山东单县北城三中联考2022年九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数为( )

A． B． C． D．
2．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( )
A．2x2－6x＋1＝0 B．3x2－x－5＝0 C．x2＋x＝0 D．x2－4x＋4＝0
3．袋中有5个白球，x个红球，从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则x为
A．25 B．20 C．15 D．10
4．下列命题正确的是( )
A．对角线相等四边形是矩形
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．在反比例函数图像上，随的增大而增大
D．若一个斜坡的坡度为，则该斜坡的坡角为
5．已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是( )
A．k≤2且k≠1 B．k<2且k≠1
C．k=2 D．k=2或1
6．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）
A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm
7．如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．常胜村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为15000元，求人均收入的年增长率．若设人均收入的年增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，中，，顶点，分别在反比例函数（）与（）的图象上.则下列等式成立的是（ ）

A． B． C． D．
11．下列各组图形中，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，AC的长是（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12
二、填空题（每题4分，共24分）
13．比较大小：________．（填“，或”）
14．如图所示，在中，，垂直平分，交于点，垂足为点，，，则等于___________．

15．已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P是BC上的一点，若∠APD=90°，则AP=_____．
16．关于的方程一个根是1，则它的另一个根为________．
17．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_____．

18．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，若∠OBA＝55°，则∠ACB＝_____．

三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的最小整数值；
（2）当时，求的值．
20．（8分）阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．

解决问题：
（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是 ．(填序号)
①ABM；②AOP；③ACQ
（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，为半径画⊙B，若直线y=x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心B的横坐标的取值范围．

21．（8分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A1，A2，A3，A4，现对A1，A2，A3，A4统计后，制成如图所示的统计图．
（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；
（2）将条形统计图补充完整，并求出A1所在扇形的圆心角的度数；
（3）现从A1，A2中各选出一人进行座谈，若A1中有一名女生，A2中有两名女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．

22．（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

23．（10分）解方程：2（x-3）2=x2-1．
24．（10分）如图，在正方形中，，点在正方形边上沿运动（含端点），连接，以为边，在线段右侧作正方形，连接、.
小颖根据学习函数的经验，在点运动过程中，对线段、、的长度之间的关系进行了探究.
下面是小颖的探究过程，请补充完整：
（1）对于点在、边上的不同位置，画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如下表：

位置
位置
位置
位置
位置
位置
位置

在、和的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数.
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象：

（3）结合函数图像，解决问题：
当为等腰三角形时，的长约为
25．（12分）解方程：
（1）(x+1)2﹣9＝0
（2）x2﹣4x﹣45＝0
26．如图，▱ABCD中，连接AC，AB⊥AC，tanB＝，E、F分别是BC，AD上的点，且CE＝AF，连接EF交AC与点G．
（1）求证：G为AC中点；
（2）若EF⊥BC，延长EF交BA的延长线于H，若FH＝4，求AG的长．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用，能求出∠ACD的度数是解此题的关键．
2、D
【解析】试题分析：选项A，△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项B△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C，△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，即可得该方程有两个相等的实数根．故选D．
考点：根的判别式．
3、B
【解析】考点：概率公式．
分析：根据概率的求法，除去红球的概率，就是白球的概率．找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：从中任意取一个，恰为红球的概率为4/5，
,那从中任意取一个，恰为白球的概率就为1/5，
据题意得5/(5+x)=1/5
，解得x=1．
∴袋中有红球1个．
故选B．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= m/n
4、D
【分析】根据矩形的判断定理、相似三角形的性质、反比例函数的性质、坡度的定义及特殊的三角函数值解答即可.
【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，故B错误；
在反比例函数图像上，在每个象限内，随的增大而增大，故C错误；
若一个斜坡的坡度为，则tan坡角= ，该斜坡的坡角为，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查的是矩形的判断定理、相似三角形的性质、反比例函数的性质、坡度的定义及特殊的三角函数值，熟练的掌握各图形及函数的性质是关键.
5、D
【分析】当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，函数为二次函数，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．
【详解】当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；
当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x轴只有一个交点可知，
∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，
解得k=2，
综上可知k的值为1或2，
故选D．
【点睛】
本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，解决本题时注意考虑一次函数和二次函数两种情况．
6、C
【分析】根据150°的圆心角所对的弧长是5πcm，代入弧长公式即可得到此弧所在圆的半径．
【详解】设此弧所在圆的半径为rcm，
∵150°的圆心角所对的弧长是5πcm，
∴，
解得，r＝6，
故选：C．
【点睛】
本题考查弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键.
7、A
【解析】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
详解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）．
故选A．

点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
8、C
【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE的长，EC=AC-AE，即可计算DE的长；
【详解】∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，
∴AE=2，
即EC=AC-AE=6-2=4；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
9、D
【分析】根据“每年的人均收入上一年的人均收入（1年增长率）”即可得．
【详解】由题意得：2018年的人均收入为元
2019年的人均收入为元
则
故选：D．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等式关系是解题关键．
10、C
【解析】 【分析】过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，得出 ，可得出，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可．
【详解】解：过A作AF垂直x轴，过 B点作BE垂直与x轴，垂足分别为F， E，

由题意可得出 ，
继而可得出
顶点，分别在反比例函数 （）与 （）的图象上
∴
∴
∴
∴
A. ，此选项错误，
B. ，此选项错误；
C. ，此选项正确；
D. ，此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比．
11、D
【分析】根据相似图形的概念：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，直接判断即可得出答案，
【详解】解：．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是相似图形的定义，理解掌握概念是解题的关键.
12、B
【分析】根据角的余弦值与三角形边的关系即可求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，cosA＝，AB＝10，
∴AC＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，理解余弦的定义，得到cosA＝是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、<
【分析】比较与的值即可.
【详解】∵， ， ，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键.
14、3cm
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线性质求出，求出，求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】∵在△ABC中，

∵垂直平分，

故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15、2或4
【解析】设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，分别在Rt△ABP和Rt△DCP中利用勾股定理用x表示出AP2和DP2，然后在Rt△ADP中利用勾股定理得出关于x的一元二次方程，解出x的值，即可得出AP的长．
【详解】解：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，DC=AB=4，
设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AP2=AB2+BP2=42+x2，
在Rt△DCP中，由勾股定理得：
DP2=DC2+CP2=42+(10-x)2，
又∵∠APD=90°，
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，
∴42+x2+42+(10-x)2=102，
整理得：x2-10x+16=0，
解得：x1=2，x2=8，
当BP=2时，AP==；
当BP=8时，AP==．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理及一元二次方程，学会利用方程的思想求线段的长是关键．
16、1
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系 ，即可得出答案．
【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知，
∵关于的方程一个根是1，
∴它的另一个根为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
17、110°
【解析】试题分析：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．
考点：圆周角定理．
18、35°
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠OAB＝∠OBA＝55°，再根据三角形内角和定理，计算出∠AOB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣55°×2＝70°，
∴∠ACB＝∠AOB＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）1；（2）
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，进而得出a的最小整数值；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，进而得出关于a的一元二次方程求出即可．
【详解】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
，，，
∴，且，
∴，
故的最小整数值为1；
（2）由题意：，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解之，得：，满足，
故的值为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20、（1）②；（2）±1；（3）＜＜或＜＜
【分析】（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF，利用勾股定理求解AF，进一步确定∠AOF度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k．
（3）本题根据⊙B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND，△BMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围．
【详解】（1）如下图所示：

∵PM是⊙O的切线，
∴∠PMO=90°，
当⊙O的半径OM是定值时，，
∵，
∴要使面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OP⊥时，OP最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO⊥x轴，故△AOP为⊙A与x轴的最美三角形．
故选：②．
（2）①当k＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM⊥x轴，如下所示：

按题意可得：△AEF是直线y=kx与⊙A的最美三角形，故△AEF为直角三角形且AF⊥OF．
则由已知可得：，故EF=1．
在△AEF中，根据勾股定理得：．
∵A(0,2)，即OA=2，
∴在直角△AFO中，，
∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，
将F点代入y=kx可得：．
②当k＞0时，同理可得k=1．
故综上：．
（3）记直线与x、y轴的交点为点D、C，则，，
①当⊙B在直线CD右侧时，如下图所示：

在直角△COD中，有，，故，即∠ODC=60°．
∵△BMN是直线与⊙B的最美三角形，
∴MN⊥BM，BN⊥CD，即∠BND=90°，
在直角△BDN中，，
故．
∵⊙B的半径为，
∴．
当直线CD与⊙B相切时，，
因为直线CD与⊙B相离，故BN＞，此时BD＞2，所以OB=BD-OD＞．
由已知得：＜，故MN＜1．
在直角△BMN中，＜，此时可利用勾股定理算得BD＜， ＜ =，
则＜＜．
②当⊙B在直线CD左侧时，同理可得：＜＜．
故综上：＜＜或＜＜．
【点睛】
本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
21、（1）15人;(2)补图见解析.（3）.
【分析】（1）根据三班有6人，占的百分比是40%，用6除以所占的百分比即可得总人数；
（2）用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图，用一班所占的比例乘以360°即可得A1所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据题意画出树状图，得出所有可能，进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率．
【详解】解:（1）七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数：6÷40%=15人；
（2）A2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）
补全图形，如图所示，
A1所在圆心角度数为：×360°=48°；

（3）画出树状图如下：

共6种等可能结果,符合题意的有3种
∴选出一名男生一名女生的概率为：P=.
【点睛】
本题考查了条形图与扇形统计图，概率等知识，准确识图，从图中发现有用的信息，正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键．
22、（1）500件；（2）利润的最大值为1；（3）每月的成本最少需要10000元．
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b，把(40，600)，(75，250)代入，列方程组即可．
(2)根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，
把(40，600)，(75，250)代入可得，
解得：，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500(件)；
(2)根据题意得，W=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000
=﹣10(x﹣70)2+1．
当x=70时，利润的最大值为1；
(3)由题意，
解得：60≤x≤75，
设成本为S，
∴S=40(﹣10x+1000)=﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元，
答：每月的成本最少需要10000元．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
23、x1=3，x2=1．
【解析】试题分析：方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
试题解析：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
24、（1）；（2）画图见解析；（3）或或
【分析】（1）根据表格的数据，结合自变量与函数的定义，即可得到答案；
（2）根据列表、描点、连线，即可得到函数图像；
（3）可分为AE=DF，DF=DG，AE=DG，结合图像，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据表格可知，从0开始，而且不断增大，则DG是自变量；
和随着DG的变化而变化，则AE和DF都是DG的函数；
故答案为：，，.
（2）函数图像，如图所示：

（3）∵为等腰三角形，则可分为：
AE=DF或DF=DG或AE=DG，三种情况；
根据表格和函数图像可知，
①当AE=DG=时，为等腰三角形；
②当AE=时，DF=DG=5.00，为等腰三角形；
③当AE=DF=时，为等腰三角形；
故答案为：或或.
【点睛】
本题考查了函数的定义，自变量的定义，画函数图像，以及等腰三角形的定义，解题的关键是掌握函数的定义，准确画出函数图像.
25、（1），；（2），．
【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】（1）（x+1）2﹣9＝0
（x+1）2=9
x+1＝±3
x1＝2或x2＝﹣1．
（2）x2﹣1x﹣12＝0
（x﹣9）（x+2）＝0
x＝9或x＝﹣2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
26、（1）见解析；（2）
【分析】（1）欲证明FG=EG，只要证明△AFG≌△CEG即可解决问题；
（2）先根据等角的三角函数得tanB==tan∠HAF=＝，则AF=CE=3，由cos∠C=＝，可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAG＝∠ECG，
在△AFG和△CEG中，
∵，
∴△AFG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴G为AC中点；
（2）解：∵EF⊥BC，AD∥BC，
∴AF⊥HF，∠HAF＝∠B，
∴∠AFH＝90°，
Rt△AFH中，tanB＝＝tan∠HAF＝＝，
∴＝，
∵FH＝4，
∴AF＝CE＝3，
Rt△CEG中，cos∠C＝＝，
∴，
∴AG＝CG＝．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，三角函数等知识，（1）解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，（2）利用三角函数列等式是解题的关键．