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三元一次方程组的解法和应用
三元一次方程组的解法和应用

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杭州龙文教育科技有限公司
学生： 科目：数学 教师： 第 阶段第 次课 2013年 月 日
课 题：三元一次方程组解法及应用
    一、学习内容
    熟练掌握三元一次方程组解法。会应用三元一次方程组解答实际问题。
    二、例题分析
    ［例1]解方程组
    说明：解三元一次方程,可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转化一元，因此代入消元、加减消元法均可运用。
    [例2］

    提示：三元一次方程组的解法也可以设法将三元二元一元.
［例3］ ：
    提示：两方程组有相同的解是指存在一对x、y的值，使两个方程组中的每两个方程左边和右边的值相等，这x、y的值就是方程组的解。
       解：解方程组 ①-④得 6y=12 ∴y=2
    把y=2代入④得 x=—1
    把x=-1， y=2代入②③，得3×(-1）+2a—13=0 解得 a=8 b=0
    说明：此题是利用待定系数法求解a、b值是二元一次方程组的一个简单应用
    [例4］
    提示：这个方程组中的方程①是一个等比式，这就决定了这个方程的特殊性采取特殊的解法,设,那么 x = 2k ， y = 3k ， z = 5k，然后都代入②解出k求解x，y，z.
       解设
    那么 x = 2k , y = 3k ， z = 5k      ③ 将③代入②得2k + 3k + 5k = 20 ， 10k = 20 ，  k = 2
    将k = 2代入③得到原方程组的解
［例5］
提示：可采用先例数，再裂项，再换元的方法。

    说明：本例关键是对自方程组取倒数和裂项，取倒数法是一种常用的解题方法，是一种非常巧妙的逆向思维方法。
例6：、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，
求甲、乙、丙三个数．
答案:设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z。依题意得
解得
答：甲、乙、丙三个数分别为10、9、7。
例7某选择题共有10小题,评分标准如下：选对得4分，选错倒扣2分，不选得0分,已知小王选择题的得分是28分，且选对的题数是选错题数的4倍，问小王选对、选错、不选的各有几题．　
答案:设小王选对、选错、不选的题分别为x题、y题、z题。依题意得
解得
答：小王选对、选错、不选的题分别为8题、2题、0题。
例8某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里
能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天
能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？
答案：设在第一道工序、第二道工序、第一道工序的人数分别为x人、y人、z人.依题意得
解得
答：在第一道工序、第二道工序、第一道工序的人数分别为30人、18人、15人.
例9、有1角、5角、1元的三种硬币15枚,共7元,你能知道这三种硬币各有多少枚吗？
答案：设1角、5角、1元的三种硬币分别为x枚、y枚、z枚。依题意得

①—②,得0.9x+0。5y=8。即。
因为x、y都是正整数,所以x=5，y=7，代入①得z=3，所以
答：1角、5角、1元的三种硬币分别为5枚、7枚、3枚。
例10、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成,乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成,丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花,3750朵紫花，则黄花一共用了 43804380朵．
分析：题中有两个等量关系:甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆,用含x的代数式分别表示y、z,即可求出黄花一共用的朵数．
解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．
由题意，有 {15x+10y+10z=2900①25x+25z=3750②,
由①得，3x+2y+2z=580③，
由②得，x+z=150④，
把④代入③，得x+2y=280,∴2y=280-x⑤,
由④得z=150-x⑥．
∴4x+2y+3z=4x+（280-x)+3（150-x)=730,
∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．
故黄花一共用了4380朵．
例11、某果品店组合销售水果，甲种搭配:2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果,1千克C水果；丙种搭配:2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1。2元，C水果价格每千克10元．某天该店销售三种搭配共得441。2元,其中A水果的销售额为116元,则C水果的销售额为 150150元．
分析：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了x个、y个、z个．根据该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元,可以列方程组，根据题意，只需整体求得y+z的值即可．
解：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了x个、y个、z个．
根据题意，得 ｛8。8x+25。6y+21。2z=441。24x+6y+4z=116，
第一个方程减去第二个方程的2.2倍,得
12。4y+12.4z=186,即y+z=15,
10y+10z=150．故答案为：150．
点评:此题能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得y+z的值即可．
例12、某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元,乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合作5天，完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．
（1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．
解：（1)设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则
解方程组，得
∴
（2)设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，
则有
解方程组，得
∵10a=8000(元）,15b=9750（元），
∴由甲队单独完成此工程花钱最少．
答:（1)甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成，
（2）由甲队单独完成此工程花钱最少．

三、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
四、教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

教师签字：

教研组签字： 教务处签字：
教务处盖章

练 习
方程组：
1．

2．

3．小明是一个昆虫爱好者,一天，他捕捉了蜘蛛、蜻蜓、蝉一共18只,他仔细观察后发现，蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，他数了数，他们一共有118条腿和20对翅膀，你能确定小明捕捉了多少只蜘蛛，多少只蜻蜓，多少只蝉吗？

4．（2011重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了几朵．

5．汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一个坡度均匀的小山，所以去时用时2小时30分,返回时用时2小时18分,已知汽车在平地上每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米,上坡时每小时行驶20千米，求去时上坡路、下坡路及平的路程．

6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲4件、乙5件、丙1件，共需230元;若购甲7件、乙9件、丙1件,共需385元,问甲、乙、丙三种货物各购一件共需多少元？

7．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到外地销售(每量汽车按规定满载,每车只能装同一种蔬菜,每种蔬菜不少于1车),应该如何安排,可使公司获得利润18300元？

甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
1．5
每吨蔬菜可获得利润（百元）
5
7
4

8．某校对高三年级275名学生户外活动和健康达标情况进行了调查，结果是：第一种数学平均每天参加户外活动1h以上，第二种学生平均每天参加户外活动0.5h到1h之间，这两种学生人数均为100人,其余为第三种学生，平均每天参加户外活动的时间不够0。5h，第一种学生的健康达标人数比后两种学生的健康达标人数的和少4人,第二种学生的健康达标人数比第三种学生的健康达标人数多34人，该年级因视力、身高、体重、患病而未达到健康标准的共有91人,问三种学生的健康达标人数分别是多少？达标率各为多少?

9．用A、B、C三种金属制成甲、乙、丙三种合金，其质量比在甲合金为2：1：1，在乙合金中为1：2:5，在丙合金中为1：3:2，已知三种合金共用A种金属5。5千克,B种金属8千克，C种金属9。5千克，问甲、乙、丙三种合金各重多少千克？