汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案.doc

由面积产生的函数关系问题
例1
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．
（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；
（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；
（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为，求AP的长．

图1 备用图

例1
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．
（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；
（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；
（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为，求AP的长．

图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交．
思路点拨
1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．
2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．
3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．
满分解答
（1）如图2，在Rt△ABC中， AC＝4，cosA＝，所以AB＝16，BC＝．
设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝AP＝x，PE＝AP＝x．
所以y＝S△PCD＝＝＝．
定义域是0＜x＜8．
（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．
因此四边形AEPF是正方形（如图3），设正方形的边长为m．
由S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得AC·BC＝m(AC＋BC)．所以m＝＝．
此时AE＝＝，AP＝4AE＝．

图2 图3
（3）如图4，设⊙C与⊙P的公共弦为MN，MN与CP交于点G．
由于CM＝CN＝1，MN＝，所以△CMN是等腰直角三角形，CG＝NG＝．
如图5，作CH⊥AB于H，由AC＝4，那么AH＝1，CH2＝15．
所以CP＝＝．因此PG＝（如图4）．
如图4，在Rt△PNG中，由勾股定理，得．
整理，得2x2－64x＋257＝0．解得，（舍去）．

图4 图5
考点伸展
第（2）题也可以这样计算：由于PF＝BP＝，由PE＝PF，得．解得．

例2
如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．

图1

例2
如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．

思路点拨
1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．
2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．

满分解答
（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．
于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．
解得．所以．顶点M的坐标为．
（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．
（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．
将O′(2t,－2t)代入，得．解得．
将Q′(3t,－t)代入，得．解得t＝1．
因此，当时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如图3）．

图2 图3
（4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2．
②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2．
此时S＝．

图4 图5
③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA．
此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．
所以S＝．

图6
考点伸展
在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？
如图4，．如图5，．
如图6，．

例3
如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

图1

例3
如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．
2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．
3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．
满分解答
（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．
由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．
因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．
将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得
解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．
（2）①设点P、Q运动的时间为t．
如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．
当PQ⊥AC时，．所以．解得．

图2 图3
②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
由于S△APQ＝，
S△ACD＝，
所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．
所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．
考点伸展
如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”
除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．
这时，所以．解得（如图4所示）．

图4

例4
如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

图1

例4
如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．

思路点拨
1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．
2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
满分解答
（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．
所以AB＝9，OC＝9．
（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．
所以．
而，AE＝m，
所以．
m的取值范围是0＜m＜9．

图2 图3
（3）如图2，因为DE//CB，所以．
因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．
所以．
当时，△CDE的面积最大，最大值为．
此时E是AB的中点，．
如图3，作EH⊥CB，垂足为H．
在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．
在Rt△BEH中，．
当⊙E与BC相切时，．所以．
考点伸展
在本题中，△CDE与△BEC能否相似？
如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．

例5
如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．
探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

图1 图2

例5
如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．
探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．

图3 图4
答案 探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展 （1）S△ABD＝，S△CBD＝．
（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．
由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．
所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．
（3） x的取值范围是x＝或13＜x≤14．
（4） 发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为．

例6
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．
请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．

例6
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

图1

思路点拨
1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．
2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．
满分解答
（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．
（2）①如图1，当时，．所以．
②如图2，当时，，，．
于是，
．
所以．
③如图3，当时，，，．
所以．

图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．

图5 图6 图7
考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时，，，由，得．
如图9，当G落在AC上时，，，由，得．

图8 图9

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