2023届上海市文来中学九年级数学第一学期期末监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．二次函数的图象如图，有下列结论:①，②，③时，，④，⑤当且时，，⑥当时，.其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④⑥ C． ②⑤⑥ D．②③⑤
2．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
3．函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．如果双曲线y＝经过点（3、﹣4），则它也经过点（　　）
A．（4、3） B．（﹣3、4） C．（﹣3、﹣4） D．（2、6）
5．的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
6．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36
8．对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值= D．最小值=
9．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（　　）

A． B．
C． D．
10．中，，是边上的高，若，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知函数的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论；①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）．其中正确的结论为___．

12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____．

13．如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=____________.

14．如图，已知，，，若，，则四边形的面积为______．

15．关于的方程有一个根，则另一个根________.
16．如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，将图中的菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′1，若∠BAD′＝110°，在旋转的过程中，点C经过的路线长为____．

17．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．

画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．
所以直线AD就是过点A的圆的切线．
请回答：该画图的依据是______________________________________．
18．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入3个白球(每个球除颜色外其余都与红球相同).摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.7左右，则袋中红球约有_____个.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1250万元．
（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于400万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
20．（6分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使，请求出点D的坐标；
（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
21．（6分）表是2019年天气预报显示宿迁市连续5天的天气气温情况．利用方差判断这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大．

12月17日
12月18日
12月19日
12月20日
12月21日
最高气温（℃）
10
6
7
8
9
最低气温（℃）
1
0
﹣1
0
3

22．（8分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出件，每件获利元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价元，则平均每天可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上获利元，那么每件童装应降价多少元？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，3），B（，2），C（0，）．

（1）以y轴为对称轴，把△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△；
（2）在（1）的基础上，
①以点C为旋转中心，把△顺时针旋转90°，画出旋转后的△；
②点的坐标为 ，在旋转过程中点经过的路径的长度为_____（结果保留π）．
24．（8分）如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．

25．（10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB•AD．
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值．

26．（10分）已知是⊙的直径，⊙过的中点，且于
（1）求证：是⊙的切线
（2）若，求的长

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x==1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c最小，从而解决问题；④根据抛物线x=图象在x轴上方，即可得到x=所对应的函数值的符号；⑤由可得，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题.
【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0，
由对称轴在y轴的右边可得x=＞0，从而有b<0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c<0，
则abc>0，故①错误；
②由对称轴方程x==1得b=-2a，即2a+b=0，故②正确；
③由图可知，当x=1时，y=a+b+c最小，则对于任意实数m（），都满足，即，故③正确；
④由图像可知，x=所对应的函数值为正，
∴x=时，有a-b+c>0，故④错误；
⑤若，且x1≠x2，
则，
∴抛物线上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称，
∴1-x1=x2-1，即x1+x2=2，故⑤正确．
⑥由图可知，当时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；
∴正确的有②③⑤；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题．
2、B
【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=1．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3、C
【解析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，且，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4、B
【解析】将（3、﹣4）代入即可求得k，由此得到答案.
【详解】解：∵双曲线y＝经过点（3、﹣4），
∴k＝3×（﹣4）＝﹣12＝（﹣3）×4，
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，比例系数k的值等于图像上点的横纵坐标的乘积.
5、B
【分析】根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】
本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
6、D
【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A．∵△=b2-4ac=1-4×1×1=-3＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项错误；
B．变形为
∴此方程有没有实数根，故本选项错误；
C．∵△=b2-4ac=22-4×1×1=0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D．∵△=b2-4ac=42-4×1×1=12，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
7、B
【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有1人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：1+x+(x+1)x＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8、D
【解析】解：由当时有最大值，得时，，，
反比例函数解析式为，
当时，图象位于第四象限，随的增大而增大，
当时，最小值为
故选D．
9、C
【解析】在半径AO上运动时，s=OP1=t1；在弧BA上运动时，s=OP1=4；在BO上运动时，s=OP1=（4π+4-t）1，s也是t是二次函数；即可得出答案．
【详解】解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s=OP1=t1；
在弧AB上运动时，s=OP1=4；
在OB上运动时，s=OP1=（1π+4-t）1．
结合图像可知C选项正确
故选：C．
【点睛】
此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s与时间t之间的函数关系是解决问题的关键．
10、B
【分析】根据题意画出图形，当△ABC中为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件可以推出△ABD∽△BCD，即可得出∠ABC的度数．
【详解】
（1）如图，当△ABC中为锐角三角形时，
∵BD⊥AC，
∴△ABD∽△BCD，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=∠C=60°，∠A=∠CBD=30°，
∴∠ABC=90°．
（2）如图，当△ABC中为钝角三角形时，

∵BD⊥AC，
∴△ABD∽△BCD，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=∠DCB=60°，∠A=∠DBC=30°，
∴∠ABC=30°．
故选择B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，将三角形分锐角三角形和钝角三角形分别讨论是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、②③④．
【分析】①错误．根据x1＜x2＜0时，函数y随x的增大而减小可得；
②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题；
③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），求出PA、PB，推出PA＝4PB，由SAOB＝S△OPB+S△OPA即可求出S△AOB＝7.5；
④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），推出PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，由△OPB∽△APO，可得OP2＝PB•PA，列出方程即可解决问题．
【详解】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，
∴y1＞y2，故①错误．
②正确．∵P（0，﹣3），
∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），
∴AB＝5，OA＝＝5，
∴AB＝AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正确．
③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，
∴PA＝4PB，
∵SAOB＝S△OPB+S△OPA＝+＝7.5，故③正确．
④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，
∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，
∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，
∴∠BOP＝∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴＝，
∴OP2＝PB•PA，
∴m2＝﹣•（﹣），
∴m4＝36，
∵m＜0，
∴m＝﹣，
∴A（2，﹣），故④正确．
∴②③④正确，
故答案为②③④．

【点睛】
本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．
12、1．
【分析】根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.
【详解】解：依题意，令得：
∴
得：
解得：（舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单.
13、
【分析】连接AD,过M作MG⊥AD于G,根据正六边形的相关性质，求得AD,MD的值，再根据∠CDG=60°，求出DG,MG的值，最后利用勾股定理求出AM的值.
【详解】解：连接AD,过M作MG⊥AD于G,则由正六边形可得，
AD=2AB=4，∠CDA=60°，
又MD=CD=1，
∴DG=,MG=,
∴AG=AD-DG=,
∴AM=
故答案为．

【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
14、1
【分析】过点D作DE⊥AC于E，利用AAS证出ABC≌DAE，从而得出BC=AE，AC=DE，∠BAC=∠ADE，根据锐角三角函数可得，设BC=AE=x，则AC=DE=4x，从而求出CE，利用勾股定理列出方程即可求出x的值，从而求出BC、AC和DE，再根据四边形的面积=即可求出结论．
【详解】解：过点D作DE⊥AC于E

∴∠EAD＋∠ADE=90°
∵
∴∠BAC＋∠EAD=90°
∴∠BAC=∠ADE
∵∠BCA=∠AED=90°，
∴ABC≌DAE
∴BC=AE，AC=DE，∠BAC=∠ADE
∴
∴
设BC=AE=x，则AC=DE=4x
∴EC=AC－AE=3x
在RtCDE中，CE2＋DE2=CD2
即（3x）2＋（4x）2=52
解得：x=1或-1（不符合题意舍去）
∴BC=1，AC=DE=4
∴四边形的面积=
=BC·AC＋AC·DE
=×1×4＋×4×4
=1
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解题关键．
15、2
【分析】由根与系数的关系，根据两根之和为计算即可．
【详解】∵关于的方程有一个根，
∴
解得：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系的结构是解题的关键．
16、π．
【分析】连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，由菱形的性质得出∠BAC=∠D′AC′=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BM=AB=1，由勾股定理求出AM=BM=，得出AC=2AM=2，求出∠CAC′=50°，再由弧长公式即可得出结果．
【详解】解：连接AC、AC′，作BM⊥AC于M，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，
∴∠BAC=∠D′AC′=30°，
∴BM=AB=1，
∴AM=BM=，
∴AC=2AM=2，
∵∠BAD′=110°，
∴∠CAC′=110°-30°-30°=50°，
∴点C经过的路线长==π
故答案为：π
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理和等腰三角形的性质求出AC的长是解决问题的关键．
17、90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【详解】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．
故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18、1
【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.1，口袋中有3个白球，
∵假设有x个红球，
∴ ，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，
∴口袋中有红球约有1个．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）根据”2016年投入资金年投入资金”列方程求解即可;
（2）根据题意，享受奖励的搬迁户分为前1000户和1000户之后的部分，可以设搬迁户总数为，则有前1000户享受奖励总额+1000户之后享受奖励综合≥400万元，据此可解.
【详解】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1000（1+x）2＝1250+1000，
解得：x＝0.5或x＝﹣2.5（舍），
答：从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥4000000，
解得：a≥1400，
答：今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，认真审题，找准数量关系列出方程是解答关键.
20、（1）点A、B、C的坐标分别为：（−1，0）、（5，0）、（0，−5）；（2）P（2，3）；（3）D（，）；（4）M的坐标为：（2，7）或（2，−3）或（2，6）或（2，−1）．
【分析】（1）令y＝0，则x＝−1或5，令x＝0，则y＝−5，即可求解；
（2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求，即可求解；
（3）S△BDE：S△BEF＝2：3，则，即：，即可求解；
（4）分MB为斜边、MC为斜边、BC为斜边三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）令y＝0，则x＝−1或5，令x＝0，则y＝−5，
故点A、B、C的坐标分别为：（−1，0）、（5，0）、（0，−5）；
（2）抛物线的对称轴为：x＝2，
点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求，

直线BC的表达式为：y＝−x＋5，
当x＝2时，y＝3，故点P（2，3）；
（3）设点D（x，−x2＋4x＋5），则点E（x，−x＋5），
∵S△BDE：S△BEF＝2：3，则，
即：，
解得：m＝或5（舍去5），
故点D（，）；
（4）设点M（2，m），而点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，−5），
则MB2＝9＋m2，MC2＝4＋（m−5）2，BC2＝50，
①当MB为斜边时，则9＋m2＝4＋（m−5）2＋50，解得：m＝7；
②当MC为斜边时，则4＋（m−5）2=9＋m2+50，可得：m＝−3；
③当BC为斜边时，则4＋（m−5）2+9＋m2=50可得：m＝6或−1；
综上点M的坐标为：（2，7）或（2，−3）或（2，6）或（2，−1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．
21、见解析
【分析】根据题意，先算出各组数据的平均数，再利用方差公式计算求出各组数据的方差比较大小即可．
【详解】∵高＝（℃），
低 ＝（℃），
高＝＝2（℃2）
低＝＝1．84（℃2）
∴高＞低
∴这5天的日最高气温波动大．
【点睛】
本题考查方差的应用，解题的关键是熟练掌握方差公式：S2＝．
22、应该降价元．
【解析】设每件童装应降价x元，那么就多卖出2x件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．
【详解】设每件童装应降价元，
由题意得：，
解得：或．
因为减少库存，所以应该降价元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解．
23、（1）画图见解析；（2）①画图见解析；② （4，-2），.
【分析】（1）根据轴称图形的性质作出图形即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；
②在坐标系中直接读取数值即可，第二空根据弧长计算公式进行计算即可.
【详解】解：（1）如图所示：△为所求；
（2）①如图所示，△为所求；
②由图可知点的坐标为（4，-2）；
∵= =5
在旋转过程中点经过的路径的长度为： =.
故答案为：（4，-2），.
【点睛】
本题考查了轴对称和旋转作图，以及弧长计算公式的应用.掌握弧长计算公式是解题的关键.
24、1
【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到
根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出
进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长．
【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，

则
∵AB∥CD，
∴点M、O、N在同一条直线上，
在Rt△AOM中，
∴ON=MN﹣OM=3，
在Rt△CON中，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=1．
【点睛】
考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AF＝．
【分析】（1）先根据角平分线得出∠CAD＝∠CAB，进而判断出△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）先利用直角三角形的性质得出CE＝AE，进而得出∠ACE＝∠CAE，从而∠CAD＝∠ACE，即可得出结论；
（3）由（1）的结论求出AC，再求出CE＝3，最后由（2）的结论得出△CFE∽△AFD，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD•AB；
（2）在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，
∴CE＝AE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴CE∥AE；
（3）由（1）知，AC2＝AD•AB，
∵AD＝4，AB＝6，
∴AC2＝4×6＝24，
∴AC＝2，
在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝3，
由（2）知，CE∥AD，
∴△CFE∽△AFD，
∴，
∴，
∴AF＝．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质和平行线的判定，掌握相似三角形的判定及性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和平行线的判定是解决此题的关键．
26、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）连结OD，如图，欲证明DE是⊙O的切线，只需推知OD⊥DE即可；
（2）利用等面积法进行解答．
【详解】（1）证明：连接，如图

∵
∴为的中位线，

∵
∴
∴是⊙的切线．
（2）连接，如图

则
∵AB是直径
∴
∴
根据勾股定理得：AD=12
在Rt△DAC中，AD•DC=AC•DE
∴
【点睛】
本题考查的是切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．