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二元一次方程组与一元一次不等式组经典应用题
二元一次方程组与一元一次不等式组经典应用题

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二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题

（2007年绵阳中考）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元,则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
解：(1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆,依题意，得
解此不等式组, 即 2≤x≤4．
∵ x是正整数，∴ x可取的值为2,3，4．
因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
方案一，甲种货车2辆，乙种货车6辆
方案二，甲种货车3辆，乙种货车5辆
方案三,甲种货车4辆，乙种货车4辆
（2）方案一所需运费 元;
方案二所需运费 元；
方案三所需运费 元．
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是元．

（2007年济南）某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．
（1)设租用甲种汽车辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
(2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．
解:（1）由租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆
由题意得：
解得:
即共有2种租车方案：
第一种是租用甲种汽车5辆,乙种汽车3辆；
第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
（2）第一种租车方案的费用为元；
第二种租车方案的费用为元
∴第一种租车方案更省费用．

（2007资阳)年陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元。 ” 王老师算了一下，说：“你肯定搞错了. "
⑴ 王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
⑵ 陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了,因为他还买了一个笔记本. 但笔记本的单价已模糊不清,只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元?
(1) 设单价为8.0元的课外书为x本，得：
(2) 解之得：（不符合题意）
(3) 所以王老师肯定搞错了。
⑵ 设单价为8.0元的课外书为y本,
解法一:设笔记本的单价为a元，依题意得:
。
解之得：178+a=4y,
∵ a、y都是整数，且178+a应被4整除,∴ a为偶数，
又∵a为小于10元的整数,∴ a可能为2、4、6、8 .
当a=2时，4x=180，x=45,符合题意；当a=4时,4x=182，x=45。5，不符合题意；
当a=6时，4x=184，x=46，符合题意；当a=8时,4x=186，x=46。5，不符合题意 。
∴ 笔记本的单价可能2元或6元 。 8分
解法2:设笔记本的单价为b元，依题意得:

解得：
∴ x应为45本或46本 。
当x=45本时，b=1500—[8×45+12（105—45)+418]=2，
当x=46本时，b=1500—［8×46+12（105—46)+418］=6,

（2012四川泸州,6分）某商店准备购进甲、乙两种商品。已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.
（1） 若该商品同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2） 若该商品准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元,问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润为多少?
（利润 = 售价 — 进价)
解：（1）设购进甲种商品件，购进乙种商品件，根据题意
解这个方程组得，
答：商店购进甲种商品40件，则购进乙种商品60件.
（2）设商店购进甲种商品件，则购进乙种商品（）件,根据题意,得
解之得20≤≤22
方案一，甲种商品20件,乙种商品80件
方案二，甲种商品21件,乙种商品79件
方案三,甲种商品22件，乙种商品78件
方案一所得利润元；
方案二所得利润元
方案三所得利润元．
所以应选择方案一利润最大, 为元。

（2014•宜宾)在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2)小王获得二等奖(75~85分），请你算算小王答对了几道题?

解:(1）设小李答对了x道题．
依题意得 5x﹣3（20﹣x)=60．
解得x=15．
答:小李答对了16道题．

（2)设小王答对了y道题，依题意得：
，
解得：≤y≤,即
∵y是正整数，
∴y=17或18，
答：小王答对了17道题或18道题．

（2009年河南）某家电商场计划用32400元购进“家电下乡"指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台。三种家电的进价和售价如下表所示:
类别
电视机
冰 箱
洗衣机
进价（元/台）
2000
2400
1600
售价（元/台)
2100
2500
1700
(1）在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案？
（2)国家规定：农民购买家电后,可根据商场售价的13％领取补贴.在（1)的条件下．
如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
设购进电视机、冰箱各x台,则洗衣机为（15-2x)台

依题意得：

解这个不等式组，得6≤x≤7
∵x为正整数，∴x=6或7
方案1:购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台;
方案2:购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台
（2）方案1需补贴：（6×2100+6×2500+1×1700）×13％=4251（元）；
方案2需补贴：（7×2100+7×2500+1×1700）×13％=4407(元）；
∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元。

物资种类
A
B
C
每辆汽车运载量(吨）
12
10
8
每吨所需运费（元/吨）
240
320
200
（2011年达州)我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解

（1)设装运A种物资的车辆数为，装运B种物资的车辆数为．求与的函数关系式;
（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆， 那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少,应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．
)解：（1)根据题意，得：

∴……………………2分
（2)根据题意，得：
解之得:
∵取正整数,∴5，6,7，8……………………4分
∴共有4种方案，即

A
B
C
方案一
5
10
5
方案二
6
8
6
方案三
7
6
7
方案四
8
4
8
……………………5分
（3)设总运费为M元，
则M=
即:M=
∵M是的一次函数,且M随增大而减小，
∴当=8时，M最小，最少为48640元……………………7分

（2011年广元）某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装12件、B种服装8件,需要资金1880元；若购进A种服装9件、B种服装10件，需要资金1810元．
（1)求A、B两种服装的进价分别为多少元？
（2）销售一件A服装可获利18元，销售一件B服装可获利30元．根据市场需求，服装店决定:购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，且A种服装购进数量不超过28件,并使这批服装全部销售完毕后的总获利不少于699元．设购进B种服装x件，那么请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多?
解:(1)设A种型号服装每件x元，B种型号服装每件y元．
依题意可得 解得，
答：A种型号服装每件90元,B种型号服装每件100元．
(2）①设购进B种服装x件，则购进A种服装的数量是2x+4,
∴y=30x+（2x+4)×18，
=66x+72；
②设B型服装购进m件，则A型服装购进件，
根据题意得，解不等式得,
因为m这是正整数，
所以m=10，11，12，则2m+4=24,26，28
有三种进货方案：
方案一:B型服装购进10件，A型服装购进24件;
方案二：B型服装购进11件，A型服装购进26件;
方案三:B型服装购进12件，A型服装购进28件．
方案一所得利润元;
方案二所得利润元
方案三所得利润元．
所以应选择方案一利润最大， 为1056元。

（2011•雅安）某部门为了给员工普及电脑知识，决定购买A、B两种电脑，A型电脑单价为4800元,B型电脑单价为3200元,若用不超过160000元去购买A、B型电脑共36台，要求购买A型电脑多于25台，有哪几种购买方案？
解：设购买A种电脑x台，则购买B种电脑（36﹣x）台，由题意得:
，解得:25＜x≤28，
∵x必须求整数，
∴x=26，27，28，
∴购买B种电脑:10，9，8,
可以有3种购买方案,
①购买A种电脑26，台，则购买B种电脑10台,
②购买A种电脑27台，则购买B种电脑9台,
③购买A种电脑28台，则购买B种电脑8台．

（2012•哈尔滨）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元,购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2)根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

解：设购买一个足球需要x元,购买一个篮球需要y元，
根据题意得，
解得，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．

解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720,
n≥65
∵n为整数,
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．

（2014•攀枝花）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：

租金(单位：元/台•时）
挖掘土石方量（单位：m3/台•时）
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台,恰好完成每小时的挖掘量,则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台?
(2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？

解：（1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：，
解得 ．
答:甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台;

（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．
依题意得：60m+80n=540，化简得：3m+4n=27．
∴m=9﹣n，
∴方程的解为,．
当m=5，n=3时，支付租金：100×5+120×3=860元＞850元,超出限额；
当m=1，n=6时,支付租金:100×1+120×6=820元，符合要求．
答：有一种租车方案,即租用1辆甲型挖掘机和3辆乙型挖掘机．
（2012四川广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元,购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
(2)根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
解：(1）设购买1块电子白板需要x元,一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
，解得：。
答:购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元。
(2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台,由题意得：
,解得：。
∵a为整数，∴a=99，100，101,则电脑依次买：297，296，295。
∴该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；
方案二：购买笔记本电脑296台,则购买电子白板100块；
方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块。
（2012年河南）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元,,且购4套A型和6套B型课桌凳共需1820元.
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
【解析】(1）设A型每套元，B型每套（)元
∴
∴
即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元和220元。
（2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
（2）设A型课桌凳套，则购买B型课桌凳(）套

解得
∵为整数,所以=78，79，80
所以共有3种方案.

（2011•眉山）在眉山市开展城乡综合治理的活动中,需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
(1）求运往两地的数量各是多少立方米？
(2）若A地运往D地a立方米(a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？
(3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：

A地
B地
C地
运往D地（元/立方米）
22
20
20
运往E地（元/立方米)
20
22
21
解答：解：（1）设运往E地x立方米,由题意得，x+2x﹣10=140,
解得：x=50,
∴2x﹣10=90,
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；

（2）由题意可得，
,
解得：20＜a≤22，
∵a是整数，
∴a=21或22,
∴有如下两种方案：
第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米;
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；
第二种:A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米;

(3）第一种方案共需费用:
22×21+20×29+39×20+11×21=2053(元）,
第二种方案共需费用：
22×22+28×20+38×20+12×21=2056(元）,
所以,第一种方案的总费用最少．

（2014•德阳）为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息,解答下列问题：
农产品种类
A
B
C
每辆汽车的装载量（吨）
4
5
6
（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车?
（2)如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种?写出每种装运方案．

解：(1)设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
,
解得．
答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；

（2)设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
4x+5y+6（40﹣x﹣y）=200，
解得：y=﹣2x+40．
由题意可得如下不等式组：,即，
解得:11≤x≤14。5
因为x是正整数，
所以x的值可为11，12，13，14；共4个值，因而有四种安排方案．
方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C
方案二：12车装运A，16车装运B,12车装运C．
方案三：13车装运A，14车装运B,13车装运C．
方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C．
（2011•内江)某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元;若购进电脑机箱2台和液示器5台,共需要资金4120元．
(1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2)该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情,销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案?哪种方案获利最大？最大利润是多少？
解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x,y元，
根据题意得:，解得：，
答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
(2）设该经销商购进电脑机箱m台,购进液晶显示器（50﹣m）台，
根据题意得：，解得：24≤m≤26，
因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，
从而得出有三种进货方式：
①电脑箱：24台，液晶显示器：26台，
②电脑箱:25台，液晶显示器：25台；
③电脑箱：26台,液晶显示器：24台．
∴方案一的利润：24×10+26×160=4400，
方案二的利润:25×10+25×160=4250，
方案三的利润：26×10+24×160=4100,
∴方案一的利润最大为4400元．

（2013•自贡）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人,使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人,使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．
（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？
(2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？
解答:
解:（1）设该校的大寝室每间住x人,小寝室每间住y人，由题意得:
， 解得：，
答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人；

(2）设大寝室a间，则小寝室（80﹣a）间，由题意得：
，
解得：80≥a≥75，
①a=75时,80﹣75=5，
②a=76时,80﹣a=4，
③a=77时,80﹣a=3，
④a=78时，80﹣a=2，
⑤a=79时，80﹣a=1，
⑥a=80时，80﹣a=0．
故共有6种安排住宿的方案．

(2012浙江温州12分)温州享有“中国笔都"之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将件产品运往A，B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,各地的运费如图所示.设安排件产品运往A地。

（1)当时，
①根据信息填表:

A地
B地
C地
合计
产品件数（件）

200
运费（元)
30

②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？
（2)若总运费为5800元,求的最小值。
【答案】解:（1）①根据信息填表

A地
B地
C地
合计
产品件数（件)

200
运费（元）
30

②由题意，得 ，解得40≤x≤。
∵x为整数，∴x=40或41或42。
∴有三种方案，分别是
(i）A地40件，B地80件，C地80件；
(ii）A地41件，B地77件，C地82件；
（iii）A地42件，B地74件，C地84件。
（2)由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800,整理，得n=725－7x．
∵n－3x≥0，∴x≤72.5。
又∵x≥0，∴0≤x≤72。5且x为整数.
∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。
（2007年南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机,根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表:
类　别
电视机
洗衣机
进价（元/台）
1800
1500
售价（元/台）
2000
1600
计划购进电视机和洗衣机共100台,商店最多可筹集资金160 600元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案?（不考虑除进价之外的其它费用)
(2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
9. 解：（1）设商店购进电视机x台,则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得
解不等式组，得　≤x≤．
即购进电视机最少34台,最多35台，商店有2种进货方案．
方案一，电视机34台，洗衣机66台：利润为元
方案二，电视机35台,洗衣机65台：利润为元
商店为了获得最大利润应选方案二，最大利润为13500元。

（2008年南充）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配个乒乓球,已知两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，超市所有商品均打九折（按原价的90%付费)销售,而超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球,若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用,请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球,那么去超市还是超市买更合算?
（2）当时，请设计最省钱的购买方案．

解：(1）去超市购买所需费用
即
去超市购买所需费用
即
当时，即

当时，即

当时,即

综上所述：当时，去超市购买更合算；当时,去超市或超市购买一样;当时，去超市购买更合算．
（2)当时,即购买10副球拍应配120个乒乓球
若只去超市购买的费用为：
（元）
若在超市购买10副球拍，去超市购买余下的乒乓球的费用为:
（元）

最佳方案为：只在超市购买10副球拍,同时获得送30个乒乓球,然后去超市按九折购买90个乒乓球．

（2009年南充）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：
方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0。06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有分钟，上网费用为元．
（1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费元与上网时间分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；
(2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？
方式A：,
方式B：，
两个函数的图象如图所示．

（2012南充）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
解：（1）设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元．
可得方程组,
解得．
答:大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元．
240名师生都有座位，租车总辆数≥6;每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6,故租车总数为6辆，设大车辆数是x辆,则租小车(6－x)辆，得
解得
∴4≤x≤5。
∵x是正整数，
∴x＝4或5，
于是有两种租车方案:
方案1：大车4辆，小车2辆,总租车费用2 200元；
方案2:大车5辆，小车1辆,总租车费用2 300元,
可见最省钱的是方案1.