初中三角函数基础知识剖析.doc

曲老师推荐中考数学专题之：
初中三角函数完整剖析
一、 重点、难点剖析
１. 正切、余切与已学过的正弦、余弦是初中阶段必须理解并掌握的锐角三角函数，由于任意一个锐角都可以看作是直角三角形的一个角（显然这样的直角三角形都是相似的）．因此，我们在直角三角形中，就可以对这个锐角Ａ作出如下的定义：
sinA＝, cosA＝, tgA＝, ctgA＝.
其中a、b分别为∠Ａ的对边和邻边，c为斜边．
学习锐角三角函数时首先要熟知定义，切不可以张冠李戴，只有在理解的基础上熟记，在运用中加深理解．
２. 学习正切和余切时，要充分利用学过的正弦和余弦，经常地把它们加以比较，就会既见到许多相类似的地方，又重视它们的区别，不至于产生混淆．
如，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝９０°．
c
A
B
a
C
b
sinA＝cosB＝;
cosB＝sinB＝;
tgA＝ctgB＝;
ctgA＝tgB＝.
这种互为余角的三角函数关系，为我们把它化为同角的三角函数创造条件，这在解题中是经常用到的．
若∠α、∠β都是锐角，且∠α＞∠β．
则 sinα＞sinβ; tgα＞tgβ;
cosα＜cosβ; ctgα＜ctgβ.
可见一个锐角的正弦值（或正切值）随着锐角的增大而增大；余弦值或余切值随着锐角的增大而减小，这就为比较三角函数值的大小提供了依据．
如，比较tg43°与ctg57°的大小
∵ tg43°＝tg(90°－47°)＝ctg47°, 而ctg47°＞ctg57°
即tg43°＞ctg57°
值得一提的事，比较两个三角函数值的大小，通常总是先把它们化为同名三角函数.

３．要熟记特殊角的三角函数值
学习正弦和余弦时已经知道，30°、45°、60°称为特殊角，对于这些角的各个 三角函数值应用极为广泛，必须熟记．

角度α
函数值
函数
名称

30°

45°

60°
正弦
sinα

余弦
cosα

正切
tgα

１

余切
ctgα

１

怎样熟记呢？
正弦、余弦的30°、45°、60°值的分母都是2，而分子，正弦为（＝１）、、；余弦为、、（＝１），分别读作根号１、２、３；根号３、２、１．
正切、余切的30°、45°、60°值的分母都是３，分子则为（）1、()2、()3,即
tg3０°＝＝， tg45°＝＝＝1
tg60°＝＝＝. 余切则相反．
必须告诉大家，0°、90°也是特殊角，且
sin０°＝０， cos0°＝1, tg0°＝0, ctg0°不存在；
sin９０°＝１， cos90°＝1, tg90°不存在， ctg90°＝０．
因此，今后我们指的特殊角是：0°、30°、45°、60°、90°．

４．同角三角函数间的关系
同角三角函数间存在以下关系：
a

平方关系： sin２α＋cos2α＝1;
商的关系： tgα＝, ctgα＝;
倒数关系： tgα＝, ctgα＝.
这些关系不仅在学习中，解题时用处很大，而且对这些关系的真正掌握也是有助于对三角函数定义的理解．如，
sin２α＋cos2α
c
A
B
a
C
b
＝（）２＋（）２
＝＝１ (c2＝a2＋b2);
＝＝＝ sinα;
tgα·ctgα＝·＝1, 即tgα＝．