初三数学圆的经典讲义(2).doc
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1、圆目 录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线 , 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理(选学)圆与圆的位置关系圆的有关计算一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2:确定圆的条件;圆心和半径 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小; 不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧
2、分为半圆,优弧、劣弧三种。 (请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr;点在圆上d=r;点在圆内 dr;【典型例题】例1 在ABC 中,ACB=90,
3、AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系,并说明你的理由。MABC例2已知,如图,CD是直径,AE交O于B,且AB=OC,求A的度数。DOEBAC例3 O平面内一点P和O上一点的距离最小为3cm,最大为8cm,则这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中,弦ABCD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是多少?例5 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,,ABDCOE求CD的长例6.已知:O的半径0A=1,弦AB、AC的长分别为,求的度数二垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂
4、径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条孤推论1:平分弦(不是直径)的直径重直于弦,并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为: 经过圆心;垂直于弦;平分弦(不是直径);平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB、CD是O的弦,M、N分别是AB、CD的中点,且ABDCONM求证:AB=CD例2已知,不过圆心的直线交O于C、D两点,AB是O的直径,AE于E,BF于F。求
5、证:CE=DF 【考点速练】1.已知O的半径为2cm,弦AB长,则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为( ). A1cm B.2cm C. D.cm3如图1,O的半径为6cm,AB、CD为两弦,且ABCD,垂足为点E,若CE=3cm,DE=7cm,则AB的长为( ) A10cm B.8cm C. D.4.有下列判断:直径是圆的对称轴;圆的对称轴是一条直径;直径平分弦与弦所对的孤;圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有( ) A0个 B.1个 C.2个 D.3个5如图2,同心圆中,大圆的弦交AB于C、D若AB=4,CD=2,圆心O到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为( ) A3:2 B
6、.:2 C.: D.5:46.如图,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是 .7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _m.ABDCO8008.如图,直径为1000mm的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB为800mm,求水的最大深度CD三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。圆周角:顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角
7、,并说明理由考点2定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图,请证明。 考点34. 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形经典例题例1:下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 例2:如图,A是O的圆周角,且A35,则OBC=_.BOCAOABC例3:如图,圆心角AOB=100,则ACB=EFCDGO例例:如图,是O的直径,点都在O上,若,则 (例)例如图2,O的直径过弦的中点,则 例6:已知:如图,AD是O的直径,AB
8、C=30,则CAD=_._D_C_B_A_O 例7:已知O中,则O的半径为四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(务必注意前提为:在同圆或等圆中)ABEFOOPOCO1O2ODO例1如图所示,点O是EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D,求证:AB=CD例2、已知:如图,EF为O的直径,过EF上一点P作弦AB、CD,且APF=
9、CPF。求证:PA=PC。OABC例3如图所示,在中,A=,O截的三条边长所得的三条弦等长,求BOC.例4如图,O的弦CB、ED的延长线交于点A,且BC=DE求证:AC=AE OCAEBD例5如图所示,已知在O中,弦AB=CB,ABC=,ODAB于D,OEBC于E求证:是等边三角形OADEBC五圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补,外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一:四边形对角互补即可。【典型例题】例1 (1)已知圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,求D的度数ABCDO(2)已知圆内接四边形ABCD中,如图所示,AB、BC、
10、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、B、C、D的度数例2 四边形ABCD内接于O,点P在CD的延长线上,且APBD求证:ADCBOP例3 如图所示,是等边三角形,D是BC上任一点求证:DB+DC=DAABCDO六会用切线,能证切线考点速览:考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于A, OA为半径 l 为O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法:与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端,垂直于这条半径
11、的直线是圆的切线。(请务必记住证明切线方法:有交点就连半径证垂直;无交点就做垂直证半径)考点4切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。(请务必记住切线重要用法: 见切线就要连圆心和切点得到垂直)经典例题:例1.如图,ABC内接于O, AB是 O的直径,CAD ABC,判断直线AD与O的位置关系,并说明理由。例2.如图,OA=OB=13cm,AB=24cm,O的半径为5cm,AB与O相切吗?为什么?例3.如图,PA、PB是O的切线,切点为A、B,C是O上一点,若P40。,求C的度数。ABCEO
12、D例4如图所示,中,以AC为直径作O交AB于D,E为BC中点。求证:DE是O的切线中考链接1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分ACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由。2. 如图,在RtABC中,C=90。 ,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且CBD= A,判断BD与O的位置关系,并证明你的结论。七切线长定理考点速览:考点1切线长概念: 经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别AAOACADAB
13、APA 切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量考点2 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意:此定理包含两个结论,如图,PA、PB切O于A、B两点,PA=PB PO平分考点3 两个结论: 圆的外切四边形对边和相等;圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题:例1 已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点,若PO=13,的周长为24,AEPDBCO求:O的半径;若,的度数例2 如图,O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F,若EFDCOAB(1)求AD、BE、CF的长;(2)
14、当,求内切圆半径rEFDCOAB例3如图,一圆内切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为?AOCDBBBEF考点速练1:1如图,O是的内切圆,D、E、F为切点,则 2直角三角形的两条直角边为5、12,则此直角三角形的外接圆半径为 ,内切圆半径为 AOCDBBBEFGB3如图,直线AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G,且ABCD,若OB=6,OC=8,则 ,O的半径= ,BE+CG= 八三角形内切圆考点速览考点1概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这
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