轴对称、等腰三角形经典练习题目.doc

(完整word)轴对称、等腰三角形经典练习题目
【知识点回顾】
轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就
说这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应
点叫做对称点.

轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。
2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

线段垂直平分线的判定:到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等；
定理:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”).
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等
腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形
是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写
成“等角对等边"。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等
于斜边的一半
【典型例题】
例1. 如图，中，，BD平分。
求证：。

分析：从要证明的结论出发,在BC上截取，只需证明,考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。
证明：在BC上截取，连结DE、DF
在和中，

又

而

即
【随堂作业】
1、下列图形中,不是轴对称图形的是 （ ）
A．有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形
C。 有一个内角是30°的直角三角形 D. 有两个角分别是30°和120°的三角形
2、下列说法中正确的是 （ ）
① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等
② 角是轴对称图形 ③线段不是轴对称图形
④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
A.①②③④ B.①②③ C。②④ D.②③④
3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示

实际时间是 （ ）
A．21：10 B. 10：21 C。 10：51 D. 12:01
4、下列推理中，错误的是 （　　)
A．∵∠A＝∠B＝∠C ， ∴△ABC是等边三角形
B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形
5、等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是 （　　）
A．9cm B．12cm
C．9cm和12cm D．在9cm与12cm之间
6、若等腰三角形的一个外角为130°,则它的底角为________ .
7、如图,是等边三角形,，则的度数是________

8、 如图，在等腰三角形中，，点是底边上一个动点,
分别是的中点，若的最小值为2，则的周长
是（ ）
A． B． C． D．
9、 在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E,若
△ABC的边长为a，则△ADE的周长为 （　　）
A．2a B． C．1．5a D．a
10、 如图，在中，，，点为的中点，
于点，则等于（ C ）
A． B． C． D．
11、 如图7—111，在Rt△ABC中,B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC
上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝_________.

12、 如图7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于
E,作MD⊥BA,垂足为D，ME＝10cm，则MD＝_________。

13、 已知:如图7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、
F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．

14、已知:如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，
求证：AH=2BD．

【课后作业】
P
A
E
C
B
D
1、如图：等边三角形ABC中，BD＝CE,AD与BE相交于点P，则
∠APE的度数是 （　　)
A．45° B．55°　　
C．60° D．75°
2、 等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两
部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对
3、 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB
的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）
A。 6个 B. 7个 C。 8个 D。 9个

4、如图， ∠MPN＝25°, 又PA＝AB＝BC＝CD, 则∠DCM＝_______度。
5、 已知：在△ABC中，∠A=20°，D为AB上一点,AD=DC,且 ∠ACD∶∠BCD=2∶3,则
∠ABC=_______．　
6、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
A
C
B
Q

P

7、 已知：如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F,连结AF． 求证：
∠B=∠CAF.

A
B
D
F
E
C
8、 如图,△ABC中,∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD
求证:AF=FC

一、 选择题（每小题3分，共30分)
1．下列图案中是轴对称图形的是    (     ）

2．以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是    ( ）

3．到三角形的三个顶点距离相等的点是    (    )   
A．三条角平分线的交点       B．三条中线的交点   
C．三条高的交点        D．三条边的垂直平分线的交点 
4．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则    （    ）   
A．PA＋PB>QA＋QB      B．PA＋PB〈QA＋QB  C．PA＋PB＝QA＋QB    D．不能确定 
5．等腰三角形的一个外角等于100°,则与它不相邻的两个内角的度数分别为    （    )   
A．40° ，40°      B．80°，20°   C．50°，50°      D．50°,50°或80° ，20° 
6．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等;③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;④等腰三角形的一边长为8，一边长为16,那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是    (    ） 
  A．1       B．2      C．3      D．4 
7．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为    (    )  
 A．30°      B．40°      C．45°     D．60° 
8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为    （    )  
 A．7       B．11      C．7或11     D．7或10 
 9．如图,在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是    （     ）   
A．40°        B．35°     C．25°       D．20°  
10．如图，直线l是一条河,P，Q两地相距8 km，P,Q两地到l的距离分别为2 km，5 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是    ( ）

二、 填空题（每小题3分，共24分）
11．粗圆体的汉字“口”“天"等都是轴对称图形,请再写出至少三个以上这样的汉字_______． 
12．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC是_______三角形．
13．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°，则其顶角的大小为_______． 
14．如图，已知△ABC中,AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC＝2：1,则∠A＝_______． 

15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，角平分线BE与CD相交于点F，如果不添加其他线和字母,那么图中等腰三角形有_______个． 
16．如图,AD是△ABC的中线,∠ADC＝60°，BC＝4,把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C'的位置上，那么BC’的长为_______． 
17．如图，在△ABC中,AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E是AD的任一点，若△ABC的面积为12 cm，则图中阴影部分的面积是_______cm． 
18．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为_______． 
三、解答题（共46分） 
19．（6分）（2013．盐城)如图①是3x3正方形方格，将其中两个方格涂黑,并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有几种？

20．（6分）已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形,且BE＝AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．

答案：
考点精练
1．82.5 2．30a 3．220 4．105°
5．368 6．7秒或25秒 7．(2，—2）
8．10° 9．D 10．B 11．B 12．B
13．7cm或11cm
14．关系:DE=DB，
∵CD=CE，
∴∠E=∠EDC，
又∵∠ACB=60°，
∴∠E=30°，
又∵∠DBC=30°，
∴∠E=∠DBC，
∴DB=DE
15．（1)①③或②③
（2）已知①②求证△ABC是等腰三角形．
证：先证△EBO≌△DCO．得OB=OC，得∠DBC=∠ECB．
∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形
16．(1）△DEF是等边三角形，
提示证△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等边三角形
（2)AD=BE=CF成立．证略．

【例题经典】
根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC,∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何?若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，
根据等腰三角形的性质,∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，
即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=90°+∠A；
∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时，∠BOC=120°+∠A；
∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时，∠BOC=·180°+∠A．
【点评】在例1图中,若AE=AB，AD=AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ,试判断△PQC的形状，并说明理由．
【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．(2）连接PQ,则△PBQ是等边三角形．PQ=PB,AP=CQ故CQ:PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．
【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．
【考点精练】
一、基础训练
1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．

（1） （2） （3)
2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是_______．
3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．
4．（2006年烟台市）如图4,在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．

（4） （5） （6)
5．（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．
6．(2006年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．
7．如图6，等边△ABC,B点在坐标原点，C点的坐标为（4,0）,点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．
8．（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．

（7） (8） （9)
9．（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°,CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A．44° B．68° C．46° D．22°
10．（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6。2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4
11．（2006年日照市）如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（ )
A．30° B．36° C．45° D．72°

（10） (11)
12．(2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（ ）
A．25° B．50° C．60° D．130°
二、能力提升
13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．

14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．
试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．

15．（2006年扬州市）如图,△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O，给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．
（1）上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形）;
（2)选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

三、应用与探究
16．（2005年江西省）如图,△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点．
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论．
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．

精彩文档