讨论去绝对值是解题的关键.
17、
【分析】先利用平行四边形的性质得AO=OC,再利用三角形中位线定理得出BC=2OE，然后根据AC=10cm，△OCE的周长为18cm，可求得BC+CD，即可求得的周长．
【详解】∵的对角线交于O，点E为DC中点，
∴EO是△DBC的中位线，AO=CO，CD=2CE，
∴BC=2OE，
∵AC=10cm，
∴CO=5cm，
∵△OCE的周长为18cm，
∴EO+CE=18−5=13(cm)，
∴BC+CD=26cm，
∴▱ABCD的周长是52cm.
故答案为：52cm.
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解答本题的关键．
18、
【解析】分别过A点作x轴和y轴的垂线，连接EC，由∠COE=90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径、，由A点坐标及垂径定理可求出OE和OC，解直角三角形即可求得．
【详解】解：如图，过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，

∵∠COE=90°，
∴EC是⊙A的直径，
∵A(−3，2)，
∴OM=3，ON=2，
∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，
∴M为OE中点，N为OC中点，
∴OE=2OM=6，OC=2ON=4，
∴=．
【点睛】
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、垂径定理和锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）．
【解析】（1）根据垂径定理可得AB垂直平分CD，再根据M是OA的中点及圆的性质，得出△OAD是等边三角形即可；
（2）根据题意得出∠CNF=90°，再由Rt△CDE计算出CD，CN的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出∠F=60°，从而根据三角函数关系计算出FN的值即可．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
∵是⊙的直径，于点
∴AB垂直平分CD，
∵M是OA的中点，
∴
∴
∴∠DOM=60°，
又∵OA=OD
∴△OAD是等边三角形
∴∠OAD=60°．

（2）如图，连接CF，CN，
∵OA⊥CD于点M，
∴点M是CD的中点，
∴AB垂直平分CD
∴NC=ND
∵∠CDF=45°，
∴∠NCD=∠NDC=45°，
∴∠CND=90°，
∴∠CNF=90°，
由（1）可知，∠AOD=60°，
∴∠ACD=30°，
又∵交的延长线于点，
∴∠E=90°，
在Rt△CDE中，∠ACD=30°，，
∴
在Rt△CND中，∠CND=90°，∠NCD=∠NDC=45°，，
∴
由（1）可知，∠CAD=2∠OAD=120°，
∴∠F=180°-120°=60°，
∴在Rt△CFN中，∠CNF=90°，∠F=60°，，
∴
【点睛】
本题考查了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形对角互补的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用，综合性较大，解题时需要灵活运用边与角的换算．
20、x﹣2，-2．
【分析】由题意先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：
＝
＝x﹣2，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1﹣2＝﹣2．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．
【详解】解：（1）：∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2） 过点作于点，

∵，∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．
22、（1），；（2）=1，.
【解析】（1）先确定a，b，c的值，计算判别式，利用求根公式求出方程的根．
（2）移项后，先提取公因式（x-1）即可得到（3x-2）（x-1）=0，再解两个一元一次方程即可．
【详解】解：（1）
a=1，b=-4，c=-7，
==44
∴==
∴，；
（2），
，
，
∴x-1=0或3x-2=0，
∴=1，.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
23、（1）相切，理由见解析；（2）DE=．
【分析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）相切，
理由如下：
连接AD，OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴CD=BD=BC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．
（2）由（1）知∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得,
AD==1．
∵SACD=AD•CD=AC•DE，
∴×1×3=×5DE．
∴DE=．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、勾股定理等知识.正确大气层造辅助线是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）；（1）或
【分析】（1）连接AO并且延长交圆于，连接AO并且延长交圆于，即可求解；
（2）根据MN为⊙的切线，应用勾股定理得，所以OM最小时，MN最小；根据垂线段最短，得到当M和BC中点重合时，OM最小为，此时根据勾股定理求解DE，DE和MN重合，即为所求；
（1）根据“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当写斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为1，根据勾股定理可求得另一条直角边，再根据三角形面积可求得斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
【详解】（1）如图1，点和均为所求
理由：连接、并延长，分别交于点、，
连接、，∵是的直径，∴，
∴是“智慧三角形”
同理可得，也是“智慧三角形”

（2）∵是的切线，∴，
∴，
∴当最小时，最小，
即当时，取得最小值，
如图2，作于点，过点作的一条切线，切点为，连接，

∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵是的一条切线，∴，，
∴，
当点与重合时，与重合，
此时．
（1）由“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，
根据题意，得一条直角边.
∴当最小时，的面积最小，即最小时．
如图1，由垂线段最短，可得的最小值为1．

∴.
过作轴，
∵，
∴．
在中，，
故符合要求的点坐标为或．
【点睛】
本题考查了圆与勾股定理的综合应用，掌握圆的相关知识，熟练应用勾股定理，明确“智慧三角形”的定义是解题的关键．
25、（1）；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）利用等面积法即可求出AC边上的高；
（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置连接即可；
②利用矩形的判定方法即可画出．
【详解】解：（1）由图可知,设AC边上的高为x，
则由三角形面积公式可得：
解得，即AC边上的高为.
（2）①如图所示：△DEC即为所求．

②如图所示：矩形ABMN即为所求．

【点睛】
本题考查作位似图形，矩形的判定，勾股定理.（1）中熟练掌握等面积法是解决此问的关键；（2）中能作出AC的中点是解题关键；（3）中注意矩形的四个角都是直角，且矩形的一边为AB，另一边要与△ABC中AB边上的高相等.
26、（1）点B的坐标为（1，3）；（2）点D的坐标为（，0）；（3）存在，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．
【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标；
（2）根据△ABC∽△ADB，得到=，代入计算求出AD，得到点D的坐标；
（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC＝4，
∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，
∴＝，即＝，
解得，BC＝3，
∴点B的坐标为（1，3）；
（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，

则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∴＝，
解得，AD＝，
则OD＝AD﹣AO＝，
∴点D的坐标为（，0）；
（3）存在，
由题意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，
当PQ⊥AB时，PQ∥BD，

∴△APQ∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得，t＝，
当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得，t＝，
综上所述，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．