数学学习内容结构化的教学认知.pdf

下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）教学研究教学研究一、高中数学学习内容结构化的背景普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称标准）的课程目标指出，数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，这些素养是相互交融的有机整体，要关注核心素养的综合性和整体性.学习内容结构化是修订课程标准的重要理念.为此，高中数学新教材的内容及编排结构都进行了调整，理解和实施学习内容的结构化有助于准确落实课程标准精神，实现由“教知识”向“育素养”转变.学生对数学的理解不仅包含对数学知识的理解，还包含对数学思维方式和思想观念的理解，这种理解应当是整体性的结构化理解.现有人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版新教材的章末小结中都有“本章知识结构”，体现了新课程对知识结构化的重视.但是这些结构图基本是知识教学顺序的概括再现，是线性排列，主要集中在已学知识的先后顺序上，未能彰显知识联系的复杂性和紧密性.同时，结构化的对象仅体现在知识层面上，形式单一，未能突出数学思维的特征和人们认识数学的个人体验.目前，教师对单元教学设计已经有了新的认识，有加强知识联系的初步行动，但是学习内容结构化仍显不足，重视程度还不够.教学中多维度、多时段、高频率进行学习内容结构化是实现核心素养培育的关键，也是迫切需要加强的教学工作.二、学习内容结构化的内涵与形式结构化是指将所学知识加以归纳统整，并将其条理化、纲领化.学习内容结构化是将已学知识和即将要学习的知识按照某种逻辑顺序组织到一起，并找出知识间存在的各种联系，使之成为一个联系紧密的知识群体，构成一个结点丰富的知识网络.心理学研究表明，将散落各处的知识汇聚、结构化，可以增强学习的牢固性，加大知识存储，提高知识的检索速度和有效提取机会.高中数学学习内容结构化，就是根据所学知识的数学功能，将知识联系起来，形成知识图式的网络系统，从而强化学生对知识体系的整体性认知，提高学生对知识的记忆与理解，增加知识多方位提取与迁移的路径，促进知识创新.侯宝坤（上海市向明中学）摘要：学习内容结构化是课程标准的重要理念，是体现知识整体性学习的关键形式，但课堂落实缺乏有效的组织形式.知识联系、认知路径、数学观念结构化是学习内容结构化的主要策略，是增强知识牢固性、促进知识生长与高效迁移、加强知识整体性的有力手段，是实现从知识教学向素养培育转变的关键.关键词：内容结构化；教学策略；教学意义中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）01-0017-07引用格式：侯宝坤.数学学习内容结构化的教学认知 J.中国数学教育（高中版），2024（1）：17-22，38.作者简介：侯宝坤（1973），男，正高级教师，主要从事数学教育教学研究.数学学习内容结构化的教学认知 17下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）教学研究教学研究高中数学学习内容结构化主要有：知识联系结构化、认知路径结构化、数学观念结构化.知识联系结构化指依据数学知识的内在逻辑，通过核心知识（概念）对有关联的知识进行汇聚，形成知识网络；认知路径结构化指借助学科专家认识数学对象所形成的典型认知路径来组织知识的学习顺序，让学生体会数学研究的一般方法和典型范式，学会认知方法，提高学习能力；数学观念结构化指对数学知识进行更加抽象地概括和总结，寻找具有广泛指导意义的学科观念，这些观念可以是历史形成的数学思想、方法，也可以是个人学科理解、学习经验的高度概括和凝练.三、学习内容结构化的教学策略教学中既要重视静态知识的联系，更要重视知识结构的动态形成过程.在重视知识结构化的同时，重视认知过程和个人学科观念的结构化.教学中，依据不同学习内容的特征，构建结构化的知识图谱，帮助学生形成网络化的知识结构和开放式的认知模式.1.知识联系视角下的学习内容结构化高中数学学习内容丰富，体系复杂，涉及不同的数学分支.通过引导学生寻找知识之间的“亲缘关系”，建立联系紧密、有序多级的“知识谱系”，厘清知识之间有价值的联系.帮助学生对学习内容进行结构化处理，建立知识之间的联系，有利于学生条理清晰地掌握所学知识，更好地理解和应用知识.以沪教版 普通高中教科书数学 中函数知识的学习为例，在高三阶段复习函数的概念时，教师与学生一起梳理函数与相关知识的联系，共同绘制基于知识联系的结构图，如图1所示.和积函数复合函数运算一次函数二次函数幂函数指数函数对数函数三角函数数列分布列回归分析自变量定义域宏观微观对应法则逆对应反函数逆对应反函数对应法则函数值值域函数概念宏观微观不等式方程对应规律一般特殊体现决定性质对应方式极值、最值零点单调性奇偶性周期性图表图象表达式零点关于原点对称，和为0奇（偶）函数在对称区间上单调性相同（反）零点的位置与个数判断极值、最值位置奇（偶）函数对称区间上极值、最值互为相反数（相等）常见函数图1函数知识联系结构化寻找函数亲缘关系的过程就是对相应知识理解深化的过程.在联系方式具体化的过程中，会涉及对多个知识点的理解和沟通，方法的选择，思想的领悟.例如，对函数y=2x4x+1的值域的求解，在上述知识联系结构化的视角下，可以选择寻找常用函数g()x=2x，f()x=xx2+1进行换元转化，也可以用求导、定义的视角分析单调性来处理，还可以在方程y()2x2-2x+y=0有解的视角下分析逆对应的性质，甚至可以借助软件画出函数图象求解.通过对函数知识结构化的理解，学生更能体会“对应法则”这个核心知识的连接与统帅作用，函数的对应规律决定以什么方式具体对应，具有怎样的性质，性质反过来也能影响三要素的特征.其中，单调性是性质的核心，连接最为广泛，是函数动态特征的体现；奇偶性、周期性是函数研究工作量减小的关键；零点、极值、最值反映函数值的特殊情形.特殊函数既是性质应用的载体，也是概念和性质的抽象基础，揭示了函数的研究方法围绕要素研究性质.通过结构化将高中阶段与函数有关的知识融为一体，可以深刻理解函数知识体系，系统、深入地认识函数在不等式、方程、几何、概率与统计等各个知识模块 18下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）教学研究教学研究的渗透和应用，体悟函数研究中蕴含的从特殊到一般、从一般到特殊、宏观与微观结合、数形结合等思想方法，明晰函数在高中数学中的核心地位.2.认知路径视角下的学习内容结构化认知路径指依据数学知识的组成和逻辑顺序，对其本质特征和发展变化的规律进行梳理，进而形成相对稳定的认识与研究路线.为发展关键能力、培育核心素养、提升学生学习能力，教师有必要通过学习活动引导学生梳理认知的逻辑链条，提炼关键的认知环节，将知识依据逻辑发展顺序紧密地组织起来，用模式化的思想，构建典型的、稳定的具有示范功能、可重复再生的认知模式，帮助学生解决“从哪想”和“怎样想”的问题，从而提高学生的自主学习能力.典型的认知路径结构化有概念认知结构化和解题思路结构化.（1）概念认知结构化.概念是数学研究的基本单元，是相关数学知识发展的原点.数学概念包括组成概念的要素（数学对象）和要素间的联系方式.数学概念给出的是一类对象的共同本质特征，是充要条件.判断是概念的充分条件，性质是概念的必要条件，它们的逆命题为真时，就可以形成一组与原概念等价的概念形式.判断与性质是理解概念的关键，应用则是概念的价值所在.基于上述理解，可以构建概念形成与理解的认知路径结构，如图2所示.产生背景组成对象对象关系概念判断性质判断方法2判断方法1判断方法3性质2性质1性质3逆命题为真，形成等价概念应用应用2应用1应用3图2概念认知路径结构化通过函数单调性的学习，检验高一学生概念结构化的认知过程，教师让学生画出函数y=2x-3，y=x3，y=-3x()x0的图象，观察并归纳图象的共同特征，进一步抽象为自变量与函数值之间的代数关系，从而形成“增函数”的概念.然后通过例子y=-3x，y=x2-2x-1进行反思，形成更广泛的“单调增”“单调减”的概念.依据概念结构化的认知模式，通过函数的组合，学生还主动研究了y=x3-3x，y=-3()2x-3x，y=-3x2-2x-1，y=x3+x2-2x-1等和函数、积函数和复合函数的单调性，既加深了定义判断价值，又形成了新的判断方法.根据单调性，学生还画出了上述函数的草图，顺势研究了函数的最值和解的情况，体会了单调性的应用价值.根据自变量增量与函数值增量的符号关系，发现了新的等价概念，为导数概念的建立和应用埋下了伏笔.认知过程结构化的推进过程如图3所示.（2）解题思路结构化.数学概念的认知是数学学习的起点，是奠基工程.而解题教学则是学生每天都要面对的问题，是直接感受学习价值的过程，是提振学习信心的关键，是点燃数学学习的“种子工程”.通过解题既能将抽象的概念、原理具体化，也能将方法熟练化、思想领悟深刻化.借助波利亚的解题表和喻平的CPFS理论，构建有指导意义的解题思路结构化认知路径，如图4所示.增函数实例自变量与对应函数值大小变化关系增函数判断性质导数法定义法和、积函数法复合函数法x1x2f()x1f()x2等价概念x1，x2I，f()x1-f()x2x1-x20应用f()x1f()x2x1x2求值域建立不等关系分析零点画函数图象图3函数单调性概念结构化 19下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）教学研究教学研究依据解题思路结构化可以迅速打开学生的思维，联通更广泛的知识，发现更多解题视角，形成各种各样的突破路径.例如，对于下面这道题目，学生用解题思路图探索，形成了许多想法，由单一的“就题论题”上升到了“就题论道”.题目已知f()x=x2+ax()x 0，常数aR.（1）讨论函数f()x奇偶性，并说明理由；（2）若函数f()x在)2，+上为增函数，求a的取值范围.对于该题，详细解题过程省略，学生解题思路结构图，如图5所示.利用解题思路图能跳出问题想方法，更容易掌握通性通法，避免亦步亦趋、支离破碎的解题模仿；结构化解题使学生站在更高的视角考虑问题，解决方法更具有一般价值，应用也更加广泛.3.数学观念视角下的学习内容结构化观念问题是人类认识与理解的基本问题，影响每个人对认知的理解与实践活动.数学观念是学生对数学知识的概括性认识，反映了学生对数学的基本看法，潜移默化地影响着个体学习数学的行为.数学观念通常是具有极强的解释力和凝聚力的核心概念和数学思想，以及学生个人形成的深刻体悟.数学观念强的人会主动运用数学知识、数学方法及数学思想思考和处理遇到的问题，标准提出的“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”“数学是研究数量关系与空间形式的科学”“数学核心素养”等都是典型的数学观念.一类数学观念是在数学发展过程中磨砺、提炼的，贯穿数学某个阶段、分支或整个数学发展的核心概念，如函数、极限、随机现象等；也有前辈总结的，对数学学习具有方法指引价值，对认知有方法论意义的数学思引申形成一致性问题类比形成新问题待解决的问题解题策略条件能举几个实例吗？结论与方法有规律吗？结论能推广吗？方法可借鉴吗？包含哪些典型问题？有哪些方法？方法1与哪些问题结构相似？共同点是什么？（共性）不同点是什么？（个性）结论可用？方法可用？成功的关键是什么？失败在哪？如何修正？条件1结论1、结论2、结论1、结论2、得到什么？结论需要什么？还缺什么？提供什么？图4解题思路结构化f()x=xn+x-m的性质是什么？函数的其他性质？原题定义域：x|x0奇偶性判断图象法定义法反例法函数运算法f()-x=x2-ax-1f()x，a=0时f()-x=f()x，故x2为偶函数，ax-1当a 0时为奇函数，当a=0时为偶函数，故a=0时f()-x=f()x，a 0时f()-1 f()1，f()-1-f()1，故f()x=x+ax-1a 0时，基本不等式+猜想单调性分a 0讨论获得结论0，a23减，a23，+增结构相似反面值域：R推广单调性判断图象法定义法反例法函数运算法当x1 x2时，作差转化为a x1x2()x1+x2恒成立，求出a 16在)2，+上x2，a 0时，ax-1，f()x不定求导转化为a 2x3在)2，+上恒成立，求得a 16结论结论a 0a 0图象类比图5学生解题思路结构图 20下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）教学研究教学研究想，如公理化思想、模型化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.方程是贯穿数学发展过程的重要概念，是有创新价值的核心知识和基本数学思想，将其作为核心的数学观念，可以统领高中数学众多模块的知识.方程既能反映客观世界的宏观现象，也能刻画客观世界的微观机理；既能反映静态的平衡特征，也能揭示动态的依存关系；既能建立数量联系，也能描绘图形关系.通过图6所示的方程观念结构化过程，将高中所学知识聚拢起来，形成一个从相等到不等、从实数到复数、从代数到几何、从数到形、从平面到空间的整体结构，实现知识与方法的融会贯通，突破模块界限，实现知识跨越.利用数学观念结构化的统帅功能，能够引导学生转变方式、优化策略，增强学习的全局意识，融知识、方法、思想于一体，提高学习质量，促进知识和思维的多维增值.还有一类数学观念则是学生个人体悟形成的关于知识的概括性理解.这类数学观念的形成是学生对知识理解的关键，是学生思维的结晶、成果的凝聚，对后续认知活动的思维和行动方式有较大影响.“单个对象研性质，多个对象寻关系”是笔者研究数学问题形成的基本观念.除了几个朴素的概念外，其他数学概念与对象都是在多个知识关联的基础上形成的.数学研究的重点是数学对象的关系，创新点在于通过关联不同对象形成研究内容.关系是数学研究中最重要的内容，奠定了关系观念就抓住了数学学习的灵魂.基于数学关系观念结构化，形成了如图7所示的数学学习结构化图式.平面球面其他曲面曲面曲面交线、交点方程组曲面位置关系函数圆锥曲线其他曲线曲线曲线交点方程组曲线位置关系数形结合求解方程等式恒成立方程根的分布一元方程二元方程三元方程数系扩张不等式方程观念方程类型不等式解分布不等式值成立求解不等式区域与最优解等量关系推广引申消元降维类比、转化放缩图6方程观念结构化实数运算或、与、非、条件互逆关系否定关系否定关系否定属性否定对象逆否关系线、面间的相交关系点、线、面间的包含关系线、面间的平行关系位置关系度量关系距离角面积体积线面角线线角二面角逻辑关系图形关系数量关系抽象关系运算关系数学对象的关系观强抽象 广义抽象 弱抽象数量运算集合运算逻辑运算交、并、补复数运算向量运算运算规则大小关系包含关系对应关系相等关系不等关系图7数学关系结构化 21下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）教学研究教学研究对实数a，b，基于实数运算关系有()a2+1()b2+1=()ab2+a2+b2+1.如果继续基于运算关系并加入逻辑关系的否定，对a，bC，上述运算依然正确.如果a，b为向量a，b，就变成了()a2+1()b2+1=a2b2+a2+b2+1()a b2+a2+b2+1.基于数量关系，()a2+1()b2+1=()ab2+a2+b2+1是等量关系，如果用a2+b2 2ab进行放缩，就得到()a2+1()b2+1()ab12，对右侧取不同组合可以得到6个不等式.基于强弱抽象关系，也可以得到()a2+1()b2+1()c2+1()ab+bc+ca-12等一系列不等式.基于逻辑关系，如果()a2+1()b2+1()ab-12，则a，b为虚数，且有a+b为纯虚数.从图形关系发现，a2+1，b2+1可以理解为复数a+i，b+i的模，根据|z1|z2=|z1z2|Rg()z1z2，|z1|z2=|z1z2|Im()z1z2可以轻松证明不等式()a2+1()b2+1()ab12和不等式()a2+1()b2+1()c2+1()ab+bc+ca-12.如果从逻辑运算“或”的角度思考，还可以构造a-i，b-i，以及1ai，1bi，构造的不等式将非常丰富.如果推广到n元将非常复杂，起到了以简驭繁的作用.如果理解为向量的模，也会呈现非常有趣的现象，读者不妨一试.基于关系观念结构化的学习，由于各种关系的加入，思维一直处于多维开放、各方关联的状态，一个简单对象涉及的知识也变得丰富了，不同的知识交融在一起，促进了知识理解的深入、深刻，单一知识的学习不再是碎片化状态，知识和方法也获得了更多的创新机会，关系结构化学习更容易找到知识的内核，提高知识的凝聚力.四、学习内容结构化的教学意义1.学习内容结构化，使知识更牢固，更易于提取对于单个知识的学习，学生更倾向于记忆而非理解，很容易遗忘.要想知识不被遗忘，最好的方式就是提高知识的使用频率，将其嵌入系统中，通过其他知识的激发，不断带动，使其经常处于“工作状态”.结构化的学习使知识之间建立了逻辑联系，捆绑在一起，有重复唤醒的机会，在结构中只要有结点连接，就有被唤醒的可能，结构化知识的牢固性远胜于离散的知识点.同时，结构化知识的关联广泛使得被唤醒的机会增加，关联紧密使得被唤醒的强度加大，参与其他知识的学习就会更深入，也必然会促进知识理解的再深入和再深刻，从而再次拓展知识联系的广度和深度，进一步加深知识的牢固性和应用的易感性.2.学习内容结构化，促进知识的孕育与生成对于结构化的学习内容，学生能自觉关注知识的内部结构，主动挖掘其构成要素，进而促进对知识的深入理解.例如，函数概念中蕴含了自变量与函数值的对应关系，自变量与函数值到底是怎样对应的？宏观表现与微观机理是什么？这些就孕育了对单调性和对称性的探求.由于结构化的关联广泛，易于从横向上融通思考，生长出新的综合性知识.从函数单调性和奇偶性的并列关系去综合考量，会生成奇函数和偶函数的单调性规律.如果跳脱到导函数，又可以生成导函数与原函数对称性关系的探求，从而生成更具跨度与深度的知识.结构化的学习知识纵横捭阖，可以触动思维发散与汇聚，形成知识碰撞和融会贯通，形成新的知识生长点和思维激发点，从而带动新一轮学习活动的开展.3.学习内容结构化，实现知识的高效迁移结构化的学习内容，形成的思考路径具有典型性、可复制性，是具有指导意义的通性通法，在新情境中更容易被联想，更容易发散到其他知识，也具有灵活的变通性，更适用于迁移到新情境中使用.要学到整体化的知识，就必须让学生在结构化的环境下领略知识的全貌，才能抓住具有统帅作用的核心知识，才能领悟数学思想与方法的精髓，进而实现由一到万的迁移.通过结构化的知识学习，学生能主动捕捉知识关联，对同类知识进行归纳形成有普适性功能的解决思路和有指导价值的学科观念，从而带来知识的高效迁移.五、结束语基于学习内容结构化的教学，采取“总分总”（下转第38页）22下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）下半月（高中版）2024年第1期（总第302期）教学研究教学研究的背景、对数发明的过程、对数对简化运算的作用等写一篇数学小论文.【设计意图】通过写作数学小论文让学生了解数学这门科学产生与发展的历史过程，培养学生正确的数学思维方式，让其切实感受到生活中处处皆数学，人人都能参与数学学习研究，体会数学对人类文明发展的作用，感受数学家严谨的治学态度和锲而不舍的探索精神.总之，数学阅读有独特的魅力.通过数学阅读，学生熟悉有关数学语言，掌握数学知识，并且运用数学知识解决生活中的问题.而提升中学生的数学阅读能力是一项长期而艰巨的任务，需要我们在教学中不断加强数学阅读研究，深入指导，具体到个人、明确到课堂.只有在学生的主观意识中播下数学阅读的种子，才能使数学阅读成为学生的自觉行为，并在此基础上培养他们敏锐的观察力，在阅读中提高学生的数学表达能力、分析能力和推理能力，渗透数学核心素养，真正让不同的学生在数学上获得不同的发展.参考文献：1邵光华.数学阅读现代数学教育不容忽视的课题 J.数学通报，1999（10）：16-18.2章建跃.学会阅读数学教材 J.中小学数学（高中版），2020（11）：64，66.3中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.4 克莱因.古今数学思想：第一册 M.张理京，张锦炎，江泽涵，等译.上海：上海科学技术出版社，2014.5邓宗琦.数学家辞典 M.武汉：湖北教育出版社，1990.的单元教学策略，学习活动始终处于“先见森林，后见树木”的状态.学生先对知识有一个整体式的框架认知，后续学习就容易找到有学习价值的知识，不会迷失学习的方向.在新授课教学中，不仅要落实每个知识点的学习，更要善于将这些知识点组织起来，凝聚在一个系统中，强调知识的联系，在系统中认识知识的地位与功能，从知识的相互作用中体会知识的价值，形成知识应用的典型路径，通过所学知识的结构化帮助学生掌握“从哪进”“怎样行”“如何出”的思维方式，逐步形成基于个人深刻理解的学习策略和数学观念.在复习课教学中，通过引导学生绘制概念图、方法流程图等策略，诊断学生的知识结构化水平，同时助力学生将零散的知识整合到结构中，增加学生的知识容量和记忆的牢固性，提高应用过程中知识检索的速度；增强学生已有知识结构化，在问题解决的过程中着力于认知思路的结构化，打造准确、快捷的求解路径，提高思维的简约性；让学生在结构关联的过程中提炼有统摄作用的数学大概念和学科观念，形成具有个体特征的数学学习思维和关键能力，在结构化学习的过程中提升数学核心素养.参考文献：1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2布鲁纳.布鲁纳教育论著选 M.邵瑞珍，张渭城，译.北京：人民教育出版社，2018.3章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究 M.上海：华东师范大学出版社，2021.4 波利亚.怎样解题 M.凃泓，冯承天，译.上海：上海科技出版社，2002.5喻平.数学学习心理的CPFS结构理论 M.广西：广西教育出版社，2008.6 李冰雪.学科观念的内涵、生成及其培育 J.当代教育科学，2022（12）：24-30.7李庾南，冯卫东.学材再建构在结构中教与学 J.数学通报，2018，57（8）：17-22，30.（上接第22页）38