第二章一元二次方程培优奥赛讲义.doc

九年级上册数学培优讲义 没有大胆猜想就不会有伟大的发现

九上 第二章 一元二次方程培优讲义
一．填空题（共15小题）
1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为　 　．
2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为　 　．
3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是　 　．
4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是　 　．
5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为　 　．
6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=　 　．
7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于　 　．
8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足　 　．
9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=　 　．
10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是　 　．
11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为an、bn，则++…+=　 　．
12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是　 　．
13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为　 　．
14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了　 　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有　 　人被感染．
15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为　 　．

二．解答题（共18小题）
16．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．
（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．
17．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？
18．完成下列问题：
（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；
（2）已知x，y为实数，且y=2+3﹣2．求2x﹣3y的值．
19．若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．
20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；
（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．
21．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．
22．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求k可能取值．
23．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．
例：解方程：x2﹣|x|﹣2=0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0．解得：x1=2，x2=﹣1
∵x≥0，故x=﹣1舍去，∴x=2是原方程的解；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0．解得：x1=﹣2，x2=1
∵x＜0，故x=1舍去，∴x=﹣2是原方程的解；
综上所述，原方程的解为x1=2，x1=﹣2．
解方程x2+2|x+2|﹣4=0．
24．阅读材料并解决下列问题：
因为x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2，所以x2+5x+6=（x+3）（x+2），所以方程x2+5x+6=0用因式分解法解得：x1=﹣2，x2=﹣3．又如x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），所以方程x2﹣5x+6=0用因式分解法解得x1=2，x2=3．
一般地，因为x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
，所以x2+（a+b）x+ab=0，即（x+a）（x+b）=0的解为x1=﹣a，x2=﹣b．
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：
（1）x2+8x+7=0
（2）x2﹣11x+28=0．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值
26．某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？

27．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．

28．如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？

29．阳谷县2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1440万元．
（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户含第1000户每户每天奖励9元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

30．列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．
（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为　 　个（用含有x的代数式表示）
（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

31．利民商店经销甲、乙两种商品． 现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？

32．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？

33．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．
（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．

34.如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

参考答案
一．填空题（共15小题）
1．2012；2．﹣1；3．；4．1；5．12；6．219；7．0或16；
8．1＜m＜5；9．﹣；10．；11．﹣；12．8；13．11；14．8；729；15．10x+（x2+3）=3（x+x2+3）；
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