汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案.doc
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1、由面积产生的函数关系问题例1 如图1,在RtABC中,ACB90,AC4,cosA,点P是边AB上的动点,以PA为半径作P (1)若P与AC边的另一个交点为D,设APx,PCD的面积为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出函数的定义域;(2)若P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,求AP的长;(3)若C的半径等于1,且P与C的公共弦长为,求AP的长图1 备用图例1 如图1,在RtABC中,ACB90,AC4,cosA,点P是边AB上的动点,以PA为半径作P (1)若P与AC边的另一个交点为D,设APx,PCD的面积为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出函数的定义域;(2)若P被直线BC和直线
2、AC截得的弦长相等,求AP的长;(3)若C的半径等于1,且P与C的公共弦长为,求AP的长图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”,拖动点P在AB上运动,观察MN的度量值,可以体验到,MN1.41的时刻只有一个,MN与圆心距CP相交思路点拨1PCD的底边CD上的高,就是弦AD对应的弦心距2若P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,那么对应的弦心距相等3C的半径等于1,公共弦MN,那么CMN是等腰直角三角形在四边形CMPN中,利用勾股定理列关于x(P的半径)的方程满分解答(1)如图2,在RtABC中, AC4,cosA,所以AB16,BC设弦AD对应的弦心距为PE,那么AEAPx,P
3、EAPx所以ySPCD定义域是0x8(2)若P被直线BC和直线AC截得的弦长相等,那么对应的弦心距PFPE因此四边形AEPF是正方形(如图3),设正方形的边长为m由SABCSACPSBCP,得ACBCm(ACBC)所以m此时AE,AP4AE图2 图3(3)如图4,设C与P的公共弦为MN,MN与CP交于点G由于CMCN1,MN,所以CMN是等腰直角三角形,CGNG如图5,作CHAB于H,由AC4,那么AH1,CH215所以CP因此PG(如图4)如图4,在RtPNG中,由勾股定理,得整理,得2x264x2570解得,(舍去)图4 图5考点伸展第(2)题也可以这样计算:由于PFBP,由PEPF,得解
4、得例2 如图1,在四边形OABC中,AB/OC,BCx轴于点C,A(1,1),B(3,1),动点P从O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为Q设点P移动的时间为t秒(0t2),OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;(3)如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90,是否存在t,使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)求出S与t的函数关系式图1例2 如图1,在四边形OABC中,AB/OC,BCx轴于点C,A(
5、1,1),B(3,1),动点P从O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为Q设点P移动的时间为t秒(0t2),OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;(3)如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90,是否存在t,使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)求出S与t的函数关系式图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”,拖动点P从O开始向右运动,可以体验到,重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边
6、形点O和点Q各有一次机会落在抛物线上思路点拨1OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状2试探取不同位置的点P,观察重叠部分的形状,要分三种情况讨论满分解答(1)由A(1,1)、B(3,1),可知抛物线的对称轴为直线x1,点O关于直线x1的对称点为(4,0)于是可设抛物线的解析式为yax(x4),代入点A(1,1),得3a1解得所以顶点M的坐标为(2)OPQ是等腰直角三角形,P(2t, 0),Q(t,t)(3)旋转后,点O的坐标为(2t,2t),点Q的坐标为(3t,t)将O(2t,2t)代入,得解得将Q(3t,t)代入,得解得t1因此,当时,点O落在抛物线上(如图2);当t1时,点Q落在抛物线上
7、(如图3)图2 图3(4)如图4,当0t1时,重叠部分是等腰直角三角形OPQ此时St2如图5,当1t1.5时,重叠部分是等腰梯形OPFA此时AF2t2此时S图4 图5如图6,当1.5t2时,重叠部分是五边形OCEFA此时CECP2t3所以BEBF1(2t3)42t所以S图6考点伸展在本题情景下,重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系?如图4,如图5,如图6,例3 如图1, ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;(2)动
8、点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:当P运动到何处时,由PQAC?当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?图1 例3 如图1, ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:当P运动到何处时,由PQAC?当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?图1 动感体验请
9、打开几何画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点请打开超级画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点思路点拨1求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由ADBC可以得到2设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来3四边形PDCQ的面积最小,就是APQ的面积最大满分解答(1)由,得A(0,3),C(4,0)由于B、C关于OA对称,所以B(4,0),BC8因为AD/BC,ADBC
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