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2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究25妙用曲线系 巧破解几题广东省佛山市南海区石门中学(528200)熊向前解析几何作为高中数学学习的重要内容,在高考中占据着重要的地位,全国各地每年的高考试题中,都会出现解析几何的解答题,且通常出现在压轴题的位置.其运算量之大,常令许多考生陷入困境,尤其是在比较复杂的、涉及多条直线时,求交点、求方程往往使考生望而却步.本文从曲线系方程的思路出发,研究几类解析几何题的曲线系方程的解法,旨在减少相关问题的运算量.1.二次曲线系方程的介绍曲线系是指具有某种共同性质的所有曲线的集合,并用含有一个参数的方程来表示,参数取不同的值,得到不同的曲线.在坐标平面内,由二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的曲线,称为二次曲线,它包括圆、椭圆、双曲线、抛物线以及退化的二次曲线(即两条直线).在此强调一下退化的二次曲线,我们知道,方程 A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0 表示的是两条直线,而方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0表示的曲线上的点要么满足 A1x+B1y+C1=0,要么满足 A2x+B2y+C2=0,并且它展开之后是一个二次式,因此方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 表示的是直线 A1x+B1y+C1=0 和直线 A2x+B2y+C2=0 上所有点的集合,被称为直线 A1x+B1y+C1=0 和直线A2x+B2y+C2=0 形成的二次曲线方程.若二次曲线 1 的方程为 f(x,y)=0,二次曲线 2 的方程为 g(x,y)=0,则经过二次曲线 1、2 的交点的二次曲线系的方程可设为 f(x,y)+g(x,y)=0(其中,为参数且 =0).不难解释,首先这是一个二次的方程,表示一条二次曲线,其次所有同时满足 f(x,y)=0 及g(x,y)=0 的点都符合上式.当我们确定需要研究的曲线不是 f(x,y)=0(或 g(x,y)=0)时,可设经过二次曲线1、2 的交点的曲线系的方程为 f(x,y)+g(x,y)=0(或f(x,y)+g(x,y)=0).利用这一关系,当我们还知道要研究的曲线方程为h(x,y)=0 时,可以得到f(x,y)+g(x,y)=h(x,y),()对比()两边的系数便可以解决问题.同样,如果要研究的曲线不是 f(x,y)=0 或 g(x,y)=0,则可同时除以 或,也就是说()中的待定参数可以放在任意两个方程前面.2.二次曲线系方程的应用应用一 解决四点共圆问题例 1(2014 年高考全国大纲卷)已知抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P.与C 的交点为 Q.且|QF|=54|PQ|.(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程.解析(1)易知 C:y2=4x(过程从略).以下考虑(2).方法一(常规方法)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB:x=my+1,代入y2=4x得y24my4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=4,|AB|=1+m2|y1 y2|=4(m2+1),AB 的中点坐标为 D(2m2+1,2m),于是 l的方程为y 2m=mx(2m2+1)即 y=mx+2m3+3m,代入 y2=4x 得 y2+4my 4(2m2+3)=0,设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=4m,y3y4=4(2m2+3),所以MN 的中点 E(2m2+2m2+3,2m),|MN|=1+1m2|y3 y4|=4(m2+1)2m2+1m2,因为 MN 垂直平分 AB,所以 A,M,B,N 四点共圆等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+(2m2+2)2+(2m+2m)2=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化简得 m2 1=0,即 m=1.综上知,直线 l 的方程为x+y 1=0 或 x y 1=0.方法二(利用二次曲线系方程)设直线 AB:x=my+1,直线 MN:y=mx+b,过 A,M,B,N 四点的曲26中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)线系方程可设为(y2 4x)+(my x+1)(y+mx b)=0,(1)其中 为参数,因为 A,M,B,N 在同一圆上,故(1)可表示为圆的方程,方程中 xy 项的系数为 0 即 m2 1=0,得 m=1.综上可知,直线 l 的方程为 x+y 1=0 或x y 1=0.评析对比两种方法不难发现,常规方法思路清晰但运算量大,很难在短时间内快速算出正确答案,而利用二次曲线系方程来做则抓住了问题的本质,避开了繁琐的运算.利用曲线系方程来解决此类问题的思路如下:1.找出两条直线,这两条直线上的四个点都在要研究的圆锥曲线上,设出这两条直线的方程:aix+biy+ci=0(i=1,2),将两个直线的方程相乘得到两条直线对应的二次曲线的方程:(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=0.2.写出两直线对应的二次曲线与已知圆锥曲线的四个交点的曲线系方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F+(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=0.3.通 过 已 知 条 件 对 比 某 些 项 的 系 数,求 出 未 知数,如上题中四点共圆,则含 xy 项的系数为零,故必有a1b2+a2b1=0.例2(2011年高考全国卷)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x2+y22=1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为2的直线l与C 交于A,B 两点,点P 满足 OA+OB+OP=0.(1)证明:点 P 在 C 上;(2)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.解析(1)略.(2)由(1)知直线 PQ 的方程为2xy=0,直线 AB 的方程为2x+y 1=0,设过 A、P、B、Q 四点的二次曲线系方程为(2x+y 1)(2x y)+(x2+y22 1)=0,即(+2)x2+(2 1)y22x+y =0,(2)若表示圆,则 +2=2 1,得 =6,代入(2)并整理得x2+y2+24x14y 32=0,此即为 A、P、B、Q 四点所在圆的方程.所以 A、P、B、Q 四点在同一圆上.评析利用曲线系方程证明四点共圆的思路:由两条直线形成的二次曲线方程与圆锥曲线方程设出过四点的二次曲线系的方程,通过令 x2与 y2系数相等求出参数,将 的值代入上述二次曲线系的方程,得到一个圆的方程,从而说明这四点共圆.例3(2021年新高考I卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F1(17,0),F2(17,0),点M 满足|MF1|MF2|=2.记 M 的轨迹为 C.(1)求 C 的方程;(2)设点 T 在直线 x=12上,过 T 的两条直线分别交 C于 A,B 两点和 P,Q 且|TA|TB|=|TP|TQ|,求直线AB 斜率与直线 PQ 的斜率之和.解析(1)x2y216=1(x 1),过程略.(2)设 T(12,t),直 线 AB:y t=k1(x 12),直 线 PQ:y t=k2(x 12),则直线 AB、PQ 形成的二次曲线方程可表示为:y t k1(x 12)y t k2(x 12)=0,所以经过它与 C 的交点 A,B,P,Q 的二次曲线系的方程可设为:(x2x2161)+ytk1(x12)ytk2(x12)=0,(3)因为|TA|TB|=|TP|TQ|,由割线定理知 A,B,P,Q 四点共圆,所以必存在 使得(3)式表示为圆的方程,故(3)式的展开式中含 xy 项的系数为 0,即:(k1+k2)=0,所以k1+k2=0.评析以上几例实际上反映了椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线的一个性质:设两条直线 y=kix+bi(i=1,2)与圆锥曲线 C 有四个交点,则这四个交点共圆的充要条件是k1+k2=0.在解决以上问题的过程中,常常需要用到四点共圆的相关性质定理,关于四点共圆,有以下相关结论:1.四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在底边的同侧,其顶角相等 这四点共圆.(同一段弧所对的圆周角相等)2.对于凸四边形 ABCD,其对角互补 A,B,C,D 四点共圆.(圆内接四边形对角互补)3.对于凸四边形 ABCD,其对角线 AC、BD 的交线为M,MA MC=MB MD A,B,C,D 四点共圆.(相交弦定理)4.对于凸四边形 ABCD,其边 AB、DC 的延长线交于M,MA MB=MD MC A,B,C,D 四点共圆.(割线定理)5.对于凸四边形 ABCD,则 AB CD+AD BC=AC BD A,B,C,D 四点共圆.(托勒密定理)对应练习(2016 年高考四川卷)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 P(3,12)在椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设不过原点 O 且斜率为12的直线 l 与椭圆 E 交于2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究27不同的两点 A、B,线段 AB 的中点为 M,线段 OM 与椭圆E 交于 C、D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.应用二 解决恒过定点问题例 4(2020 年高考全国 卷)已知 A,B 分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a 1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点,AG GB=8,P 为直线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D.(1)求 E 的方程;(2)证明:直线 CD 过定点.解析(1)x29+y2=1,过程从略.(2)设 P(6,y0),则直线 PA 的方程可以表示为 y=y09(x+3),直线 PB 的方程可以表示为 y=y03(x 3),设直线 CD:x=ty+n,则经过 A,B,C,D 的二次曲线系方程可设为y(x ty n)+(y y03x+y0)(y y09x y03)=0,由于 A,B,C,D 四点同时在椭圆 E 上,故必存在 使得上式满足椭圆 E:x29+y2 1=0 的方程,比较 y 项的系数得n+(y0y03)=0,1比较 xy 项的系数得1 49y0=0,2由12得 b=32,故直线 CD 的方程为 x=ty+32,所以直线 CD 过定点(32,0).评析本例是解析几何中非对称性韦达定理问题,用常规方法做需要把所给条件转化成对称性韦达定理的条件来做,计算量大,利用二次曲线系的方法做无疑使得计算量大大减小.利用二次曲线系方程求解此类问题的思路如下:1.在要研究的圆锥曲线上找到四个点(四条直线),写出这四条直线的方程,从而得到两个退化的二次曲线的方程(这两个退化的二次曲线的交点都在圆锥曲线上),进而可设出过这四个点的二次曲线系的方程;2.通过圆锥曲线的方程,对比两边某些对应项的系数,建立等量关系.在对比系数时,要通过观察和尝试选出有用的等式,不要将式子展开,只需单独算出某些待定项的系数即可.例 5(2017 年高考全国卷)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点.若P2A 与 P2B 的斜率的和为 1,证明:l 过定点.解析(1)易得 C 的方程为x24+y2=1,过程从略.(2)设直线直线 P2A 的方程为 y=k1x+1,直线 P2B的方程为 y=k2x+1,直线 l 的方程为 y=kx+b,过P2的切线方程为 y 1=0,把 P2点看成是 C 上无限接近的两个点,则过这两个点的的直线可看成为过 P2的切线,因此经过 P2、A、B 的曲线系的方程可以表示为(y 1)(kx y+b)+(k1x y+1)(k2x y+1)=0,因为 P2、A、B 三点都在椭圆 C 上,故必存在 使得上式满足椭圆 C 的方程,因此上式的展开式中含 xy 项、y 项的系数必然为 0,所以有 k k1 k2=0,b+1 2=0,又由 k1+k2=1 得 b=2k 1,所以直线 l 的方程为y=kx2k1,即 y=k(x2)1,故直线 l 过定点(2,1).评析三条直线 l1:f(x,y)=0,l2:g(x,y)=0,l3:h(x,y)=0 两两相交于三点,则过这三点的二次曲线系的方程可设为f(x,y)g(x,y)+g(x,y)h(x,y)+f(x,y)h(x,y)=0,故本例中过 P2、A、B 三点的二次曲线系方程可设为(kx y+b)(k1x y+1)+(k1x y+1)(k2x y+1)+(kx y+b)(k2x y+1)=0,但再进行分析则明显计算量很大,所以我们把 P2点看成是C 上无限接近的两个点,过这两个点的直线可看成为过 P2的切线,这样就将过三个点的二次曲线系方程转化成过两个二次曲线的交点对应的曲线系方程,使得后续分析过程大大简化.对应练习(2020 年新高考全国 I 卷)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22,且过点 A(2,1).(1)求 C 的方程;(2)点 M,N 在 C 上,且 AMAN,ADMN,D 为垂足.证明:存在定点 Q,使得|DQ|为定值.应用三 解决定值问题例 6(2022 年高考全国 卷)已知点 A(2,1)在双曲线C:x2a2y2a2 1=1(a 1)上,直线 l 交 C 于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为 0.(1)求 l 的斜率;(2)略.解析(1)易得双曲线 C:x22 y2=1.易知 l 的斜率存在,设 l:y=kx+b,P(x1,y1),Q(x2,y2),设 AP 的方程为 y 1=k1(x 2)即 k1x y 2k1+1=0,AQ 的方程为 k2x y 2k2+1=0,直线 l 的方程为 y=kx+b 即kx y+b=0,过 A 的切线方程为 x y 1=0,把 A 点看成是 C 上无限接近的两个点,过这两个点的的直线可看成为过 A 的切线,因此经过 A,P,Q 三点的曲线的方程可以表28中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)示为(x y 1)(kx y+b)+(k1x y 2k1+1)(k2x y 2k2+1)=0,因为 A,P,Q 三点都在 C 上,故必存在 使得上式满足C 的方程,因此上式的展开式中含 xy 项的系数为 0,所以1 k k1 k2=0,又由 k1+k2=0 得 k=1,所以l 的斜率为 1.例 7(2011 年高考四川卷)如图 1,过点 C(0,1)的 椭 圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的 离 心 率 为32,椭 圆 与 x 轴 交 于 两点 A(a,0),B(a,0),过点图 1C(0,1)的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与 BD 交于点 Q.(1)当直线 l 过椭圆的右焦点时,求线段 CD 的长;(2)当点 P 异于点 B 时,求证 OP OQ 为定值.解析(1)椭圆方程为x24+y2=1,|CD|=167,过程略.(2)易知直线 l 的斜率存在且不为 0,设为 y=kx+1,直线 AB:y=0,直线 AC:x+2y 2=0,直线BD:x=ty 2.则 P(1k,0),Q(2(t 2)t+2,4t+2),过A,B,C,D 四点的二次曲线系方程为 y(kx y+1)+(x+2y 2)(x ty+2)=0.由于 A,B,C,D 四点同时在椭圆x24+y2=1 上,比较xy 项的系数得k t+2=0,1比较 y 项的系数得1+4+2t=0,2由12得k=2 t2(t+2),所以 OP OQ=1k2(t 2)t+2=4.故 OP OQ 为定值.评析 本例中,由于 A,B,C,D 四点均在椭圆上,故可将直线 AB 与 CD、AC 与 BD 的方程相乘,得到两个二次曲线的方程,且这两个二次曲线的交点就是 A,B,C,D 四点,然后引入参数,设出过这四点的二次曲线系方程,再将其系数与椭圆方程的系数作对比,得出 k 和 t 之间的关系,从而证明 OP OQ 为定值.应用四 解决最值问题例 8(2016 年高考山东卷)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴长为 4,焦距为 22.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过动点 C 的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.1设直线 PM,QM 的斜率分别为 k1,k2,证明k2k1为定值;2求直线 AB 的斜率的最小值.解析(1)椭圆 C 的方程为x24+y22=1.(2)1证明:设 P(x0,y0)(x0 0,y0 0),由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,2m).所以直线 PM 的斜率 k1=2m mx0=mx0,所以直线 QM 的斜率 k2=2m mx0=3mx0,所以k2k1=3 为定值.2设直线 AB:y=kx+n,由1知直线 PA:y=k1x+m,直线 QB:y=3k1x+m,直线PQ:x x0=0,因为椭圆过二次曲线 PA QB 与二次曲线 AB PQ 的四个交点 A,B,P,Q,所以有(x x0)(kx y+n)+(y k1x m)(y+3k1x m)=(x24+y22 1).比较 xy 项系数得1+2k1=0,(i)比较 x2项系数得k 3k21=4,(ii)比较 y2项系数得=2,(iii)综合(i)(ii)(iii)得 k=3k12+14k162,当仅当 k1=66时等号成立.所以直线 AB 的斜率的最小值为62.一般来说高考中出现的二次曲线为两对直线(四条直线)与一圆维曲线等三个元素组成的体系.如果遇到切点弦,可以把切点弦所在直线看成两条靠得很近的直线,如果遇到三角形,可以把一个顶点看成两个靠得很近的点,这“两个靠得很近的点”构成的直线可以认为是三角形那个顶点对应的切线.通过添加系数,可以通过其中的任意两个元素来表示第三个元素,从而建立等式,列出方程求解.3.结束语曲线系的方法解题过程简洁,计算量很小,思路独特,适用于含有有两个或两个以上的二次曲线(特别注意出现两条相交直线)的题目,题目中往往存在多个交点,不是每个题目都可以用曲线系的方法来做,所以教师在解析几何的教学过程中还是要重视常规的通性通法的讲解,重视对不同题目的不同方法的归纳与总结.对于可以用曲线系方法解决的题目,教师要在学生掌握好常规解析法的基础之上再进行教授,这样才能让学生看清曲线系方法的优势并更好地掌握好曲线系的方法,达到开拓学生视野,拓展学生的思维的目的,并且在今后的考试中灵活应变.参考文献1 陈清华.巧用曲线系方程妙解题 J.数学通讯,2019(19):20-23+25.2 唐宜钟.2020 年高考圆锥曲线问题解法探索与备考建议 J.中学数学研究(华南师范大学版),2021(01):3-5.3 陈忠.利用曲线系方程解决定点定值问题 J.考试周刊,2014(27):42-43.