《一元二次方程》各节知识点及典型例题.docx
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1、一元二次方程各节知识点及典型例题一元二次方程各节知识点及典型例题 编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(一元二次方程各节知识点及典型例题)的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快 业绩进步,以下为一元二次方程各节知识点及典型例题的全部内容。16第二章 一元二次方程第一节 一元二次方程 第二节 一元二次方程的解法 第三节 一元
2、二次方程的应用 第四节 一元二次方程根与系数的关系五大知识点:1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法(因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法)3、根的判别式4、一元二次方程的应用(销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题)5、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)【课本相关知识点】1、一元二次方程:只含有 未知数,并且未和数的 是2,这样的整式方程叫做一元二次方程。 2、能使一元二次方程 的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)3、一元二次方程的一般形式:任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为 的形式,这个
3、形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是 ,a是 ,bx是 ,b是 ,c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义,求字母的值例1、当a为何值时,关于x的方程(a1)xa+1+2x7=0是一元二次方程?【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程(a1)x2+x+a1=0的一个根是0,则实数a的值为( )A-1 B0 C-1 D-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c,当x=1时,它的值是0;当x=-2时,它的值是1(1)试求a+b的值(2)直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程(k2-1)x2
4、(k+1)x-2=0(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?并求出此方程的根(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.巩 固 练 习1、下列方程中,是一元二次方程的为( )A. x2= -1 B. 2x(x1)+1=2x2 C。 x2+3x= D. ax2+bx+c02、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2x,当m取什么值时,这个方程是一元二次方程?3、若关于x的一元二次方程(a2)x2+ x=3是一元二次方程,则a 的取值范围是 4、把方程 (x-1)23x(x2)=2(x+2)+1化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次
5、项系数和常数项5、若a是方程x23x+1=0的一个根,求2a2-5a-2+的值6、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)中,abc满足a+b+c=0和ab+c=0,则方程的根是( )A。 1,0 B. 1,0 C。 1,1 D. 1,27、已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解,且ab,求的值【课本相关知识点】(一)1、利用因式分解的方法实现“降次,把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的方法,叫做因式分解法。2、因式分解法的理论依据是:若ab=0,则 或 3、利用因式分解法解一元二次方程的步骤是:(1)将方程的 化为0;(2)把方程的另一边分解成 的乘积(3)令每个因式
6、,得到两个一元一次方程;(4)分别解这两个一元一次方程,即可得到原一元二次方程的解。【在温州中考题中,若题中要求你用因式分解法解一元二次方程,只需要掌握两种分解因式的方法: 提公因式法分解因式; 用完全平方公式或平方差公式来分解因式】(二)4、开平方法:一般地,对于形如x2=a(a0)的方程,根据 的定义,解得x1= ,x2= ,这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。5、 形如x2=a(a0)或(x-a)2=b(b0)的一元二次方程,都可以用直接开平方法求得方程的解 用直接开平方法解方程(xa)2=b(b0)得x1= ,x2= (三)6、配方法:把一元二次方程的左边配成一个 式,右边为一个非负
7、常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。7、利用配方法解一元二次方程的步骤:(1)将方程化为一般形式(2)方程两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1(3)移项:把常数项移到方程右边,使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项(4)配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,使左边配成完全平方式(5)求解:若方程的右边是非负数,就用开平方法求解;如果右边是个负数,就可以直接拉出原方程无实数解(四)8、一元二次方程的求根公式:一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aO),如果b2-4ac0,那么方程的两个根是 ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式。9、公式法:利
8、用求根公式,我们可以由一元二次方程ax2+bx+c=0(aO)的 值,直接求得方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。10、利用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把方程化成 (2)确定 的值(可以在大脑中确定,也可以在做题时写在题目中)(3)求出 的值(4)若b24ac0,则方程无实数解;若 ,则将a,b,c和b24ac代入公式x=,求出方程和解。(五)11、在一元二次方程的求根公式x=中,把 叫做一元二次方程的判别式。12、b24ac的值与一元二次方程的根的关系:若b2-4ac0,则一元二次方程ax2+bx+c=0(aO)有两个 实数解(或实数根)若b2-4ac=0,则一元二次方程
9、ax2+bx+c=0(aO)有两个 实数解(或实数根)若b24ac0,则一元二次方程ax2+bx+c=0(aO) 实数解(或实数根)【典型例题】1.(2004年浙江温州5分)方程(x1)(x+2)(x3)=0的根是 .2、如果A2-B2=0,则下列结论中正确的是( )A. A=B B. A=-B C. A=B=0 D. A=B或A=B3、一元二次方程x24x+4=0的根是_4、当a=_,代数式(a2)2 与4-2a的值相等5、用因式分解法解方程(1) (2)6、(拓展)已知(a2+b2)(a2+b2+1)= a2+b2+1,求a2+b2的值 1、下列方程能用直接开平方法求解的是( )A。 5x
10、2+2=0 B. 4x22x-1=0 C. (x-2)2=4 D. 3x2+4=22、若关于x的一元二次方程5x2-k=0有实数根,则k的取值范围是_3、已知(a2+b2-1)2=9,则a2+b2=_4、已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1,且a,b满足等式b=-4,求方程y2-2c=0的根5、用开平方法解下列方程(1) (2) (3)(x-1)2=(3x4)2 1、(1)x22x+_=(x_)2 (2)3x2+12x+_=3(x+_)2 (3)x25x+_=(x_)22、若x2+ax+9是关于x的完全平方式,则常数a的值是_3、多项式4x2+1加上一个单项式后,成为一个整式的完全
11、平方,那么加上的这个单项式可以是 4、一元二次方程x2-px+1=0配方后为(xq)2=15,那么一元二次方程x2px-1=0配方后为( )A。 (x4)2=17 B。 (x+4)2=15 C。 (x+4)2=17 D. (x-4)2=17或(x+4)2=175、若x为任意实数,则x2+4x+7的最小值为_当x=_时,代数式3x2-2x+1有最_(填大或小)值为_6、用配方法证明:关于x的方程(m212m+37)x2+3mx+1=0,无论m为何值,此方程都是一元二次方程。7、不论x、y是什么实数,代数式x2+y2+2x4y+7的值( )A. 总不小于2 B. 总不小于7 C. 可以为任何实数
12、D. 可能为负数8、a,b,c是ABC的三边长,且满足a2+b2+c2abac-bc=0,则ABC是( )A. 直角三角形 B。 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D。等边三角形9、若实数a,b,c满足a2+6b= -17,b2+8c= 23,,c2+2a=14,求a+b+c的值10、已知A=a+2,B=a2a+5,C=a2+5a-19,其中a2(1)求证:BA0 (2)比较A与C的大小,并说明理由11、用配方法解方程(1) (2) (5) 1、(2013年浙江温州5分) 方程的根是_2、若方程2x2+mx+1=0,且b2-4ac的值是16,则m=_3、已知方程2x2+4x+c=0,且b2-4
13、ac=0,则方程的根为 4、已知关于x的一元二次方程(ax+1)(x-a)=a2的各项系数之和等于3,求方程的解。5、用求根公式法解方程(1) (2) 1、(2013珠海)已知一元二次方程:x2+2x+3=0,x22x3=0下列说法正确的是()A都有实数解 B无实数解,有实数解C有实数解,无实数解 D都无实数解2、(2013咸宁)关于x的一元二次方程(a1)x22x+3=0有实数根,则整数a的最大值是()A2 B1 C0 D13、(2013兰州)若,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是 已知关于x的一元二次方程(12k)x22-1=0有实数根,求k的取值范围.4、已
14、知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.5、已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0(1)求证:这个方程总有两个实数根(2)若等腰ABC的一边长a=4,另两边长b,c恰好是这个方程的两个实数根,求ABC的周长。【课本相关知识点】(一)1、列一元二次方程解决实际问题的一般步骤:(1)审清题意:明确问题中的已知量、未知量及量与量之间的关系(2)设未知数:把问题中的未知量用字母表示出来。一般有直接设未知数和间接设未知数(3)列方程:把题目中的相等关系用含未知数的等式表示,得到一元二次方程(4)解方程:把所列的一元二
15、次方程的未知数求出来(5)检验:检验方程的解是否正确,是否符合题意。2、解决销售问题的依据是:销售利润=(售价-进价)销量.其一般规律是:售价下降,则销量上升;反之,售价上升,则销量下降3、(1)平均增长率公式: 其中a是基础量,b是增长后的量,n是增长的次数,x是平均增长率(2)平均减少率公式: 其中a是基础量,b是减少后的量,n是减少的次数,x是平均减少率补充:4、传染问题:(几何级数)传染源:1个【 每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1:(1+x)】患者: 第一轮后:共(1+x)个第二轮后:共(1+x)(1+x),即(1+x)2个第三轮后:共(1+x)(1+x)(1+x),即
16、(1+x)3个第n轮后:共有(1+x)n个注意:【上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为a,则第n轮后患者共为:a(1+x)n个】补充:5、赛制循环问题:单循环:设参加的球队为x,则全部比赛共x(x1)场;双循环:设参加的球队为x,则全部比赛共x(x1)场;注意:【单循环比双循环少了一半】补充:6、数字问题解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数,一般采用间接设元法多位数的表示方法:两位数=十位上的数字10+个位数字;三位数=百位上的数字100+十位上的数字10+个位数字,依次类推补充:7、银行利率应用题(含利滚利问题):与前面的平均增长率问题类似(年利率为a%)存一年的本息和
17、:本金(1+年利率) ,即本金(1+ a)存两年的本息和:本金(1+年利率)2, 即本金(1+ a)2存三年的本息和:本金(1+年利率)3, 即本金(1+ a%)3存n年的本息和:本金(1+年利率)n, 即本金(1+ a)n(二)1、列一元二次方程解决面积问题时,其解题的关键是掌握三角形、长方形、正方形、梯形、圆等各种几何图形的面积公式2、动点问题:列一元二次方程解决动态几何问题时,首先应根据题意正确地画出图形,结合图形分析运动过程,再设出运动时间,用未知数表示线段的长度,找出等量关系,建立一元二次方程模型求解,同时切记要检验解的合理性.3、等积变形(等积变形一般都是涉及常见图形的体积,面积公
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