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《一次函数》经典例题解析
《一次函数》经典例题解析

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类型一：正比例函数与一次函数定义
　　1、当m为何值时，函数y=-（m—2）x+（m-4)是一次函数？
　　思路点拨:某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外,还要注意条件k≠0．
　　解：∵函数y=-（m—2）x+（m-4)是一次函数，
　　　　∴ ∴m=—2。
　　　　∴当m=-2时，函数y=—(m—2）x+(m—4)是一次函数．

　　举一反三：
　　【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）.
　　A．m=2或m=0 　　　B．m=2 　　　C．m=0　　　 D．m=1
　　【答案】：考虑到x的指数为1,正比例系数k≠0，即｜m—1｜=1；m—2≠0,求得m=0，选C

　　【变式2】已知y—3与x成正比例，且x=2时，y=7。
　　（1）写出y与x之间的函数关系式；
　　（2）当x=4时,求y的值；
　　（3）当y=4时，求x的值．
　　解析：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y—3=kx．
　　　　　　　　把 x=2，y=7代入y—3=kx中,得
　　　　　　　　7—3＝2k,
　　　　　　　　∴ k＝2．
　　　　　　　　∴ y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3．
　　　　　 (2）当x=4时，y=2×4+3=11．
　　　　　 (3）当y＝4时,4=2x+3，∴x=.

类型二:待定系数法求函数解析式
　　2、求图象经过点(2，-1）,且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
　　思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b,再将点（2,—1）代入，求出b即可．
　　解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,
　　　　　∵图象经过点( 2,—1),
　　　　　∴ -l=2×2+b．
　　　　　∴ b=—5,
　　　　　∴所求一次函数的表达式为 y=2x—5。
　　总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。

　　举一反三：
　　【 变式1】已知弹簧的长度y(cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时，弹簧的长度是7。2cm,求这个一次函数的表达式．
　　分析：题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b,再由已知条件可知，当x=0时,y=6;当x=4时，y=7.2．求出k,b即可．
　　解:设这个一次函数的表达式为y=kx+b．
　　　　由题意可知，当 x=0时，y=6;当x=4时，y=7。2。
　　　　把它们代入y=kx+b中得
　　　　∴
　　　　∴这个一次函数的表达式为y=0。3x+6．

　　【变式2】已知直线y=2x+1．
　　（1）求已知直线与y轴交点M的坐标;
　　(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．
　　解析：
　　∵直线 y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，
　　∴两直线上的点关于 y轴对称．
　　又∵直线 y＝2x+1与x轴、y轴的交点分别为A（—，0)，B（0，1),
　　∴A（-，0），B（0,1）关于y轴的对称点为A′（，0)，B′（0,1）．
　　∴直线 y=kx+b必经过点A′（，0），B′（0，1)．
　　把 A′(，0），B′（0,1)代入y=kx+b中得
　　∴
　　∴k＝-2,b＝1．
　　所以（1）点M（0，1)(2）k=—2,b=1

　　【变式3】判断三点A（3,1），B(0,-2），C（4，2)是否在同一条直线上．
　　分析：由于两点确定一条直线,故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．
　　解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
　　　　由题意可知，
　　　　∴
　　　　∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
　　　　∴当 x=4时,y=4—2=2．
　　　　∴点 C（4，2）在直线y=x-2上．
　　　　∴三点 A(3，1)， B（0,-2），C（4，2）在同一条直线上．

类型三:函数图象的应用
　　3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系,根据图中提供的信息，回答下列问题：
　　(1）汽车共行驶了___________ km；
　　（2）汽车在行驶途中停留了___________ h；
　　（3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h;
　　(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________。

　　思路点拨:读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶了120×2=240（千米）,整个过程用时4.5小时,平均速度为240÷4.5= （千米/时），行驶途中1.5时—2时之间汽车没有行驶。
　　解析：(1)240; （2）0。5; （3) ； （4）从目的地返回出发点。
　　总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间.

　　举一反三：
　　【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系.

　　解析：比较相同时间内，路程s的大小。在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行线，比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快

　　【变式2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后,如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（ ）
　　A.14分钟 　　　B。17分钟　　　 C。18分钟　　　 D.20分钟

　　【答案】：D 分析：由图象可知,上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分。原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟。

　　【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：

　　根据图象解答下列问题:
　　（1）洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中的水量是多少升？
　　（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升。
　　　　 ①求排水时y与x之间的关系式；
　　　　 ②如果排水时间为 2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
　　分析：依题意解读图象可知：从0—4分钟在进水，4-15分钟在清洗,此时，洗衣机内有水40升,15分钟后开始放水。
　　解:（1)洗衣机的进水时间是4分钟；清洗时洗衣机中的水量是40升;
　　　　(2）①排水时y与x之间的关系式为：y=40—19（x-15)
　　　　　　　 即y=—19x+325
　　　　　　 ②如果排水时间为2分钟，则x-15=2即x=17,此时，y=40-19×2=2.
　　　　　　　 所以,排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升。

类型四:一次函数的性质
　　4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B,且△AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k,b的值．
　　思路点拨：设函数的图象与y轴交于点B（0，b）,则OB=，由△AOB 的面积，可求出b，又由点A在直线上,可求出k并由函数的性质确定k的取值．
　　解析：直线y=kx十b与y轴交于点B（0，b)，点A在直线上，则①，
　　　　　由，即，解得代入①，可得，
　　　　　由于y随x的增大而增大,则k＞0,取则．
　　总结升华:该题考查的是待定系数法和函数值,仔细观察所画图象，找出隐含条件.

　　举一反三:
　　【变式1】已知关于x的一次函数．
　　（1）m为何值时，函数的图象经过原点?
　　（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）？
　　(3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行？
　　(4）m为何值时，y随x的增大而减小？
　　解析：
　　（1）由题意，m需满足，
　　　　 故 m=－3时,函数的图象经过原点；
　　(2）由题意得：m需满足，
　　　　 故 时，函数的图象经过点（0，－2）;
　　（3）由题意,m需满足，
　　　　 故 m=4时,函数的图象平行于直线y=－x；
　　（4）当3－m＜0时,即m＞3时，y随x的增大而减小．

　　【变式2】 若直线(）不经过第一象限，则k、b的取值范围是______,______．
　　【答案】：（k<0;b≤0)；分析：直线不经过第一象限，有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限，注意不要漏掉经过原点的情况。

　　【变式3】直线l1：与直线l2:在同一坐标系中的大致位置是（ )．

　　　　　 A． 　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　 D．
　　【答案】：C；分析:对于A，从l1看 k＜0，b＜0，从l2看b＜0,k＞0，所以k,b的取值自相矛盾，排除掉A。对于B，从l1看 k＞0，b＜0,从l2看b＞0,k＞0,所以k，b的取值自相矛盾，排除掉B。D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求。

　　【变式4】函数在直角坐标系中的图象可能是（ )．

　　【答案】：B;分析：不论k为正还是为负，都大于0，图象应该交于x轴上方。故选B

类型五：一次函数综合
　　5、已知：如图,平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1）,C（-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
　　(1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
　　（2）若△OCD与△BDE的面积相等,①求直线CE的解析式;②若y轴上的一点P满足∠APE=45°，请直接
　 　　　写出点P的坐标.

思路点拨：（1)由A，B两点的坐标知,△AOB为等腰直角三角形，所以∠OAB=45°(2）△OCD与△BDE的面积相等，等价于△ACE与△AOB面积相等，故可求E点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0,0）时，∠APE=45°。
　　解析：(1）∵A（1，0)，B(0,1），
　 　　　　　　∴OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形
　　　 　　　　∴∠OAB=45°
　 　　　　　　设直线AB的解析式为：y=kx+b，将A（ 1，0)，B（0，1）代入，
　 　　　　　　解得k=—1，b=1
　 　　　　　　∴直线AB的解析式为:y=-x+1
　　 　　 (2）①∵
　 　　　　　　　∴
　 　　　　　　　即
　 　　　　　　　∴
　 　　　　　　　，将其代入y=—x+1，得E点坐标(）
　 　　　　　　　设直线CE为y=kx+b,将点C（—1，0），点E（）代入
　 　　　　　　　，解得k=b=
　 　　　　　　　∴直线CE的解析式:
　 　　　　　　②∵点E为等腰直角三角形斜边的中点
　 　　　　　　　∴当点P（0,0）时,∠APE=45°.
　　总结升华:考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。

　　举一反三：
　　【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按A→B→C→D的方向向点D运动（但不与A,D两点重合）。求△APD的面积y（)与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。

　　【答案】：当P点在AB上运动时，
　　　　　　　当P点在BC上运动时,
　　　　　　　当P点在CD上运动是，
　　　　　　　∴

　　【变式2】如图，直线与x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。
　　（1）求的值；
　　（2）若点P(，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
　　（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。

　　解：(1)将E（—8，0)代入，得;
　　　　（2)设P点坐标为（）
　　　　　 S= （-8〈x<0）
　　　　(3)令,解得，
　　　　　 代入，算出P点纵坐标为
　　　　　 当P点的坐标为时,△OPA的面积为．