思维引领·考查本质·凸显应用——2023年中考数学试题命题分析及复习教学建议.pdf

上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南思维引领考查本质凸显应用2023年中考数学试题命题分析及复习教学建议万书河，李岩（北京市朝阳区教育科学研究院；北京市日坛中学）摘要：以2023年全国各地区中考数学的部分试题为载体，分析有关试题的考查内容、命题特点、命题导向.通过呈现部分有代表性试题并进行分析，对于如何把握课程标准要求，如何强化情境设计，如何用好教材，如何实施“教学评”一体化提出部分建议，为2024年中考复习提供参考关键词：总体情况；命题思路；命题意图；教学建议中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）01-0004-12引用格式：万书河，李岩.思维引领考查本质凸显应用：2023年中考数学试题命题分析及复习教学建议 J.中国数学教育（初中版），2024（1）：4-15.基金项目：2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究（初中）专项课题基于发展学生核心素养的课程资源优化与整合研究（22ZS061405ZA）.作者简介：万书河（1973），男，高级教师，主要从事初中数学教育教学研究；李岩（1984），男，高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.党的二十大报告中提出了“办好人民满意的教育.全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的育人目标.2023 年全国各地区初中学业水平考试（以下统称“中考”）数学试卷的命制，落实了义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称标准（2022年版）的要求，紧密结合教材，以学生生活和学习中适切的素材为载体，“五育”并举，面向全体，发挥了考试命题助推政策落地的作用.从整体上看，2023年全国各地区中考数学试题突出对“四基”“四能”的考查，关注素养达成情况，注重内容的结构性，突出整体性，创设真实情境，体现应用性、探究性和综合性，以教材为抓手，适度创新，把控难度，考查数学思维，关注核心素养发展，发挥了试题的育人价值.一、总体情况分析2023年全国各地区中考数学试题的命制都能够严格遵循标准（2022年版）的要求（根据现行教材版本，部分地区的中考试题命制以义务教育数学课程标准（2011年版）为依据，适当渗透标准（2022年版）的要求），落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展，依据学业质量标准，对学生学完课程内容后的课程目标达成度进行评价，考查主干知识、核心能力、基本思想方法，在试卷结构、题型分布、分数设置等方面与往年相比均保持稳定.各领域考查内容所占比例与其在课程标准中所占比例大体一致，难易程度基本上保持平衡，保证了命题的科学性.试题命制坚持素养立意，凸显育人导向，关注数学的本质和解题的通性通法，综合考查学生的数学核心素养与“四基”“四能”；结合学生的认知水平和生活经验设计合理的生活情境、数学情境、科学情境，情境适切、真实、公平，适当引入数学文化；结合情境提出有意义的问题，考查对数学概念、性质、关系、规律的理解、表达和应用；适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例；合理规划客观题与主观题分值所占比例，创新试题设问方式.4上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南通过对2023年全国各地区113份中考试卷进行分析，可以看出各地仍然重点考查“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域的基础知识和基本技能，通过应用类试题和综合与实践试题的呈现，以实际情境为载体考查学生的数学关键能力及核心素养，重点考查知识之间的内在联系和整体结构，体现了课程标准的教学要求.有23份试卷中对“综合与实践”领域进行了独立命题.结合真实情境的应用类试题数量较往年有大幅度提升.由于中考具有考查学生完成义务教育阶段数学课程学习的达标性考核功能，因此数学的基础知识和基本技能是中考考查的重要方面.但是，具体命题过程中应当将哪些基础知识与基本技能作为考查重点，或者说考查的核心内容是什么，这是一个具有现实意义的问题.对此，应当从两个角度加以分析：其一，从数学学科角度来看，它们应当是数学学科中最基础和重要的内容；其二，从义务教育性质的角度来看，它们应当是课程目标所涉及的基本要求，而非全部要求.1.数与代数“数与代数”领域的基础内容主要涉及三大类：对象数、字母（常量、变量）；运算四则运算、乘方与开方运算、式的运算；关系数量关系（相等与不等）、函数关系.而在数学教学过程中，它们多以概念、原理、法则的形式出现.结合标准（2022年版）所列的具体内容，将初中阶段“数与代数”领域的基础内容概括如下.（1）数与式.该部分涉及的内容主要包括实数、代数式等对象的概念、性质及简单应用，其中既有核心部分（如绝对值、无理数的概念、性质等），也有非核心部分（如科学记数法、单项式、多项式的概念等）；运算则包括数的运算和式的运算，其中既有核心部分（如运算的基本性质等），也有非核心部分（如特定的运算技巧、公式等）；关系则包括数的相等与不等关系，式的相等与不等关系及其简单应用，其中既有核心部分（如相等与不等关系的基本判定方法等），也有非核心部分（如解相等与不等关系的特殊方法等）.数及数的运算是数学考试中不可回避的问题.在调研的试卷中，共有158道题直接考查了数及数的运算，如江苏南通卷第11题、第19题，浙江绍兴卷第1题、第11题、第17题，山东日照卷第1题、第6题、第13题、第17题等；有504道题涉及代数式及其运算，多以选择题、填空题、计算题为主，考查列代数式、整式运算、因式分解、分式运算、根式的意义及运算，对有关数与式运算的考查较2022年中考提高近1倍.可见对于运算能力的考查，各地区都高度重视.（2）方程与不等式.该部分涉及的内容主要包括方程（组）、不等式（组）等对象的概念、解法，等式与不等式模型的建立，等等.其中既有核心部分（如方程（组）、不等式（组）的概念、基本解法，相应数量关系的建立等），也有非核心部分（如含有复杂数字，特别是无理数系数的方程或不等式的求解等）.此部分的397道试题中有212道题考查了实际问题的解决，占比从2022年的40%提升到53.4%，可见通过建立模型解决实际问题考查学生的数学应用意识得到了各地区的广泛重视.（3）函数.该部分涉及的内容主要包括函数的概念、性质，以及函数模型的建立等，其中既有核心部分（如函数的基本性质、建立函数关系等），也有非核心部分（如抽象背景下函数自变量取值范围的求解等）.函数是“数与代数”领域的主干知识，调研的2023年中考试卷中共有518道题涉及函数问题，其中函数的图象与性质是考查的主体，通过对函数图象的研究，从代数和几何两个角度及相互联系中凸显函数的本质特征是联系和变化.例如，辽宁鞍山卷第8题、湖南湘西卷第23题、浙江金华卷第22题等用图象刻画了实际生活中或几何图形中变量之间的函数关系；北京卷第26题、山东枣庄卷第10题、辽宁沈阳卷第23题、浙江杭州卷第20题等利用数形结合思想方法研究反比例函数、一次函数和二次函数的图象与性质；内蒙古赤峰卷第25题、广东深圳卷第21题、贵州卷第24题、湖北武汉卷第22题等都将实际问题抽象成函数模型，要求利用二次函数的图象与性质解决问题.将二次函数与几何图形结合作为压轴题也是多地重点考查的内容，共涉及53道题，其中涉及二次函数与几何图形周长关系的试题有6道，与图形的面积相关的试题有17道，与角度相关的试题有3道，与特殊三角形相关的试题有7道，与四 5上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南边形相关的试题有8道，与二次函数背景下相似三角形相关的试题有3道，与其他图形相关的试题有9道.2.图形与几何“图形与几何”领域的基础内容主要涉及三大类，即对象点、线、面，角，线段，平面图形（多边形、圆），坐标；性质单个图形在形状、度量、变化、位置等方面的性质；关系两个对象之间的关系，如平行、垂直，全等、相似、对称、距离、大小、位置等.（1）图形的性质.该部分涉及的内容主要包括线段、角、各种平面图形等对象的基本性质及其简单应用，其中既有核心部分（如各种图形的定义、性质与判定定理，两个图形之间基本关系的性质与判定定理等），也有非核心部分（如需要添加较为复杂的辅助线进行证明的图形特征等）.调研的试卷中，涉及此部分内容的试题共有927道，其中以三角形、四边形、圆为背景依旧是命题的重点，以这些图形为背景综合考查学生对图形的性质、判定等定理的掌握情况，以及能够用数学的语言表达现实世界.对于利用限定工具作图的试题有55道，较2022年有小幅度提升.也不限定于利用尺规作图，如黑龙江哈尔滨卷、江西卷等都出现了利用格点作图的问题.各地区在关注到作图作为几何学习的重要手段和重要过程的基础上，也关注到作图是逻辑的起点和思维的开始，如山东滨州卷第20题除了考查作图操作外要求写出已知、求证与证明过程，四川成都卷第13题通过作图考查所作图形边长之间的数量关系.这些考查角度充分注重了学生学习几何的过程，其中作图是重要的环节.（2）图形的变化.该部分涉及的内容主要包括图形的对称、平移、旋转和相似等变化的概念与性质，这依旧是各地考查的重点内容，其中既有核心部分（如各种图形变化的本质特征，运用变化认识基本图形的性质等），也有非核心部分（如使用变化的方法“论证”图形的性质等）.调研的试卷中，有86道题综合考查了图形的变化的内容，其中既有考查图形运动变化过程中线段关系的试题，如北京卷第27题、辽宁鞍山卷第25题、宁夏卷第8题等；也有结合函数进行综合考查的试题，如四川德阳卷第25题、湖北十堰卷第25题等.可见通过运动变化理解几何图形的性质，以及借助运动变化研究图形的相对关系依旧是学生学习的重点.（3）图形与坐标.该部分涉及的内容主要包括借助特定的坐标系描述一些简单特殊点的位置，能够在某个特殊的坐标系中表述简单图形变化前后特定点的坐标关系等，其中既有核心部分（如在以正方形的中心为坐标原点、两对边中点连线为坐标轴的平面直角坐标系中，求该正方形某些特殊点的坐标；以坐标轴为对称轴，求某个特定四边形定点的对称点坐标等），如山东潍坊卷第6题、辽宁营口卷第20题、宁夏卷第16题等，也有非核心部分（如利用坐标表示的方法解释图形的性质，在平面直角坐标系中表述多次图形变化前后特定点的坐标关系等）.3.统计与概率“统计与概率”领域的基础内容主要涉及两大类：对象数据、概率；性质数据的统计量、概率的计算.（1）统计.该部分涉及的内容主要包括数据的收集、表示、处理，以及数据统计量的计算及其含义，其中既有核心部分（如数据及统计量的统计意义等），也有非核心部分（如抽象背景下统计量的计算等）.例如，江苏南通卷第20题、湖南益阳卷第6题、山东济南卷第21题等的考查角度是能够让学生经历统计调查的全过程，根据统计图表综合分析数据，从而得到解决问题的途径；北京卷第23题、广西卷第22题、浙江台州卷第22题等着重考查了统计量的意义，以及利用统计量制订合理的方案.（2）概率.该部分涉及的内容主要包括概率的含义、简单古典事件概率值的计算等，其中既有核心部分（如概率的意义等），也有非核心部分（如抽象背景下概率值的计算等）.这类试题的特点主要表现为简单.试题涉及的背景多为纯数学或简单的实际背景，且求解过程多具有操作程序、公式，主要用于考查学生对相关基础知识和基本技能的掌握情况.这类试题的命制主要注意以 6上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南下两点：第一，考查的知识或技能都关注上述核心部分的内容，没有过多涉及非核心部分的内容；第二，多数试题采用客观题或简单的解答题的形式，用文字、图象和符号等多种表达方式陈述问题，且不复杂.二、命题特点分析1.落实“四基”“四能”，坚持素养立意2023年全国各地区中考数学试卷的命制注重对学科知识的整合、深化与拓展，以数与代数、图形与几何、统计与概率三大领域中的主干知识为载体，考查知识之间的内在联系和整体结构.真正做到了学考一致，学过的知识点都可能被考到，使支撑学科的主干知识保持较高频次的考查.其中，考查主干知识的起伏不大，变化的是背景材料和设问角度，着重考查学生运用数学的能力，变换情境，设问科学，体现出“重基础，重应用，重时事，重生活”的特点.例1（四川雅安卷）下列运算正确的是（）.（A）2a+3b=5ab（B）()a23=a5（C）a2 a4=a8（D）a3a=a2答案：D.例2（江苏苏州卷）先化简，再求值：a-1a-2a2-4a2-2a+1-2a-1，其中a=12.答案：原式=aa-1；当a=12时，原式=-1.考查目标：例1考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘法和除法.例2考查了分式的运算及因式分解.熟记各运算法则是解题的关键.命题意图：以上两道试题都是对学生运算能力的考查.例1主要体现在明晰运算的对象和意义，掌握运算法则；例2要求理解运算问题，选择合理、简洁的运算策略解决问题.命题评价：此类试题属于对基础知识和基本技能的考查，主要体现对学生运算能力的考查，这部分内容是中考必考内容.在正确求得运算结果的前提下，教师要引导学生分析算式结构，从而追求用更优化的策略解决问题，在更短的时间内解决问题.例3（天津卷）若x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则（）.（A）x1+x2=6（B）x1+x2=-6（C）x1 x2=76（D）x1 x2=7答案：A.考查目标：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系.命题意图：义务教育数学课程标准（2011年版）中对于“了解一元二次方程的根与系数的关系”标记为“*”，标准（2022年版）对此进行了调整，去掉了“*”.此题就是对一元二次方程的根与系数的关系的直接考查.命题评价：目前标准（2022年版）已经颁布，但是新版教材还没有投入使用，所以如何使用旧教材体现新教材的要求是教师在教学中需要思考的课题.在考试中体现标准（2022年版）的要求是必然的，因此对于比较新旧版本课程标准的变化是教师应该重点学习并在教学中落实的.例4（四川凉山州卷）若一组数据x1，x2，x3，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，xn+3的方差是（）.（A）2（B）5（C）6（D）11答案：A.考查目标：此题考查了方差的定义.当一组数据中的每个数都加上（或减去）一个数时，平均数也加（或减）这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当一组数据中的每个数都乘（或除以）一个数时，平均数也乘（或除以）这个数，方差变为这个数的平方倍（或这个数的平方的倒数）.命题意图：此题考查了学生对方差概念的理解.方差是用来衡量一组数据波动大小的量.因为将每个数都加上3时，波动情况不变，所以该组数据的方差不变.命题评价：此题旨在让学生体会统计量的含义，即使让学生利用方差公式进行计算也要先明确在数据全部增大（或减小）同一个数值的情况下平均数不会发生变化.因此，理解统计量的实际意义是发展学生数据观念的重要抓手.例5（湖南张家界卷）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2 b，a+3 b的 7上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4.则S2-S1=()a+b2-a2=()a+b+a()a+b-a=()2a+b b=b+2a b.例如，当a=1，b=3时，S2-S1=3+2 3.根据以上材料解答下列问题.（1）当a=1，b=3时，S3-S2的值为_，S4-S3的值为_.（2）当a=1，b=3时，把边长为a+n b的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗？并证明你的猜想.（3）当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，tn=Sn+1-Sn，且T=t1+t2+t3+t50，求T的值.答案：（1）9+2 3，15+2 3.（2）猜想结论：Sn+1-Sn=6n-3+2 3.证明：Sn+1-Sn=()1+n 32-1+()n-132=2+()2n-13 3=3()2n-1+2 3=6n-3+2 3.（3）7 500+100 3.考查目标：此题主要考查利用完全平方公式进行计算.理解题意，得出相应的规律是解题的关键.命题意图：此题考查学生对运算规律的理解，以及从特殊到一般的抽象能力和代数推理能力.通过观察发现哪些位置的数是不变的，哪些位置的数是变化的，是如何变化的，这些变化的数有什么规律，在经历观察、分析、归纳、猜想、证明后得到规律，并运用规律解决问题.命题评价：代数推理也是 标准（2022 年版）例题中给出的内容之一.此题的设计突破了原有探究型问题主要来自于几何的状态，在代数中除了让学生观察、发现、归纳以外增加了证明和运用的环节，是对学生的抽象能力、运算能力和推理能力的综合考查.例6（北京卷）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分ABC，BAC=ADB.图1CFBDEA（1）求证DB平分ADC，并求BAD的大小；（2）过点C作CFAD交AB的延长线于点F若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长.答案：（1）根据圆内接四边形的性质进行证明即可，得BAD=90；（2）4.考查目标：此题考查了圆内接四边形的性质，弧、圆心角、圆周角的关系，90的圆周角所对弦是直径，含30角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等知识.命题意图：此题以圆和四边形为载体，重点考查学生的逻辑推理和数学运算等关键能力，体现对“会用数学的思维思考现实世界”这一核心素养的考查.命题评价：此类问题在各地区中考试卷中是普遍出现的，在四边形和圆背景下考查了图形的性质.这说明各地均能够准确把握对图形性质研究中关键能力和核心素养的考查.此题对于学生的逻辑推理的严谨性要求较高.第（2）小题中，学生不能想当然地通过图形特征判断“BD是圆的直径”，而是需要推理说明要求的半径是哪条线段.此题的解题方法多样，但是说明“BD是圆的直径”是所有解题方法中的关键一步.2.注重思维过程，突出学科本质2023年全国各地区中考数学试卷中真正让学生大量计算、大量证明的试题较少，而留给学生在考场上想题的时间的试题占据了很大的比例.“想”就是思维.中考数学试卷的命制目标就是考查学生的思维品质、思维程序和思维方法，进而体现对学生的关键能力和数学核心素养的考查.这些考查思维的试题往往从小口切入，通过深入挖掘，小中见大，具有较强的思维穿透性，要求学生能够排除干扰，透过表面现象，从本质上去认识问题、分析问题、解决问题.大部分试卷中除了基础题以外，其余的试题都需要运用较大的思维量去穿透表面，触及本质.例7（北京卷）如图2，点A，B，C在同一条线上，点 B 在点 A，C 之间，点 D，E 在直线 AC 同侧，8上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南ABBC，A=C=90，EAB BCD，连接DE，设AB=a，BC=b，DE=c，给出下面三个结论：a+ba2+b2；2()a+b c.上述结论中，所有正确结论的序号是（）.图2AEDCBbac（A）（B）（C）（D）答案：D.考查目标：此题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、不等式的性质、三角形的三边关系等知识.命题意图：此题以选择题的形式考查研究几何图形的两个不同角度，即定性分析与定量刻画，考查了数形结合思想，以及学生的几何直观和推理能力.解题的关键在于熟悉知识的生成过程，总结解题过程中积累的活动经验.命题评价：此题可以看作勾股定理证明过程中弦图的变形，是学生在学习勾股定理过程中熟悉的图形结构，或者是由常见的全等问题所积累的经验.判断不等的数量关系，这个角度相对新颖，需要学生对图形结构中蕴含的数量关系十分熟悉，考查学生思考的切入点，能够与学习过程中的基本活动经验相结合就可以较快解决问题.例8（浙江温州卷）【素材1】某景区游览路线及方向如图3所示，各路段路程相等，各路段路程相等，两路段路程相等.图3【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留 20 分钟.小温游路线用时 3 小时25分钟；小州游路线，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图4所示，在2 100米处，他到出口还要走10分钟.图475t/分钟s/米2100O【问题】路线各路段路程之和为（）.（A）4200米（B）4800米（C）5200米（D）5400米答案：B.考查目标：此题主要考查方程组的应用及函数图象.解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系.命题意图：此题结合标准（2022年版）中的“结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”，考查学生用变量之间的关系刻画简单实际问题的意识，以及结合图象分析简单实际问题中蕴含的函数关系的能力.命题评价：此题在以往考查根据函数图象提取信息的基础上，又设计了游览的情境，在文字中也给出了各种数量关系和关键信息，因此需要通过分析具体问题中的变量关系建立模型.此题从现实情境出发，以图象、文字、图示的方式刻画数量关系，考查学生对不同表达方式之间联系的理解与掌握程度.此题中，计算具体数值的方法多样，学生既可以利用多个未知数表示数量关系，也可以设而不求，考查学生深层次的思维能力.例9（北京卷）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数如表1所示.表1平均数166.75中位数m众数n 9上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南（1）写出表中m，n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断：在如表2所示的两组学生中，舞台呈现效果更好的是_（填“甲组”或“乙组”）；表2甲组学生的身高乙组学生的身高162161165162165164166165166175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和.答案：（1）m=166，n=165；（2）甲组；（3）170，172.考查目标：此题考查了平均数、众数、中位数和方差的意义.熟记方差的计算公式及方差的意义是解题的关键.命题意图：此题通过具体情境问题的解决充分考查学生的数据观念，以及用数据为实际问题解决提供策略的能力.命题评价：此题设计的重点不在于知识的单纯记忆与简单使用，而是以数据的数字特征为切入点，考查学生逐层分析并挖掘问题的逻辑结构，以及结合数据通过推理作出正确的决策与推断的能力，让学生感受到在实际生活中引入统计量的必要性，凸显统计量的统计意义，突出统计量的应用性，以及知识的本质和思维的深度.总体而言，各地考查思维的题目往往材料在外，答案在内，考查思维，体现能力，以教材为素材，将前沿背景材料穿插其中，考点一定都是课程标准要求的内容.因此，“用教材教”和“用教材学”是形成这些能力及思维方式的重要载体.教师要引导学生把课内知识学透彻，特别是总结学习的方法和思考的角度，从而形成用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达的数学核心素养.3.注重情境创设，凸显育人导向应用型试题源于生活，真实可感，既能较好地体现育人功能，也为初中数学教学起到良好的导向作用.这类试题往往选择有时代气息的背景为载体，能够突出时代精神，关注数学与生活的联系，进一步加强对数学应用意识的考查，提高学生对数学的整体认识和理解，体现了数学的应用价值.这类试题往往以非数学素材（个人与社会生活中的素材、其他学科内容的素材等）为背景命制.学生在解题过程中需要分析、表达情境中存在的各种数学关系（模型）.例如，方程（组）、不等式（组）、函数等模型；图形之间的位置关系（平行、垂直等）和形状关系（全等、相似、对称等）；一些随机事件发生的古典概率模型，统计数据的基本特征；等等.此类试题有利于考查学生数学建模的能力、对相应知识和方法的理解水平、解决问题的意识与能力，有助于促进学生体会数学的价值，落实立德树人根本任务，致力于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.这类试题往往呈现以下特点：第一，问题背景是现实的，如关于资源、环境、其他学科活动、经济生活等方面的实际素材；第二，内容及呈现方式是学生可以理解的，且文字表述简练；第三，数学内涵丰富而有价值，问题求解过程中往往涉及丰富而重要的数学概念和思想方法.例10（福建卷）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元，2022年的地区生产总值为53 109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）.（A）43 903.89()1+x=53 109.85（B）43 903.89()1+x2=53 109.85（C）43 903.89x2=53 109.85（D）43 903.89()1+x2=53 109.85答案：B.考查目标：此题考查了一元二次方程的应用.根据题意列出一元二次方程是解题的关键.命题意图：此题题干选自真实数据，强烈的数字冲击可以有效增强学生对祖国发展的直观认识.试题没有考查复杂的计算，只需要列出方程即可，考查了 10上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南学生建立数学模型的意识，渗透民族自豪感，体现数学的应用价值.命题评价：此题有很强的现实性，考查学生对数量关系的感悟，体现出对数感和模型观念的考查，同时也让学生感受到祖国经济发展的伟大成就.很多地区都能够结合自己地区的经济、标志性建筑、生活特色、民俗文化等进行命题，将人文、科技、爱国等内容与数学有机结合，体现了数学的育人价值.例11（四川遂宁卷）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，其分子结构模型如图5所示，按照此规律，十二烷的化学式为.HHHHCCHHHHC丙烷HHHHCCHH乙烷HHHHC甲烷HHCHCHHHHC CHHH图5答案：C12H26.考查目标：此题考查了规律探索.能用式子抽象表示图形结构，找到规律是解题的关键.命题意图：此题主要考查学生能够从数学的角度观察图形，根据实际情境，借助几何直观和逻辑推理抽象出数学问题，即碳、氢原子个数与图形标号之间的关系，并用数学语言表达发现的规律，体现了对“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”的考查.命题评价：此题以有机化学原子结构为背景，将数学与化学学科融合，没有给学生增加额外的阅读难度，考查的内容依旧是数学知识，考查学生通过观察找到规律，用数学的语言表达规律的能力.例12（浙江温州卷）图6是44方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为2，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图7），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为.若点 A，N，M在同一直线上，ABPN，DE=6EF，则题字区域的面积为.图6图7MPBDCN NFEA答案：5，64256.考查目标：此题考查了垂径定理、平行线分线段成比例、勾股定理、七巧板等知识.命题意图：此题以数学情境为载体，以圆的性质及图形结构为依托构造特殊图形，综合考查了学生的推理能力、几何直观与运算能力，考查“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养.结合拼接的图形中线段的数量关系和位置关系，运用勾股定理和垂径定理，结合三角形相似求解边长及面积即可.命题评价：此题设计相对新颖、有趣，以七巧板的操作为切入点，难点在于观察出拼接前后、绘制圆前后图形的边和角的关系，需要学生经历观察、猜想、验证、推理、计算的探究过程，考查了学生的几何直观和推理能力.4.设计综合实践，重视探究应用探究型试题是考查“数学思考”与“解决问题”课程目标落实情况的有效载体，需要学生对某一现象（问题）进行深入思考与研究.其解决过程没有既定的公式可以套用，要通过猜想或者证明得到结果.这类试题以数学素材为情境，题干信息仅包括已经具备的条件，没有给出需要获得的结果，而是要求学生探索.学生的任务是给出问题的确定性结果，有时还需要提供所给结果正确的合理依据.此类问题的呈现形式多样，可以是阅读理解型问题，也可以是操作型问题，还可以是开放型问题，等等.由于问题的结果未知，所以此类问题既有利于考查学生的数学探究能力，又有利于评价学生从事归纳、类比、概括、推理等思维活动的能力水平.这类试题的命制体现出以下特点：一是试题背景具有实质性数学内涵，且不是具备特殊、复杂条件的情境；二是试题的求解过程体现了策略多样化的特点，允许借助直觉思维，或对 11上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南问题的整体把握而直接获得合理的猜测.（1）阅读理解.近年来，各地区中考数学试卷中都有一些阅读理解型试题出现.2023年中考也有一些地区选择新颖的素材，设问别致，富有层次.这类试题中常出现新的概念和方法.除了要求学生理解以外，还要求会简单应用.例13（甘肃兰州卷）综合与实践.【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图8，在矩形 ABCD 中，E 是边AB上一点，DF CE于点 F，GD DF，AG DG，AG=CF.试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由.图8BEFCADG【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图9，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF CE于点F，AH CE于点H，GD DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，试思考并解答这个问题.图9BEFCADGH【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图10，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH CE于点 H，点 M 在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，试思考并解答这个问题.图10BEMCADH答案：（1）四边形ABCD是正方形，证明略.（2）FH=AH+CF.（3）MC=2BH，证明略.考查目标：此题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质.作出合适的辅助线，构建相似三角形是解题的关键.命题意图：此题通过设置开放性、探究性和综合性层级问题，在突出考查学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的同时，着眼于研究几何问题的通性通法.命题评价：此题以正方形结构为载体，要求学生进一步探究正方形中的边之间的关系.从学生学习的结论出发，开辟新的思考方向，得出新的探究结论，这个过程本身就是对学生学习数学方法的指导，充分体现了从学习过程出发，徐徐而来，以学会学习为目的，最终达到一定的高度，体现了思维的层次性，再深入挖掘，还会发现其他的探究方向和探究途径.通过此题，告诉学生数学就在身边.此题采用从特殊到一般再拓展的探究模式，这种呈现模式符合学生探究问题的经验与方法，渗透了对学生的几何直观、运算能力、推理能力等素养的考查.（2）动态问题.动态问题是指在一定的条件下探索发现一些特殊图形运动变化过程中的规律问题.这类问题由于综合性强，涉及的知识面广，对学生的知识迁移能力、灵活应用能力和分析判断能力要求较高.例 14（四川南充卷）如图 11，抛物线y=ax2+bx+3()a 0与x轴交于A()-1，0，B()3，0两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式.（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标.12上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南（3）如图12，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K()1，3的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N.试探究EM EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.图11AOBCyx图12AOBCyxKDE答案：（1）y=-x2+2x+3.（2）点 P 的坐标为()2，3或()1-7，-3或()1+7，-3.（3）EM EN是定值，EM EN=16.考查目标：此题是一道二次函数与一次函数的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，由动点产生的平行四边形判定，一元二次方程的根与系数的关系等知识.理解一次函数与二次函数图象的交点与对应一元二次方程根的关系，是解题的关键.命题意图：此题将二次函数、一次函数与几何图形进行综合，考查学生运用函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程等知识解决问题的能力.第（1）小题设置了低起点的基础型问题，目的是兼顾全体学生.第（2）小题由平行四边形位置的不确定，考查学生运用分类讨论思想和方程思想求点P的坐标.第（3）小题通过在坐标系中运用一次函数的解析式表达直线的运动状态，通过代数的方法解决线段乘积是否为定值的问题，充分体现平面直角坐标系的工具性作用.命题评价：此题以二次函数为背景，渗透了方程思想、分类讨论思想等，对二次函数、一次函数、全等三角形、平行四边形等知识进行了综合考查.试题的三个设问层层递进，有利于不同层次的学生发挥出自己真实的学业水平，体现了良好的区分度.此题具有综合性、探究性和开放性的特点，较好地考查了学生的思维能力及综合应用知识解决问题的能力.（3）综合与实践型试题.“综合与实践”领域所涉及的知识并不固定，可以是数与代数、图形与几何、统计与概率中的任何一个部分，甚至多个部分.学生的学习内容并非理解确定的概念、定理或法则，而是面对一些具有数学内涵的任务，设计并实施完成任务的具体过程.通常，具体的完成过程会涉及抽象思维与推理活动、综合应用多种知识分析与解决问题等步骤.此类问题有利于考查学生对不同知识间关联的理解程度，在完成任务过程中表现出的思维方式、思维水平，对活动对象的理解深度，以及从事抽象、探究、分析等活动所具备的数学经验.在实践层面，这类试题在各级考试中较为少见，学生平时练习较少.各地区对于综合与实践型试题的命制表现出如下特点：一是问题背景是非纯数学的，其中所蕴含的数学内容具有综合特征；二是完成任务的过程是多步骤的，问题通常由若干个小问题构成，体现思维活动的过程性，易于考查学生的思维水平；三是解决问题的具体过程不是通过较为复杂的数学运算、作图、统计图表等特定的活动技能，目的在于让学生能够将完成任务的重心置于理解任务、设计解决问题的方案、对思维结果的解释等方面.例15（北京卷）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分内容如下.每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990.方案1：采用一次清洗的方式.结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990.方案2：采用两次清洗的方式.记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为()x1+x2个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如表3所示.表3x1x2x1+x2C11.00.811.80.9909.01.010.00.9899.01.310.30.9907.01.98.90.9905.52.68.10.9904.53.27.70.9903.54.37.80.9903.04.07.00.9883.05.08.00.9902.07.19.10.9901.011.512.50.990 13上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容.（）选出C是0.990的所有数据组，并划“”；（）通过分析（）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在如图13所示的平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象.131211109876543211312111091 2