探究一道两三角形面积之比问题.pdf

2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究19探究一道两三角形面积之比问题四川省雅安市教育科学研究院(625000)高继浩摘要 本文探究了一道圆锥曲线中的两三角形面积之比问题,将试题进行推广,得到了椭圆中的几个简洁优美的一般性结论,并将相关结果引申到了双曲线中.关键词 三角形;圆锥曲线;面积之比;定值问题;离心率1 试题与解答题目(江西省重点中学盟校 2022 届高三理科第二次联考第 21 题)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点(2,2),直线 m 经过椭圆 C 的一个顶点和一个焦点,椭圆的中心到直线 m 的距离为其短轴长的24.(1)写出椭圆 C 的标准方程;(2)如图 1,若直线 n:y=kx+t(t=0)与椭圆 C相交于 A、B 两点,线段 AB的垂直平分线与直线 n 及 x轴和 y 轴分别相交于点 D,E、G,直线 GF(F 为椭圆的图 1右焦点)与直线 l:x=4 相交于点 H,记 GEF、GHD的面积分别为 S1、S2,求S1S2的值.解 析容 易 求 得 第(1)问 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为x28+y24=1(过程略).本文主要探究第(2)问,其求解如下:联立直线 n 与椭圆 C 的方程,消去 y 得则 y21=2px1,y22=2px2,两式相减得y1 y2x1 x2=2py1+y2=pn,即 kCD=pn,则直线 CD 的方程为 y=pn(x s).设直线 AB 的方程为 x m=t(y n),与直线 CD 的方程联立,可得 yM=p(m tn s)n pt.再把直线 AB 的方程与抛物线 E 的方程联立可得 y2 2pty+2p(tn m)=0,由 0 可得 pt2 2(tn m)0.设 A(x3,y3),B(x4,y4),则 y3+y4=2pt,y3y4=2p(tn m).由 MA=1 AP得 y3 yM=1(n y3),即 1=y3 yMn y3,同 理 得2=y4 yMn y4,于是1+2=y3 yMn y3+y4 yMn y4=2p(m+s)n2 2pm.4 试题溯源例 1 与下面这道竞赛题同根同源:例2(2018年全国高中数学联赛江苏预赛第 11 题)如图 1,已知圆 O 的方程为x2+y2=4,过点 P(0,1)的 直 线 l 与 圆 O 交 于 点A,B,与 x 轴交于点 Q.设 QA=PA,QB=PB,求证:+为定值.图 1不难发现,例 1 与例 2 高度相似,不同点在于:1两道题分别以椭圆和圆为背景;2例 1 第(2)问中直线 AB 所过的定点为椭圆的左焦点 F1,而例 2 中直线 AB 所过的定点为y 轴上的点 P(0,1);3例 1 中的 1(或 2)与例 2 中的(或)符号相反.若将圆看成退化的椭圆,那么由结论 4 很容易得到例 2 中+的值:+=83,即+为定值,笔者在文献 2 中对此题进行了详细探究,本文不再赘述.5 结语本文通过对一道质检试题的探究,逐步深入到问题的本质,最后形成一般的结论.一道优秀的数学试题,不仅能够检验学生的数学能力,更应该有其深刻的数学背景,而学生数学能力的培养,其关键在于教会学生进行数学探究,数学探究又根植于具体问题之中.因此,在解析几何解题教学中,教师应着力培养学生的问题探究意识,要为学生提供自主探究数学问题的机会,让学生在探究中体会学习数学的快乐,从而让数学核心素养落地生根.参考文献1 虞关寿,潘建伟.蕴含于数学高考中的几个“阿波罗尼斯问题”J.数学通讯(下半月),2019(3):42-45+63.2 焦永垚.一道预赛试题的有趣拓展 J.数学通讯(上半月),2021(5):35-37.20中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)(2k2+1)x2+4tkx+2(t2 4)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4tk2k2+1,故y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t2k2+1,所以 D(2tk2k2+1,t2k2+1),显然 k=0,故直线 GD 的方程为 y=1kx t2k2+1.令x=0 可得 G(0,t2k2+1),令 y=0 可得 E(tk2k2+1,0).解法 1因为 F(2,0),故|EF|=?2(2k2+1)+tk?2k2+1.S1=|EF|yG|2=?2(2k2+1)+tk?|t|2(2k2+1)2.GF 的方程为y=t2(2k2+1)(x 2),令x=4,可得H(4,t2k2+1),点H到直线 GD 的距离为 d=2?2(2k2+1)+tk?1+k2(2k2+1).而|GD|=2|t|1+k22k2+1,故 S2=d|GD|2=2|t|?2(2k2+1)+tk?(2k2+1)2,所以S1S2=14.解法 2因为|GE|GD|=xExD=12,|GF|GH|=xFxH=12,所以 EF 是 GHD 的中位线,故S1S2=14.2 试题的拓广注意到试题第(2)问中直线 l 恰为椭圆的右准线,这是否巧合,即在一般情形下,按照题目的描述,S1S2是否还是定值?经探究得到:命题 1 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为F(c,0),斜率存在且不为 0 的动直线与椭圆交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 AB、x 轴、y 轴依次交于 D、E、G 三点,直线 GF 与椭圆的右准线 x=a2c交于点 H,记GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,椭圆的离心率为 e,则S1S2=e4.将命题 1 中的右焦点、右准线改为类焦点、类准线,经探究得到:命题 2已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)和点F(a,0)(=0),斜率存在且不为 0 的动直线与椭圆交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 AB、x 轴、y 轴依次交于 D、E、G 三点,直线 GF 与直线 x=a交于点 H,记 GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,椭圆的离心率为e,则S1S2=2e2.如果命题 2 中的点 F(a,0)与直线 x=a不再是类焦点与类准线的关系,S1S2是否还是定值?进一步探究得到:命题 3已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)和点F(m,0)(m=0),斜率存在且不为 0 的动直线与椭圆交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 AB、x 轴、y 轴依次交于 D、E、G 三点,直线 GF 与直线 x=n(n=0)交于点 H,记 GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,椭圆的离心率为 e,则S1S2=|mn|e2.由于命题 3 比命题 1、命题 2 更具一般性,故只证命题 3.证明设直线 AB 的方程为 y=kx+t(kt=0),与椭圆方程联立,消去 y 得(a2k2+b2)x2+2a2tkx+a2(t2 b2)=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2a2tka2k2+b2,故 y1+y2=k(x1+x2)+2t=2b2ta2k2+b2,所 以 D(a2tka2k2+b2,b2ta2k2+b2),故 直 线 GD 的 方 程 为y=1kx c2ta2k2+b2,其中 c 为椭圆的半焦距.令 x=0,得 G(0,c2ta2k2+b2),令 y=0 得 E(c2tka2k2+b2,0),故|EF|=?m(a2k2+b2)+c2tk?a2k2+b2,所以S1=|EF|yG|2=?m(a2k2+b2)+c2tk?c2t?2(a2k2+b2)2.直线 GF 的方程为 y=c2tm(a2k2+b2)(x m).令 x=n,得 H(n,c2t(n m)m(a2k2+b2),点 H 到直线 GD 的距离为 d=?mn(a2k2+b2)+c2ntk?|m|(a2k2+b2)1+k2.而|GD|=a2|t|1+k2a2k2+b2,故S2=d|GD|2=a2|nt|?m(a2k2+b2)+c2tk?2|m|(a2k2+b2)2,所以S1S2=?c2t?|m|a2|nt|=|mn|e2.受文 1 启发,笔者对偶地将命题 3 中点 F 的位置改为y 轴上,变换视角后探究得到:命题 4如图 2,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)和点 F(0,m)(m=0),斜率存在且不为 0 的动直线与椭圆交于 A、B 两点,线段 AB的垂直平分线与直线 AB、y 轴、x 轴依次交于 D、E、图 2G 三点,直线 GF 与直线 y=n(n=0)交于点 H,记GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,椭圆的离心率为e,则S1S2=|mn|e21 e2.命题 4 的证明与命题 3 类似,此处略.3 结论的引申受文 2 启发,笔者将命题 3、命题 4 引申到了双曲线中.命题 5已知双曲线x2a2y2b2=1(a 0,b 0)和点F(m,0)(m=0),斜率存在且不为 0 的动直线与双曲线交于A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 AB、x 轴、y 轴依2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究21一道等轴双曲线定值问题的探究华南师范大学数学科学学院(510631)邓清睿广州大学附属中学(510000)王守亮摘要针对 2023 年江西省景德镇、上饶等地名校联考的一道等轴双曲线问题,先给出三种求解方法,再探究等轴双曲线背景下两条线段 OP、OQ 所成角 POQ 与1|OP|4+1|OQ|4之间的关系,所成角 POQ 与 xPyPxQyQ之间的关系等,最后证明相关结论.关键词 等轴双曲线;夹角;线段;定值1 问题背景圆锥曲线问题是历年来热门的探究问题,主要涉及:求解各类曲线方程、求解最值问题、求解离心率取值范围以及定点定值的证明问题等.等轴双曲线是双曲线的特例,过去在等轴双曲线与其他几何图形位置关系的探究方面也取得了一些成果1-4,包括:等轴双曲线上四点共圆的充要条件;等轴双曲线上点到特殊点的距离成等比数列的延伸结论;等轴双曲线与圆交点距离平方和的定值问题及与特殊圆交点满足的几何关系;借助反比例函数探究等轴双曲线的相关问题等.本文仅针对第二问展开解法研究与问题推广.2 解法分析题目 已知等轴双曲线 C 的中心为坐标原点 O,焦点在x 轴上,且焦点到渐近线的距离为2.(2)若 C 上有两点 P,Q 满足 POQ=45,证明:1|OP|4+1|OQ|4是定值.第(1)问已得 C 的方程为 x2 y2=2,本文给出(2)的三种证明方法.证法1 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由|OP|2=x21+y21及x21y21=2,则x21=|OP|2+22,y21=|OP|2 22.同理可得 x22=|OQ|2+22,y22=|OQ|2 22.由 POQ=45,则图 1x1x2+y1y2=OP OQ=?OP?OQ?cos45=22?OP?OQ?,则y21y22=(22|OP|OQ|x1x2)2=12?OP?2?OQ?22x1x2?OP?OQ?+x21x22,所以|OP|2 22|OQ|2 22=12|OP|2|OQ|22x1x2|OP|OQ|+|OP|2+22|OQ|2+22.化简得|OP|2|OQ|2+2(|OP|2+|OQ|2)=22x1x2|OP|OQ|.两边平方|OP|2|OQ|2+2(|OP|2+|OQ|2)2=8x21x22|OP|2|OQ|2=8|OP|2+22|OQ|2+22|OP|2|OQ|2.次交于 D、E、G 三点,直线 GF 与直线 x=n(n=0)交于点 H,记 GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,双曲线的离心率为 e,则S1S2=|mn|e2.命题 6已知双曲线x2a2y2b2=1(a 0,b 0)和点F(0,m)(m=0),斜率存在且不为 0 的动直线与双曲线交于A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 AB、y 轴、x 轴依次交于 D、E、G 三点,直线 GF 与直线 y=n(n=0)交于点 H,记 GEF、GHD 的面积分别为 S1、S2,双曲线的离心率为 e,则S1S2=|mn|e2e2 1.命题 5、命题 6 的证明方法与命题 3 相同,略.参考文献1 高继浩.探究一类椭圆和双曲线试题中的三线斜率关系 J.数学通讯(下半月),2022(5):42-43+60.2 高继浩.探究一道两线关系的质检试题 J.中学数学教学,2021(3):36-37.