二函数概念与基本初等函数Ⅰ.doc

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节
函数及其表示
本节主要包括3个知识点：
1.函数的定义域；　2.函数的表示方法；3.分段函数.

突破点(一)　函数的定义域
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

求给定解析式的函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
[例1]　y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
[解析]　要使函数有意义，必须
∴x∈(－2,0)∪[1,2)．
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．
[答案]　C
[易错提醒]
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

求抽象函数的定义域
对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
[例2]　若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
[解析]　由题意得，解得0≤x＜1，即g(x)的定义域是[0,1)．
[答案]　[0,1)
[易错提醒]
函数f[g(x)]的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．

已知函数定义域求参数
[例3]　(2017·杭州模拟)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
[解析]　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得0<m≤4.
综上可得：0≤m≤4.
[答案]　D
[方法技巧]
已知函数定义域求参数的思想方法
已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．[考点一]函数y＝ln(2－x)的定义域为(　　)
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,1] D．[0,2]
解析：选B　由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．
2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
解析：选D　由题意得
解得即－1≤x≤1且x≠－，
所以函数的定义域为∪.故选D.
3．[考点一]函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．
解析：由题意得解得即0<x≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．
答案：(0,2]
4．[考点二]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，∴x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
5．[考点三]若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以解得所以a＋b＝－－3＝－.
答案：－
突破点(二)　函数的表示方法
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
2．应用三种方法表示函数的注意事项
(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．
3．函数的三种表示方法的优缺点

优点
缺点
解析法
简明扼要，规范准确
(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；
(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂
列表法
能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系
只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌
图象法
形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质
作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

求函数的解析式
求函数解析式的四种方法

[典例]　(1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)

A．y＝x3－x2－x　　　
B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x
D．y＝x3＋x2－2x
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)(2017·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．
[解析]　(1)设该函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
(2)∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，
∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
(3)用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，
∴
①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)．
[答案]　(1)A　(2)－x(x＋1)　(3)f(x)＝x－＋(x≠0)
[易错提醒]
在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f－1，则f(x)＝________.
解析：在f(x)＝2f－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，将f＝2f(x)－1代入f(x)＝2f－1中，求得f(x)＝＋(x>0)．
答案：＋(x>0)
2．函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
解析：由题意知
解得f(x)＝2x.
答案：2x
3．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
5．已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
解：由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
突破点(三)　分段函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
2．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

分段函数求值
[例1]　(1)设f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)
A．－1 B.
C. D.
(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f(x)＝则f(1＋log25)的值为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)因为f(－2)＝2－2＝，所以f(f(－2))＝f＝1－ ＝，故选C.
(2)因为2<log25<3，所以3<1＋log25<4，则4<2＋log25<5，则f(1＋log25)＝f(1＋log25＋1)＝f(2＋log25)＝＝×＝×＝，故选D.
[答案]　(1)C　(2)D
[方法技巧]
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．　

求参数或自变量的值或范围
[例2]　(1)(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(4)＝2f(a)，则实数a的值为(　　)
A．－1或2 B．2
C．－1 D．－2
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
[解析]　(1)f(4)＝log24＝2，因而2f(a)＝2，即f(a)＝1，当a>0时，f(a)＝log2a＝1，因而a＝2，当a≤0时，f(a)＝a2＝1，因而a＝－1，故选A.
(2)当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.
[答案]　(1)A　(2)(－∞，8]
[方法技巧]
求分段函数自变量的值或范围的方法
求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)
A．2 B．1
C. D.
解析：选C　由题意得f(－1)＝1－2－1＝，则f(f(－1))＝f＝2＝.
2．[考点一]已知f(x)＝则f的值为(　　)
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选B　f＝f＋1＝sin＋1＝－.
3．[考点一]已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B　由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，
解得b＝1.f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
则f(x)＝
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
4．[考点二]设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
A. B．[0,1]
C. D．[1，＋∞)
解析：选C　由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
5．[考点二]已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为________．
解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.
答案：－1或1
6．[考点二]已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D　函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选C　∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A　由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.综上所述，f(6－a)＝－.
4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1) C．[－2,1] D．[－2,0]

解析：选D　y＝|f(x)|的图象如图所示，y＝ax为过原点的一条直线，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线的斜率，显然，k＝－2.所以a的取值范围是[－2,0]．
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　)

解析：选C　A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．
2．若函数f(x＋1)的定义域为[0,1]，则f(2x－2)的定义域为(　　)
A．[0,1] B．[log23,2]
C．[1，log23] D．[1,2]
解析：选B　∵f(x＋1)的定义域为[0,1]，即0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2.∵f(x＋1)与f(2x－2)是同一个对应关系f，∴2x－2与x＋1的取值范围相同，即1≤2x－2≤2，也就是3≤2x≤4，解得log23≤x≤2.∴函数f(2x－2)的定义域为[log23,2]．
3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B　设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴解得∴g(x)＝3x2－2x.
4．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
5．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝________.
解析：f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
解析：选D　要使函数f(x)有意义，则x须满足即
解得1<x≤10，且x≠2，所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,10]．
2．已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．－2
解析：选C　f＝－cos＝cos＝；f＝f＋1＝f＋2＝－cos＋2＝＋2＝.故f＋f＝3.
3．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝(　　)
A．2 B．0 C．1 D．－1
解析：选A　令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，　　 ②
联立①②得f(1)＝2.
4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(a，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是(　　)
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
解析：选D　因为组装第a件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4<a，且＝＝30.②
联立①②解得c＝60，a＝16.
5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D　当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
6．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①
解析：选B　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
二、填空题
7．已知函数f(x)对任意的x∈R，f(x＋1 001)＝，已知f(15)＝1，则f(2 017)＝________.
解析：根据题意，f(2 017)＝f(1 016＋1 001)＝，f(1 016)＝f(15＋1 001)＝，而f(15)＝1，所以f(1 016)＝＝1，则f(2 017)＝＝＝1.
答案：1
8．(2017· 绵阳诊断)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不合题意，舍去．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.综上可知，a的值为－.
答案：－
9．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________.
解析：由f＋f＝2，得f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，又f＝＝×2＝1，∴f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.
答案：7
10．定义函数f(x)＝则不等式(x＋1)f(x)>2的解集是________．
解析：①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x＋1)·f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．
答案：{x|x<－3或x>1}
三、解答题
11．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.所以f(x)＝
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．
第二节
函数的单调性与最值
本节主要包括2个知识点：
1.函数的单调性；2.函数的最值.

突破点(一)　函数的单调性
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

判断函数的单调性
1．复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
2．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
[例1]　(1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　 B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
(2)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
[解析]　(1)当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
(2)设t＝x2－2x－3，由t≥0，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
[答案]　(1)C　(2)B
[易错提醒]
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．

函数单调性的应用
应用(一)　比较函数值或自变量的大小
[例2]　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b　　　　　　　　　 B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[解析]　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<<e，∴f(2)>f>f(e)，∴b>a>c.
[答案]　D
应用(二)　解函数不等式
[例3]　f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)
[解析]　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8<x≤9.
[答案]　B
[方法技巧]
用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略
(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)<f(a)．　
应用(三)　求参数的取值范围
[例4]　(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上所述得－≤a≤0.
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.
[答案]　(1)D　(2)D
[易错提醒]
(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．
(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 　
1．[考点一]函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A　由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．
2．[考点二·应用(一)]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(ln π)2，c＝ln，则(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
解析：选C　由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π，且0<ln π<|a|，故|b|>|a|>|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)．
3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则满足flogx>0的x的集合为________．
解析：由题意，y＝f(x)为奇函数且f＝0，
所以f＝－f＝0，
又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，
于是或
即或解得0<x<或1<x<3.
答案：∪(1,3)
4．[考点二·应用(三)]已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
解析：由已知条件得f(x)为增函数，∴解得≤a＜2，∴a的取值范围是.
答案：
5．[考点一]用定义法讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调性．
解：函数的定义域为{x|x≠0}．任取x1，x2∈{x|x≠0}，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝＝(x1－x2).
令x1＝x2＝x0,1－＝0可得到x0＝±，这样就把f(x)的定义域分为(－∞，－ ]，[－，0)，(0， ]，[，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．
若0<x1<x2≤，则x1－x2<0,0<x1x2<a，所以x1x2－a<0.所以f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0， ]上单调递减．
同理可得，f(x)在[，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ ]上单调递增，在[－，0)上单调递减．故函数f(x)在(－∞，－ ]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
突破点(二)　函数的最值
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

求函数的最值(值域)
1．利用函数的单调性求解函数最值的步骤
(1)判断或证明函数的单调性；
(2)计算端点处的函数值；
(3)确定最大值和最小值．
2．分段函数的最值
由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．
[典例]　(1)函数y＝x＋的最小值为________．
(2)函数y＝的值域为________．
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
[解析]　(1)法一：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
∴原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝2＋，
又∵t≥0，∴y≥＋＝1.
故函数y＝x＋的最小值为1.
法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在其定义域[1，＋∞