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利用微专题提升“球”的二轮复习质量.pdf
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1、16中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)利用微专题提升“球”的二轮复习质量广东省中山市第一中学(528400)李 伟摘要 球是高考的一个重要考点,得分率较低.本文以微专题模式,归纳球的几种常见解题方法,帮助学生去发现应对策略,克服对球的害怕心理.关键词 外接球;内切球;二轮复习;微专题真题呈现(2023 年新课标I卷数学第 12 题):下列物体中,能够被整体放入棱长为 1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为 0.99m 的球体B.所有棱长均为 1.4m 的四面体C.底面直径为 0.01m,高为 1.8m 的圆柱体D.底面直径为 1.2m,高为 0.01m
2、 的圆柱体解析选项 A 和 B 是送分的;选项 C 中因为正方体的体对角线长为3m,且3 0.01,所以 D 正确.所以本题正确答案为 A,B,D.评注本题重点考查学生的空间想象能力,解决选项 D的关键就在于要弄清楚圆柱的底面圆和正方体相交于何处,与此类似的题目很多,比如:例 1将两个半径均为 3cm 的球,一起放进一个正方体包装盒中,盒子棱长最小值为cm.解析利用正方体的对角面作出如图的截面,再设盒子棱长为 a cm,则 AA1=a cm,AC=2a cm,AC1=3a cm,O1E=O2F=3 cm,O1O2=6 cm,所以 AA1=a=3+3+6 13=6+23(cm),即盒子棱长最小值
3、为6+23 cm.所以,a=f(14),b=g(14),c=h(14),因为14是一个比较小的数,所以可以考虑利用泰勒公式进行近似估计.f(x)=1 x22,g(x)=cosx 1 x22!+x44!,h(x)=1x sinx 1 x23!+x45!,将14代入上式可得,a=f(14)b=g(14)2,AB=l,ABC vADE,所以ADAB=DEBC,故l2 R2 2l=2R,化简得l=4R+R3R2 4.所以该圆锥的表面积为 S=Rl+R2=R2(R2+4)R2 4+R2=2R4R2 4,令 t=R2 4 0,则 S=2(t+4)2t=2(t+16t+8)2(2t 16t+8)=32,当且
4、仅当 t=16t,即 t=4,R=22 时取等号.该圆锥的表面积的最小值为 32.评注 本题也可利用圆锥的内切球半径公式得到 R 与 l的关系,当然利用相似三角形也很容易推导.2、有两个面互相垂直的三棱锥的外接球如图,我们知道,如果球 O 中有两个互相垂直的截面圆O1和圆 O2,且两圆的半径分别为 r1和 r2,两圆的相交弦AB 长为 m,则球 O 的半径 R=r21+r22m24.该结论可简单证明如下:由题设知 OO21=R2r21,OO22=R2r22,所以 OC2=OO21+OO22=2R2 r21 r22.又在 RtOAC 中,OA2=OC2+AC2,所 以 R2=2R2 r21 r2
5、2+m24,所 以R=r21+r22m24.由上述结论结合挖补原则,在多面体中,如果利用多面体的顶点可以得到面面垂直的两个面,则通过这两个面可以作两个互相垂直的外接圆面,进而得到外接球的半径.例 5如图,已知长方体 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 为正方形,P 为棱 A1D1的中点,且 PA=32,AB=6,则四棱锥 P ABCD 的外接球的体积为.解析易知在四棱锥 P ABCD 中,面 PAD 面ABCD.在 PAD 中,PA=PD=32,AB=6,所以PAD=2,所以 PAD 的外接圆半径 r1=3,又正方形ABCD 的外接圆半径 r2=32.所以四棱锥 P ABCD的外接球半径
6、 R=32+(32)2624=32,所以四棱锥 P ABCD 的外接球的体积为 722.例 6在正四棱台 ABCD A1B1C1D1中,AB=2A1B1=4,AA1=2,则该棱台外接球的表面积为.解析根据挖补原则,该四棱台的外接球和三棱锥A1 ABC 的外接球是一样的,且显然面 A1AC 面 ABC.在 正 方 形 ABCD 中,AC=42,其 外 接 圆 半 径r1=22;在等腰梯形 A1ACC1中,易得 A1AC 的外接圆半径 r2=10.所以三棱锥 A1 ABC 的外接球半径R=(10)2+(22)2(42)24=10,所以该棱台的外接球表面积 S=4R2=40.评注今年的全国乙卷文科数
7、学的第 16 题,SA 平面 ABC,所以平面 SAB 平面 ABC,显然 SAB 的外接2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究19圆半径为 r1=SB2,ABC 的外接圆半径为 r2=3.利用例 6 和例 7 的解法,则 22=(SB2)2+(3)2324,所以SB=13,所以 SA=2.对于棱柱来说,因为只有直棱柱才有外接球,其侧面自然垂直于底面,所以棱柱的外接球问题都可以应用上面的方法来求解.当然棱柱的外接球问题,也可以转化成圆柱的外接球来求解.例 7 如图,棱长均相等的直三棱柱 ABC A1B1C1,则其外接圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为.解析设三棱柱 ABC A1B1C
8、1的棱长为 a,易知ABC 外接圆的半径 r=33a,所以圆柱 OO1外接球的半径 R=(a2)2+(33a)2=216a,故外接球的表面积为 4 (216a)2=7a23.而圆柱的侧面积为2 33a a=233a2,所以其外接圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为233a273a2=237.评注今年的全国乙卷文科数学的第 16 题,SA平面 ABC,所以可将三棱锥 S ABC 转化为直三棱柱,显然 ABC 的外接圆半径为 r=3.利用例 3 解法,则22=(3)2+(SA2)2,所以 SA=2.3、对棱相等的三棱锥的外接球例 8 在三棱锥 A BCD 中,AB=CD=5,AD=BC=10,AC
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