初一第10讲解一元一次方程.doc

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第10讲 解一元一次方程（二)
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
全国—人教版
课时时长（分钟)
120分钟
知识点
1。 去括号法则
2. 去分母法则
3. 解一元一次方程的步骤
教学目标
1。 理解并掌握一元一次方程去括号、去分母法则
2。 理解并掌握一元一次方程的解题步骤
3. 会用一元一次方程解决简单的实际问题
教学重点
去括号、去分母法则
教学难点
会解一元一次方程
教学过程
一、复习预习
夯实基础知识：
1. 一元一次方程的定义
2。 移项、合并同类项、系数化1的法则和依据
3。 解较简单的一元一次方程的步骤
二、知识讲解
1。 去括号
(1）去括号时，括号外的数都要连同前面的“±"号看作是一个数，然后按分配律分别相乘,防止符号出错或漏乘。
(2）去括号时，若既有小括号,又有中括号和大括号，一般先去小括号,再去中括号，最后去大括号；有时也可以先去大括号,再去中括号，最后去小括号.
2. 去分母
（1）去分母时,方程两边最好乘各分母的最小公倍数。
（2）去分母时,分数线往往消失掉后变成括号。
（3）去分母时,不含分母的项往往容易忽略，保持不变，这就错了。应该是同乘以各分母的最小公倍数,因为它的理论依据是等式性质。
3. 解一元一次方程的一般步骤
（1)通常是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
（2）解具体的一元一次方程时，并不是以上几个步骤步步用到,应该是有分母则去分母,有括号就去括号,没有分母或括号则不用去分母或去括号.
(3）解具体的一元一次方程时，并不一定是按照自上而下的顺序解方程，有时要根据方程的形式、特点灵活安排求解步骤,熟练后还可以合并或简化某些步骤.
4. 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
（1）审：（2)找：（3）设：（4）列：（5）解：(6）求：（7）答：
考点/易错点1
去括号时，如果括号外的因数是负数，要注意括号内的各项必须变号
考点/易错点2
解方程时,若有些系数是分数，一般先化成整数，具体方法是：方程各项都乘以所有分母的最小公倍数。
三、例题精析
【例题1】
【题干】去括号正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确;
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选B．
【解析】本题考查去括号的知识，难度不大，注意掌握负负得正这个知识点．根据负正得负，负负得正,正正得正即可进行各选项的判断,从而得出答案．
【变形1】小明解关于y的一元一次方程，在去括号时，将漏乘了3，得到方程的解是y=3，请你求出的值及方程的正确的解．
【答案】解：由题意，得．即
∵, ∴,
解得，．
则由关于的一元一次方程，得
，即，即．
综上所述，的值是1，方程的正解是．
【解析】根据已知条件中的去括号的方法来求的值，然后把代入已知方程，通过解方程可以求得的值．此题考查的是一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程,等式左右两边相等．
【例题2】
【题干】在学习一元一次方程的解法时，我们经常遇到这样的试题：
“解方程：”
（1)请根据下面的解题过程，在前面的横线上填上正确变形的结果，在后面的括号内写出变形的一句．
解：去分母，得：________________________（　　 ）
去括号，得：_____________________________（　 　 )
移项，得：________________________________（　 　）
合并同类项,得___________________________(　 　）
系数化为1,得：_________________________
(2）请你写出在上面的解答中，容易出错的地方(至少写出两个）．
【答案】解：去分母，得:(等式的基本性质2),
去括号，得:(乘法分配律或去括号法则)．
移项，得：（等式的基本性质1），
合并同类项，得：（合并同类项法则)，
系数化为1，得：；
(2)（本题答案不唯一，只要合理就可给分）,
如①在去分母时有些项漏乘以10；
②去括号时符号出错．
【解析】（1）方程利用等式的基本性质2去分母后，利用去括号法则去括号,移项后，合并同类项，将系数化为1，求出解即可；（2）本题答案不唯一，如：去分母时有些项漏乘以10；去括号时符号出错．
【变形1】解方程时,去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】解：将方程去括号，得．
故选C．
【解析】本题比较简单,解此题要注意移项要变号．
【例题3】
【题干】解方程的步骤如下:
解：①去括号，得
②移项，得
③合并同类项，得
④系数化为1，得
经检验
不是方程的解，则上述解题过程中是从第几步出错的（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】解：第②步中将y的符号弄错，而出现错误,应为4y—y—2y=1+4而不是4y+y-2y=1+4．
故选B
【解析】第②步中将y的符号弄错，而出现错误，注意不移项时不变号,移项要变号．此题考查了解一元一次方程，其步骤为:去分母，去括号,移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
【例题4】
【题干】把方程的分母化成整数，结果正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分母化成整数时,分子与分母同时扩大10倍，分数的值不变，而右边的1不应当乘以10，即可得到结果．此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1,求出解．
【变形1】将方程变形正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】分母化成整数时，分子与分母同时扩大相同的倍数，要注意与其他项没关系。
【例题5】
【题干】解方程：
（1) （2)
【答案】（1）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得，
系数化为1,得
（2)去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
【解析】（1）（2）都是带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．本题考查了解一元一次方程的方法，去分母，去括号，移项、合并同类项,系数化为1．
【变形1】方程去分母得(　　）
A． B． C． D．
【答案】解：两边同乘以4得：
去括号得：
故选A．
【解析】本题考查的是一元一次方程去分母的法则，要注意去分母时等式两边都要乘以最小公倍数.
【例题6】
【题干】当时，代数式与代数式的值相等．
【答案】解：根据题意得，=
去分母，得
去括号，得
移项、合并得
系数化为1得：
当时代数式与代数式的值相等．
【解析】根据题意列出方程=,这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【变形1】已知与互为倒数，则等于____________．
【答案】解：∵与互为倒数，
∴，
解得：．
故填9．
【解析】根据互为倒数的两数之积为1可列出方程,从而解得的值．解本题的关键是根据倒数的定义列出方程，至于解方程就很简单了．
【例题7】
【题干】已知关于的方程的解满足，则的值是（　　）
A．10或 B．10或- C．-10或 D．—10或-
【答案】解：先由得出或；再将和分别代入
,求出m=10或故选A．
【解析】解答本题时要格外注意，的解有两个．解出x的值后，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数,从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
【例题8】
【题干】解方程：
（1) （2）
【答案】（1)解:去分母，得：
去括号，得：
移项,得：
合并同类项得:
系数化1，得：
（2）解:去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得:
系数化1，得：
【解析】本题考查了解一元一次方程的方法,去分母，去括号，移项、合并同类项,系数化为1．
【例题9】
【题干】解方程
（1） （2）
【答案】(1）解：
去分母，得:
去括号，得：
移项，得:
合并同类项，得：
系数化1，得：
（2）解：

去分母，得：
去括号，得:
移项，得：
合并同类项,得：
系数化1，得：
【解析】本题中方程的分母都是小数，在这种情况下，我们会根据分数的基本性质把分数的分子和分母同时扩大相应的倍数,使分母化为整数,然后再按照一元一次方程的解题步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1来解方程。
四、课堂运用
【基础】
1. 时,代数式的值比的值大1．
【答案】解：去分母得：
去括号得：
移项、合并得：
方程两边都除以-2得：．
故当时，代数式的值比的值大1．
【解析】主要考查了方程的变形，也就是解方程的基本步骤的分解．方程变形常用的方法有：移项、合并同类项、去分母、去系数、去括号．解此类题型要熟悉各项计算的方法．
2. 当时，代数式的值比大．
【答案】解：根据题意列方程得,=
去分母得：，
去括号得：，
移项得：,
合并同类项得：，
系数化为1得：
【解析】本题列出方程不难，但是解方程要仔细．
3. 下列方程变形中，正确的是（　　）
A．由，得
B．由，得
C．由,得
D．由，得
【答案】解：A、由，得
C、由，得
D、由，得
利用排除法可得正确的是B．
故选B．
【解析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形,可以找出正确答案．去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项．去括号时，注意符号也不要漏乘；化系数为1时，应用常数项除以未知数的系数．
4。 方程去分母后正确的结果是(　　）
A． B．
C． D．
【答案】解：方程左右两边同时乘以8
得：．
故选D．
【解析】去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数，注意分数线的括号的作用，并注意不能漏乘．
5。 如果方程的解也是方程的解，那么的值是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．以上都不对
【答案】解：解方程得：，
解方程得：
∴,
解得：，
故选A．
【解析】可以分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值．本题解决的关键是能够求解关于x的方程，正确理解方程解的含义．
6。 解一元一次方程：
【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：
解得：
【解析】此题考查了解一元一次方程,其步骤为去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解．
7。 解方程
【答案】解:根据绝对值的意义,将原方程可化为:（1）；（2）．
解（1）得，
解(2）得．
故填-5或7．
【解析】本题结合方程考查了绝对值的意义，解题时要注意分类讨论．
【巩固】
1. 方程解答过程顺序是（　　）
①合并，得 ②移项，得 ③系数化为1，得
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．③①②
【答案】解：根据解方程的步骤：
先移项,再合并同类项，最后系数化为1；
故选C．
【解析】本题考查了一元一次方程的解题步骤:去分母；去括号；移项；合并同类项;系数化为1．根据不同题目，选择其中适当的步骤解答．
2. 下列变形是属于移项的是（　　）
A．由，得 B．由 ,得
C．由,得 D．由，得
【答案】解：A、由，系数化1，得;
B、由 系数化1，得；
C、由移项得：；
D、由系数化1,得．
故选C
【解析】本题不仅需要熟悉解方程的步骤,更需要熟悉解方程每步的含义．移项的本质是等式的性质1:等式两边同加（或减）同一个数（或式子),结果仍相等
3. 若干本书分给某班同学,每人6本则余18本，每人7本则少24本．设该班有学生x人,或设共有图书y本,分别得方程（　　）
A．与 B．与
C．与 D．以上都不对
【答案】 解：(1）设该班有学生人，则每人6本则余18本,可表示出图书有(6+18)本；每人7本则少24本，可表示出图书有(7x—24）本．根据图书数量相等列方程得：．
(2）设共有图书y本，由每人6本则余18本,可表示出学生有人；每人7本则少24本可表示出学生有根据学生人数相等列方程得：故选B．
【解析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：每人分6本时的图书的总数量=每人分7本时的图书的总数量,根据此等式列方程即可．
4. 方程的解是，则为(　　）
A．-14 B．20 C．14 D．-16
【答案】解:把代入方程，
得:，
解得：；
故选C．
【解析】虽然是关于的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值．将代入原方程即可求得的值．
5。 下面是一个被墨水污染过的方程 ： ，答案显示此方程的解是 ，

被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　)
A．2 B．—2 C．— D．
【答案】解：设被墨水遮盖的常数为m，则方程为将
代入方程得：m=—2
故选B．
【解析】此题考查的是根据方程的解求出常数,关键在于设出m．
6。 若且｜3y—2｜=0，则．
【答案】解：解方程，得．
由|3y—2|=0，得3y—2=0，解得
∴=1．
【解析】此题考查的是绝对值的非负性和一元一次方程的解法.
7. 解一元一次方程:
【答案】解:去分母，得：,
去括号,得：,
移项，合并同类项，得：，
系数化为1，得:．
【解析】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，此题难度不大．
【拔高】
先阅读下列解题过程，然后解答问题（1)、（2)、（3）．
例:解绝对值方程：｜2x|=1．
解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为，它的解是
②当x＜0时,原方程可化为-2x=1，它的解是x=—
∴原方程的解为x=和—．
问题（1）：依例题的解法，方程|x|=3的解是_____________；
问题（2）：尝试解绝对值方程：2|x—2|=6；
问题(3）:在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：｜x-2｜+|x-1｜=3．
【答案】解：（1）｜x｜=3，
①当x≥0时，原方程可化为x=3，它的解是x=6;
②当x＜0时,原方程可化为-x=3,它的解是x=-6；
∴原方程的解为x=6和—6,
故答案为:x=6和—6．
(2）2|x—2｜=6，
①当x—2≥0时，原方程可化为2（x-2)=6,它的解是x=5；
②当x-2＜0时，原方程可化为-2（x—2)=6，它的解是x=-5；
∴原方程的解为x=5和—5．
（3)|x—2｜+|x—1|=3，
①当x—2≥0，即x≥2时，原方程可化为x-2+x—1=3，它的解是x=3；
②当x-1≤0，即x≤1时,原方程可化为2—x+1-x=3，它的解是x=0；
③当1＜x＜2时，原方程可化为2-x+x-1=3，此时方程无解；
∴原方程的解为x=3和0．
【解析】（1)分为两种情况：①当x≥0时，②当x＜0时，去掉绝对值符号后求出即可．
（2）分为两种情况：①当x—2≥0时，②当x-2＜0时，去掉绝对值符号后求出即可．
（3）分为三种情况：①当x-2≥0，即x≥2时，②当x-1≤0，即x≤1时，③当1＜x＜2时，去掉绝对值符号后求出即可．
课程小结
1。 去分母、去括号的法则
2。 解一元一次方程的步骤
3. 系数化1的方法和依据
4。 解较简单的一元一次方程的一般步骤
课后作业
【基础】
1. 下列去分母错误的是（　　）
A．由得
B．由得
C．由得
D．由得
【答案】解：A、由得 本选项正确;
B、得:，本选项错误；
C、由得,本选项正确；
D、由得，本选项正确，
故选B
【解析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号,移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
2。 下列去括号与添括号变形中,正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误;
C、，故本选项正确；
D、,故本选项错误．
故选C．
【解析】本题考查了去括号及添括号的知识，熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．
3. 将方程去分母,得____________．
【答案】解：去分母得,10-1—2x=0．
故答案为：10-1-2x=0．
【解析】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项．
4. 解方程：
（1） （2)
【答案】（1）解：

（2）解：

【解析】分母化成整数时，分子与分母同时扩大10倍，分数的值不变,而右边的1不应当乘以10，即可得到结果．此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
5. 小马在解方程．去分母时，方程右边的—1忘记乘6，因而求得的解为,试求的值，并正确解这个方程．
【答案】解:由小马的解法可知去分母后的方程为：，即,
∵，
∴，解得；
去分母得,，
去括号得，，
移项得,,
合并同类项得，,
把代入得，
【解析】先根据小马的解法得出去分母后的方程，把代入即可求出a的值；再根据解一元一次方程的方法求出的值即可．
6。 聪聪在对方程①去分母时，错误的得到了方程
②，因而求得的解是
，试求m的值，并求方程的正确解．
【答案】解：把代入方程②得：，解得:m=1,
把m=1代入方程①得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：,
则方程的正确解为．
【解析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7。 小林在解方程时，过程如下：
5
去分母，得
去括号,得
移项及合并，得
系数化为1,得
（1）这些解题过程是否正确？如有错误,请在错误步骤下划一横线;
（2）请写出该方程正确的解法．
【答案】解：(1）错误点是：去分母时漏乘了常数项；
（2）正确的解法为：
去分母得：，
去括号得：，
移项及合并得：，
系数化为1得:
【解析】本题考查了解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1,在去分母时一定要注意：不要漏乘方程的每一项．
【巩固】
1。 化简的结果是（　　）
A．2x—2 B．8x+2 C．16x+2 D．2x+2
【答案】解：原式=，故选D．
【解析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律,先把括号前的数字与括号里各项相乘,再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号;括号前是“-"，去括号后,括号里的各项都改变符号．去括号的顺序为先大后小．
2。 若关于x的方程|x｜=2x+1的解为负数，则x的值为（　　)
A．− B．− C．− D．-1
【答案】解:①当x≥0时，去绝对值得，x=2x+1，得x=-1，不符合预设的x≥0，舍去．
②当x＜0时，去绝对值得，—x=2x+1，得x=— ．
故选B．
【解析】本题考查了一元一次方程的去绝对值的解法．要分类讨论．
3. 下列四组变形中，属于去括号的是(　　）
A．，则 B．，则x=6
C．，则
D．,则
【答案】解：去括号首先在开始的时候要有括号,由此可得A、B、D都错误．
C、3x—（2—4x）=5，去括号得：3x+4x-2=5，故本选项正确．
故选C．
【解析】本题考查去括号的知识，比较简单，运用视察法即可直接得出答案．
4. 由方程得到，这种变形叫做_______，它要注意的是____________．
【答案】解：通过观察可得：这种变形叫做去括号，去括号时要注意括号外面的系数不要漏乘括号里的每一项．
故答案为：去括号,不要漏乘括号里的每一项．
【解析】观察变形后的形式可得出这种变形叫做去括号，去括号时要注意不要漏乘括号里的每一项．
5. 若方程的解与关于x的方程的解相同,则k的值为__________
【答案】解：得：
把代入方程6-2k=2(x+3）得:
解得：
【解析】本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
6。 如果方程与方程的解相同，则．
【答案】解：解得，，
把代入,
解得．
【解析】本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
7。 解方程：
（1） (2）
【答案】（1）解：

（2）解:

【解析】本题考查了解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1，在去分母时一定要注意:不要漏乘方程的每一项．
8。 解下列方程：
（1） (2）
【答案】（1）解:

（2)解:

【解析】本题考查了解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1，在去分母时一定要注意:不要漏乘方程的每一项．
【拔高】
仔细看例题，试一试．相信自己，我能行！

解：去分母,得：

去括号，整理得：
解得：
计算：
【答案】解：去分母,整理，得
去括号，整理,得
去分母，得2x=—15，
系数化为1，得x=—7。5．
【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1,从而得到方程的解．
错题总结

错题题号
错题比例
错题原因
错题知识点小结
课堂运用

课后作业