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30中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)巧妙计数等腰三角形华南师范大学数学科学学院(510631)李彦姗韩彦昌摘要 本文以 2020 高中数学联赛模拟试题为背景,对其解法进行优化,并对题目进行探究、推广、变式,得到关于如何构造、计数等腰三角形的更巧妙的解法.关键词 n 边形及其边上的 m 等分点;等腰三角形的计数;排列组合1 原题呈现与解法分析原题呈现 从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点,则“这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为.原解法按照选取点中正方形顶点的个数进行分类,依次可以为 3、2、1、0 个,相应的等腰三角形个数为 C34+(41+20)+42+C34=20,因此所求概率为20C38=514.分析原解法以选中正方形顶点的个数来进行枚举分类,较为繁琐,且容易漏数,可以对解法作出以下优化.2 解法优化因为每个非等边的等腰三角形与这个三角形的顶点一一对应,所以对该题中所涉及到的 8 个点我们可以分为两类:一类是正方形顶点 Ai(i=1,2,3,4),第二类是正方形边上的中点 Bi(i=1,2,3,4).图 1如图 1 所示:以 A1为顶点可构造的等腰三角形有 3 个,以 B1为顶点可构造的等腰三角形有 2 个.根据对称性可知一共可构造(2+3)4=20 个等腰三角形.3 问题拓展与深化探究拓展一 从正 n 边形的顶点及各边的中点中随机选取三个点,能构成多少个等腰三角形?解对于正 n 边形顶点及各边中点,对这 2n 个点分为两类:一类是顶点 Ai(i=1,2,n),另一类是中点 Bi(i=1,2,n).分别计数以这两类点为顶点,能构造出等腰三角形个数即可.(1)先讨论以 A1为顶点能构造的等腰三角形个数.图 2如图 2,不论 n 为奇数还是偶数,除了 A1点及其对面的点以外,其余的 2n 2 个点两两组合,均可与 A1组成以 A1为顶点的等腰三角形,共2n 22=n 1 个.所以全部顶点Ai能组成的以 Ai为顶点的等腰三角形有 n(n 1)个.(2)再讨论以 B1为顶点能构造的等腰三角形个数.图 3如图 3,不论 n 为奇数还是偶数,除了 B1点所在边上全部点,及其对面的点以外,其余的 2n 4 个点两两组合,均可与 B1组成以 B1为顶点的等腰三角形,共2n 42=n 2个.所以全部顶点 Bi能组成的以 Bi为顶点的等腰三角形有n(n 2)个.(3)若 n 为 3 的倍数时2陈昂,任子朝,赵轩.高考中三角函数内容考查研究 J.数学通报,2018,57(10):44-47.3章建跃.三角函数教材落实核心素养的思考 J.中小学数学(高中版),2016(12):66.4郑灿基.2023 年高考全国卷数列试题评析及备考建议 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023(19):7-11.2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究31以正六边形为例,如图 4,注意到每个点都可构成一个等边三角形,等边三角形会多计数 2次.因此对于等边三角形,在数值上,应该计数13个.即在上面计数的基础上,每个点我们多算了23个,所以 2n 个点一共多计图 423 2n=4n3个.综上所述,当 n 不是 3 的倍数时,从正 n 边形的顶点及各边的中点中随机选取三个点,能构成 n(n1)+n(n2)=2n2 3n 个等腰三角形;当 n 为 3 的倍数时,从正 n边形的顶点及各边的中点中随机选取三个点,能构成n(n 1)+n(n 2)4n3=6n2 13n3个等腰三角形.拓展二 从正 n 边形的顶点及各边的三等分点中随机选取三个点,能构成多少个等腰三角形?解 将正 n 边形的各边按顺时针标记为第 1,2,n 条边.对于正 n 边形顶点及各边三等分点,仍然对这 3n 个点分为两类:一类是顶点 Ai(i=1,2,n),另一类是第 i 条边上的第 j 个三等分点 Bi,j(i=1,2,n;j=1,2).分别计算以 Ai点(或 Bi,j点)为顶点,能构造出的等腰三角形个数即可.(1)我们先讨论以 A1为顶点,能构造的等腰三角形个数,乘以 n 即为所有 Ai点能构造的等腰三角形个数,如图 5.图 5I.当 n 为奇数时除了 A1点以外,其余的 3n 1 个点两两组合,均可与A1组成以 A1为顶点的等腰三角形,共3n 12个.故全部顶点 Ai能组成的以 Ai为顶点的等腰三角形有(3n 1)n2个.II.当 n 为偶数时除了 A1及其对面的点以外,其余的 n 2 个点两两组合,均可与 A1组成以 A1为顶点的等腰三角形,共3n 22个.故全部顶点 Ai能组成的以 Ai为顶点的等腰三角形有(3n 2)n2个.图 6(2)再讨论以 B1,1为顶点,能构造的等腰三角形个数.乘以 2n 即为所有 Bi,j点能构造的等腰三角形个数.I.当 n 为奇数时如图6,以正五边形、正七边形、正九边形为例,以B1,1点为顶点,它们分别能构造出2、3、4个等腰三角形.由数学归纳法知,当 n 为奇数时,以 B1,1点为顶点,能构造出n 12个等腰三角形.故2n个Bi,j点共能构造出2n(n 1)2=n(n1)个等腰三角形.II.当 n 为偶数时如图 7,以正四边形、正六边形、正八边形为例,以 B1,1点为顶点,它们分别能构造出 1、2、3 个的等腰三角形.由数学归纳法知,当 n 为偶数时,以 B1,1点为顶点,能构造出n 22个等腰三角形.故 2n 个 Bi,j点共能构造出 n(n 2)个等腰三角形.图 7(3)当 n 为 3 的倍数时类似地,在上面计数的基础上,每个点我们多算了23个.所以 3n 个点,一共多计了23 3n=2n 个.由上面讨论可知:当 n 为 奇 数 且 不 为 3 的 倍 数 时,从 正 n 边 形 的顶 点 及 各 边 的 三 等 分 点 中 随 机 选 取 三 个 点,能 构 造(3n 1)n2+n(n 1)=5n2 3n2个等腰三角形;当 n 为奇数且为 3 的倍数时,从正 n 边形的顶点及各边的三等分点中随机选取三个点,能构造(3n 1)n2+n(n 1)2n=5n2 7n2个等腰三角形;当 n 为 偶 数 且 不 为 3 的 倍 数 时,从 正 n 边 形 的顶 点 及 各 边 的 三 等 分 点 中 随 机 选 取 三 个 点,能 构 造32中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)(3n 2)n2+n(n 2)=5n2 6n2个等腰三角形;当 n 为偶数且为 3 的倍数时,从正 n 边形的顶点及各边的三等分点中随机选取三个点,能构造(3n 2)n2+n(n 2)2n=5n2 10n2个等腰三角形.拓展三 从正 n 边形的顶点及各边的四等分点中随机选取三个点,能构成多少个等腰三角形?解 正 n 边形顶点及各边的四等分点共有 4n 个,我们可以分成三类:第一类是顶点 Ai(i=1,2,n),第二类是第i 条边(i=1,2,n 按顺时针排列)上第 j 个(j=1,2,3按顺时针排列)四等分点 Bi,j(i=1,2,n;j=1,2,3).当 j=2 时,Ci,2(i=1,2,n)为第 i 条边上的中点,我们记为第三类点 Ci(i=1,2,n).(1)我们先讨论以 A1为顶点,能构造的等腰三角形个数.乘以 n 即为所有 Ai点能构造的等腰三角形个数.如图 8,不论 n 为奇数或偶数,除去 A1及对面上的一个点,剩余的 4n 2 个点两两组合,均可构成以 A1为顶点的等腰三角形,n 个顶点共 n 4n 22=(2n 1)n 个.图 8(2)再讨论以 B1,1为顶点,能构造的等腰三角形个数.乘以 3n 即为所有 Bi,j点能构造的等腰三角形个数.I.当 n 为奇数时如图 9,与拓展二(2).当 n 为奇数时的讨论类似,当 n为奇数时,以 B1,1点为顶点,能构造出n 12个等腰三角形.故 3n 个 Bi,j点共能构造出3n(n 1)2个等腰三角形.图 9II.当 n 为偶数时图 10如图 10,与拓展二(2).当 n 为偶数时的讨论类似,当 n 为偶数时,以 B1,1点为顶点,能构造出n 22个等腰三角形.故 3n 个 Bi,j点共能构造出3n(n 2)2个等腰三角形.(3)当 n 为 3 的倍数时每个点都可构成一个等边三角形.即在上面计数的基础上,每个点我们多算了23个.所以 4n 个点,一共多计了23 4n=8n3个.(4)最后讨论 C1点能构造的等腰三角形个数.在本题(2)讨论的基础上,对于 Ci点(即 Bi,2)为顶点能构成的等腰三角形,我们会漏数.求出 C1点漏数的个数再乘以 n,即得所有 Ci点漏数的等腰三角形个数.如图 11,除了 C1点所在边上的 5 个点,以及 C1所对的顶点以外,剩余的 4n 6 个点可以分别两两与 C1构成等腰三角形,一共有4n 62=2n 3 个三角形.而这当中有n 12(当 n 为奇数时)或n 22(当 n 为偶数时)个三角形,在本题(2)的讨论中已计入.故对所有 Ci点,当 n 为奇数时,漏计 n(2n 3 n 12)=n(3n 5)2个;当 n 为偶数时,漏数n(3n 4)2个.图 11由上面讨论可知:1当 n 为奇数且不为 3 的倍数时,从正 n 边形的顶点及各边的四等分点中随机选取三个点,能构造n(2n 1)+3n(n 1)2+n(3n 5)2=5n2 5n 个等腰三角形;2当 n 为奇数且为 3 的倍数时,从正 n 边形的顶 点 及 各 边 的 四 等 分 点 中 随 机 选 取 三 个 点,能 构 造n(2n 1)+3n(n 1)28n3+n(3n 5)2=15n2 23n3个等腰三角形;2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究33对一道 2022 年两直线斜率之积为定值模拟题的探究北京市第十二中学高中部(100071)范小英刘 刚摘要本文从一道椭圆的定值问题出发,先从解法上进行了多角度探究,然后由特殊到一般,进行了拓展,得到了一组定值、定点性质,从而使试题的价值最大化.关键词 斜率;椭圆;定值;推广一、试题(2022 年南昌市高三第二次模拟测试)如图,已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A(2,0),B(2,0),点H 是直线 l:x=1 上的动点,以点 H 为圆心且过原点的圆与直线l 交于 M,N 两点.当点 H 在椭圆 E 上时,圆 H 的半径为1213.(1)求椭圆 E 的方程;(2)若直线 AM、AN 与椭圆 E 的另一个交点分别为 P、Q,记直线 PQ、OH 的斜率分别为 k1,k2,判断 k1k2是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.试题考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线和椭圆的位置关系以及定值问题,考查了直观想象、数学运算等核心素养,检验了分析问题与解决问题的能力.试题解法多样,内涵丰富,体现了在知识交汇处命题的特点,是一道符合新课标理念的好题.下面探究试题的解法以及推广,供大家参考.二、解法探究解(1)由题意知 a=2,因为(132)2 12=32,所以H(1,32),于是1a2+94b2=1,解得 b2=3,故椭圆 E 的方程为x24+y23=1.3当 n 为偶数且不为 3 的倍数时,从正 n 边形的顶点及各边的四等分点中随机选取三个点,能构造n(2n 1)+3n(n 2)2+n(3n 4)2=5n2 6n 个等腰三角形;4当 n 为偶数且为 3 的倍数时,从正 n 边形的顶点及各边四等分点中随机选取三个点,能构造 n(2n 1)+3n(n 2)28n3+n(3n 4)2=15n2 26n3个等腰三角形.4 总结反思与变式练习对于正 n 边形的所有顶点及 m 等分点能构造的等腰三角形,通过探究可知:1n,m 的奇偶性会影响 Ai点以及Bi,j点构造等腰三角形个数的计数方法.2当 m 为偶数时,基于以上计数方法,正 n 边形边上的中点 Ci点(即 Bi,m2)能构造的等腰三角形,会造成漏数(如拓展三情况(4).3当n 为 3 的倍数时,每个点都能构造一个等边三角形,要去掉重复计数的三角形.以下给出两道变式练习,感兴趣的读者可利用本文的探究过程或结论进行求解.题 1从正六边形的顶点及各边的四等分点中随机选取三个点,能构成多少个等腰三角形?答案:128 个.题 2从正七边形的顶点及各边的五等分点中随机选取三个点,能构成多少个等腰三角形?答案:203 个.5 提炼升华从原问题到各类变式问题,乃至到总结反思的更一般问题,我们发现问题虽然很相似,但解决问题过程中,以每类点为顶点,构造等腰三角形个数的计数方法会有一些不同,体现出了解决问题中同与不同的辩证思维.原问题的解决简单粗暴,解决新问题时不具有一般性,找到同一问题的新解决方案,会带来对问题新认识的同时,也给出了一般性问题的通性解法,体现出变与不变的辩证思维.参考文献1 章建跃.通过计数原理感悟运算真谛 利用排列组合提升思维品质J.数学通报,2021,60(11):6-13.2 韩苏.高中数学联赛中的组合计数问题 J.数学通讯,2001(10):40-42.