提取对称关系 设计运算思路——以一道圆锥曲线试题的解答为例.pdf

下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）试题研究试题研究一、问题提出在日常练习中，笔者选用了2023年高考数学全国乙卷（文科）第12题，题目如下.题目设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可以为线段AB中点的是（）.（A）()1，1（B）()-1，2（C）()1，3（D）()-1，-4学生通过先假定某个选项给定的点满足题意，直接使用“点差法”求得弦的斜率并写出其所在直线的方程，然后验证直线与双曲线是否相交来判断假定的选项是否正确.以选项A给定的点()1，1为例，由“点差法”求得弦的斜率为9，从而弦所在直线的方程为y-1=9()x-1，将其与双曲线的方程联立，消去y，整理，得72x2-144x+73=0.因为判别式=1442-472730，方程无解，所以排除选项A.这种运算路径长、计算多、数据大、耗时多.在讲评中，应该让学生弄清楚导致运算烦琐的原因；要让学生明白如何转化问题、提取哪些几何对象、如何表征这些几何对象，从而设计出简洁的运算思路.以下是笔者的实践和思考，以期抛砖引玉.二、运算路径分析普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）指出：数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算主要表现为理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.其中，运算思路是解决问题的关键，是体现数学运算素养的精华.下面从运算思路中的几何关系、运算对象的结构特征和产生运算思路的观察视角李昌（南京师范大学灌云附属中学）摘要：针对学生对一道试题解答的运算思路，分析了运算烦琐的原因在于提取的几何对象和表征的代数结构都丧失了对称性，进而从几何直观和代数推理两个角度给出三种简洁的解答过程.最后从理解数学运算的本质特征、培养解析几何的思维方式、发挥对称结构的简化功能等方面反思了解析几何的运算教学.关键词：数学运算；运算思路；对称关系中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）02-0043-05引用格式：李昌.提取对称关系设计运算思路：以一道圆锥曲线试题的解答为例 J.中国数学教育（高中版），2024（2）：43-47.作者简介：李昌（1972），男，正高级教师，主要从事高中数学教学研究.提取对称关系设计运算思路以一道圆锥曲线试题的解答为例 43下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）试题研究试题研究三个方面分析学生运算路径的特点.1.运算路径体现了直线与曲线的位置关系从运算路径来看，学生是把“四个选项给定的点是否是双曲线的弦的中点”的判断问题归结为“判断直线与双曲线的位置关系”的问题.运算的对象自然是直线与双曲线的方程，运算的法则是消元、化简等解方程组的等价变形，运算的结果是一元二次方程根的个数.这种思路是判断直线与圆锥曲线位置关系的通法，具有典型性，学生也容易想到.在这样的运算中，写直线的方程、消元化简整理成一元二次方程的标准形式、确定判别式的符号等思维步骤和运算环节都必不可少.因此，运算路径必然漫长，运算量也因受到斜率数值的计算、消元化简的过程，以及一元二次方程的系数等多种因素的影响而变得庞大.2.表征几何对象的代数结构丧失了对称性随着学生对问题的等价转化，运算过程中提取的几何对象也由双曲线弦的两端点变成了由这两点确定的弦.这看似没有差异，但弦的端点与弦所在的直线两者在代数结构上存在显著差异，以()u，v为中点的弦可用两端点的坐标()u+x，v+y，()u-x，v-y来表示，其中对同一对象实施的加、减运算具有互逆性.互逆的运算成了承载和延续中点对称性的载体，奠定了简化代数运算的基础.圆锥曲线的弦本质上是线段，线段本身就有对称性，但在用“点差法”求弦的斜率时，弦中点的坐标()u，v经双曲线x2-y29=1被转化成斜率的数值9uv.与端点的坐标相比，斜率的数值虽然也携带了中点坐标的信息，但是不能表达中点所承载的对称性.因此，用“点差法”求解的运算思路，虽然也运用了数形结合的思想，但形与数结合的程度是浅表化的，运算的路径因此漫长而烦琐.3.观察的图形和提取的对象都处于静止状态运算对象是体现数学运算素养的载体，来自对问题的抽象.由于观察视角的不同，观察结果和问题转化方向自然存在差异，从中提取的运算对象和产生的运算路径也不相同.这体现了数学运算的多样性和层次性.对于题目中的图形，有三个观察视角，第一个视角是像学生那样，从弦所在的直线来观察，从而将问题转化为对“过定点斜率为定值的直线与双曲线位置关系”的判断；第二个视角是从中点所承载的对称性来观察，即在双曲线上任取一点，观察它的对称点是否在双曲线上，这样问题可归结为对“关于定点对称的两点是否同在双曲线上”的判断；第三个视角是观察双曲线动弦的中点，确定动弦中点的轨迹图形或者它的代数关系式，判断四个选项给定的点是否在弦中点的轨迹上，难点在于如何通过观察、推理或运算得出弦中点的轨迹.不同的观察视角和转化方向体现了不同的认知观念和思维方式.第一个视角是基于平面图形的观念和平面几何的思维方式，提取的几何对象是静止的，因此体现出静态的思维方式.而第二个视角和第三个视角是基于运动变化的观点，前者提取了双曲线上的动点，观察其对称点与双曲线的位置关系；后者提取了双曲线动弦的中点，观察、推测中点的轨迹，判断四个选项给定的点与轨迹的关系.前文已经指出，第一个视角下的运算对象虽然与中点紧密相关，但是其代数结构缺乏对称性，因而丧失了简化运算的功效.相对地，第二个视角和第三个视角下的运算对象不仅与中点紧密相关，而且表征运算对象的代数结构都能承载和延续弦中点所具有的对称性，由这两种视角设计的运算思路必然简洁精干，具体如下.三、简洁的解答以上分析表明，使运算路径简洁的关键在于选择的几何对象要能凸显中点承载的对称性，表达几何对象的代数结构要能延续中点的对称性，即形与数要进行深度结合.1.对称的两点同在双曲线上当问题被归结为对“关于定点对称的两点是否同在双曲线上”的判断时，运算对象自然是这两个对称点的坐标，运算目标是判断它们的坐标是否同时满足双曲线的方程，运算思路是把两点的坐标代入双曲线的方程，联立方程组并确定其是否有解.仍以判断选项A的运算过程为例：设A()1+x，1+y，44下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）试题研究试题研究B()1-x，1-y是关于定点()1，1对称的两点，点A，B同在双曲线上等价于方程组()1+x2-()1+y29=1，()1-x2-()1-y29=1存在非零实数解.分别将方程组中的两式相加、相减，化简，得x2-y29=19，x-y9=0.消去y，得-8x2=19.这显然无实数解，因此选项A不成立.显然，这种运算的路径短、计算少.其原因在于，运算对象结构对称、形式对偶，这使得相同或相反的项相减或相加等互逆的运算总是成对出现在化简、消元的过程中，而且得出的一元二次方程不含一次项，无需计算判别式的值就能直接判断解的情况.2.从直观上确定弦的中点位置如果把问题归结为对“四个选项给定的点是否在双曲线动弦中点的轨迹上”的判断，那么运算对象自然是弦的中点，运算目标是明确双曲线动弦中点的轨迹图形或代数表征.这可以从几何直观上获得结果，教学片断如下.师：不妨逆向思考，如果能确定双曲线弦的中点所在的范围，那么不在此范围内的点，就不是弦的中点.能在直观上获得双曲线x2a2-y2b2=1的弦的中点所在的范围吗？生1：弦的两端点可能同在双曲线的一支上，也可能分别属于双曲线的两支.对于前者，容易看出弦的中点在两端点所在的这一支包含焦点一侧的区域内，如图1所示.对于后者，不能看出弦的中点所在的范围.MBAOxy图1师：当弦的两端点同在双曲线的一支上时，弦所在的直线与两条渐近线有什么关系？这种关系说明了弦所在直线具有怎样的代数特征？生2：如图1，因为弦AB的两端点同在双曲线的右支上，弦所在的直线与两条渐近线都相交，所以弦AB的斜率k要么不存在，要么满足kba.由对称性知，当弦AB的两端点同在双曲线的左支上时，也有同样的结论.师：对于直观的结论，我们应该思考其背后的道理.对于尚未解决的问题，我们应该思考能否将其转化为已经解决的问题，或者找出它们之间的联系.如图2，对于弦AB的两端点分别属于双曲线左、右两支的情形，如何将其转化为两端点同在双曲线一支上的情形呢？MBAOA1xy图2生3：如图2，根据对称性，点A关于中心O的对称点A1与点B同在双曲线的右支上，这样，线段A1B是两端点同在双曲线右支上的弦.师：弦AB的中点M与弦A1B之间有什么几何关系或代数关系？生4：因为点O，M分别是AA1，AB的中点，所以OM是ABA1的中位线.所以OMA1B.因为直线OM的斜率k要么不存在，要么满足kba，所以弦AB的中点M位于两条渐近线所夹的包含虚轴的区域内.师：综上所述，双曲线弦的中点位于如图3所示的不含边界的阴影区域内.不在这个区域内的点，不能成为双曲线的弦的中点.对于前面的题目，容易发现只有选项D给定的点在阴影区域内，所以答案选D.45下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）试题研究试题研究丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁丁Oxy图33.通过推理确定弦的中点轨迹通过弦的中点坐标满足的代数关系来确定弦的中点轨迹.对于给定的曲线，弦的中点与端点相互制约，因此可以用中点坐标表示端点坐标，并把端点坐标代入曲线的方程，建立方程组.方程组存在非零实数解的条件就是弦的中点坐标满足的代数关系.其运算过程如下.将以M()u，v为中点的两点设为A()u+x，v+y，B()u-x，v-y，其中x，y是不全为0的实数，当点A，B同在曲线上时，曲线上存在以点M为中点的弦.如果曲线的方程为x2a2+y2b2=1，则当关于x，y的方程组()u+x2a2+()v+y2b2=1，()u-x2a2+()v-y2b2=1有非零实数解时，曲线存在以点M为中点的弦.注意到，上述方程组等价于u2+x2a2+v2+y2b2=1，uxa2+vyb2=0，由于uxa2+vyb2=0中的未知数x，y成比例，因此引入非零参数t，使x=-a2vt，y=b2ut代入u2+x2a2+v2+y2b2=1，化简整理，得关于参数t的二次方程u2a2+v2b2()1+a2b2t2=1.因为对任意的非零参数t，不等式1+a2b2t21始终成立，所以当且仅当0u2a2+v2b21时，方程u2a2+v2b2()1+a2b2t2=1存在非零实数解.而满足0u2a2+v2b21或u2a2-v2b21的有序数对()u，v表示的点位于双曲线左支的左侧或右支的右侧，满足u2a2-v2b20上，则()v+y2=2p()u+x且()v-y2=2p()u-x.两式相加、化简，得v2+y2=2pu.显然，这个关于y的方程只有在2pu-v20时才有非零实数解.而满足v20的右侧，即只有位于抛物线开口内部的点才能成为弦的中点.四、教后思考在解析几何教学中，只有深刻认识到数学运算的本质特征，才不会将其异化为纯粹的代数计算；也只有发现并充分利用代数结构所表达的几何图形的对称性，设计的运算路径才能更简洁.1.深刻理解解析几何数学运算的本质特征用代数方法解决几何问题是解析几何的核心思想.代数方法主要指数学运算，数学运算本质上是用演绎推理解决数学问题的思维方式.解析几何中的数学运算是几何背景下的运算推理，其运算对象虽然无异于纯粹的数式，然而却是一些几何元素、几何关系的代数表征；它遵循的运算法则虽然无异于代数的加、减、乘、除，然而执行哪种运算却不是机械和任 46下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）下半月（高中版）2024年第2期（总第304期）试题研究试题研究意的，而是由几何性质及其相互间的关系来决定的；其运算路径不是程序化的，而受制于几何量、几何性质或几何关系的内在逻辑；代数运算的结果大多数情况下要与几何量、几何性质的意义相符.这表明了几何背景具有导算、启算和验算的功能，是代数运算的骨架.因此，解析几何运算教学的目标设定，不能停留在习得算法知识和提升运算技能的层面，而应该上升到优化运算思维和提高运算素养的水准.解析几何运算教学的价值追求，不能停留在用代数方法研究几何问题的感性层面，而应该深化到丰富推理内涵，推动运算发展的理性高度.通过解析几何，抽象的代数结构有了直观形象的模型，数形结合的思想方法融合了几何思维的形象化和代数运算的程序化，实现了逻辑推理与代数运算的灵活转换.2.破除模式化运算培养解析几何的思维方式在圆锥曲线的问题解决中，一些学生常常把直线与圆锥曲线的位置关系作为解决问题的方向和路径.基于此的运算思路具有模式化的特征：先按照解方程组的变形法消元化简，整理成一元二次方程，写出根与系数的关系；再确定后续的运算对象和运算思路，如果代数结构复杂或者找不到运算思路就放弃解答.长此以往，学生容易形成思维定式和“解析几何中的数学运算不仅烦琐而且路径单一”的错误认识.通过教学培养和发展解析几何的思维方式是破除模式化运算的必由之路.解析几何的思维方式指的是，在解决问题时先用几何眼光观察，分析几何图形的要素及相关的几何关系；再用代数语言表达，而且在代数运算中时刻注意利用它们来简化运算.笔者认为，这种思维方式在解决问题时具体体现为：首先，要厘清题目中的几何关系，深刻理解问题本质，适当转化、恰当归纳；其次，要合理提取几何对象并恰当地表征，即表征几何对象的代数结构既要准确表达数学本质又不能丧失特点；最后，围绕几何性质和几何关系设计合理简洁的运算思路，求得与几何意义相符的运算结果.学生运用解析几何的思维方式提取几何对象、表征代数结构、设计运算思路的过程是实践数形结合思想的过程，也是智慧拔节的生长过程.3.充分发挥代数对称结构简化运算的功能对称性普遍存在于自然界和人类社会中.数学中的诸多内容都呈现出结构对称、性质优美的特征.“从一般意义上讲，对称对于我们的论题很重要如果一道题目具有某方面的对称性，我们常常能得益于注意到可以互换的部分，而且，常常值得我们用同样的方式来处理那些起相同作用的部分.”数学教育家G.波利亚的这句话至少表明了对称性可以使问题的解决事半功倍.因此，在设计运算思路时，应该选取能体现对称性的几何对象作为运算对象，表征运算对象的代数式也要尽可能地保留结构上的对称性.这才符合G.波利亚所教的“对称的东西要尽量对称地去处理，不要随意破坏任何自然的对称性”的解题原则.对称是体现数学美的主要方式，通过教学有意识地引导学生去感悟和体验对称美，既可以培养学生的审美情趣，又能用对称思想潜移默化地熏陶学生.长此以往，学生会用对称的眼光观察数学对象，用对称的思想分析数学问题，这样不仅有利于发现简洁的解答，也可以促使学生对数学的理解更加深刻、透彻.参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）解读 M.北京：高等教育出版社，2020.3张兵源.数学运算素养培养的探索与思考 J.数学通报，2023，62（2）：9-13.4李昌.选择运算对象突破运算障碍：以一道圆锥曲线试题为例 J.中学教研（数学），2023（4）：16-19.5 章建跃.数学的思维方式与核心素养（之五）J .中小学数学（高中版），2018（12）：66.6波利亚.怎样解题：数学思维的新方法 M.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技出版社，2002.47