第三章自考线性代数精讲.ppt
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1、5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间第一节第一节n n维向量维向量ln n维向量的概念维向量的概念ln n维向量的表示方法维向量的表示方法l向量空间向量空间l小结、思考题小结、思考题5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量,一、一、维向量的概念维向量的概念5/24/2024线性代数线性代数
2、Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个个分量分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间二、二、维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行,称为维向量写成一行,称为行向量行向量,也就是行,也就是行矩阵,通常用等表示,如:矩阵,通常用等表示,如:维向量写成一列,称为维向量写成一列,称为列向量列向量,也就是列,也就是列矩阵,通常用等表示,如:矩阵,通常用等表示,如:
3、5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量;行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算;进行运算;当没有明确说明是行向量还是列向量时,当没有明确说明是行向量还是列向量时,都当作都当作列向量列向量.5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有
4、方向的量有有次序的实数组成的数组次序的实数组成的数组几何形象:可随意几何形象:可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象:向量的代数形象:向量的坐标表示式坐标表示式坐坐坐坐标标标标系系系系三、向量空间三、向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间空间空间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间:点的集合:点的集合向量空间向量空间:向量的集合:向量的集合坐坐坐坐标标标标系系系系代数形象:向量空代数形象:向量空间中的平面间中的平面几何形象:空间几何形象:空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面
5、或曲面平面或曲面一一对应一一对应5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间叫做叫做 维向量空间维向量空间 时,时,维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间确定飞机的状态,需确定飞机的状态,需要以下要以下6个参数:个参数:飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰
6、角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以,确定飞机的状态,需用所以,确定飞机的状态,需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间课堂讨论课堂讨论在日常工作、学习和生活中,有许多问题都在日常工作、学习和生活中,有许多问题都需要用向量来进行描述,请同学们举例说明需要用向量来进行描述,请同学们举例说明5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间向量的表示方法:行向量与列向量;向量的表示方
7、法:行向量与列向量;向量空间:向量空间:解析几何与线性代数中向量的联系与区别、解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念;向量空间的概念;向量在生产实践与科学研究中的广泛应用向量在生产实践与科学研究中的广泛应用四、小结四、小结 维向量的概念,实向量、复向量;维向量的概念,实向量、复向量;5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程,成绩成绩描述了学生的学业水平,把他的学业水平用一个描述了学生的学业水平,把他的学业水平用一个向量来表
8、示,这个向量是几维的?请大家再多举向量来表示,这个向量是几维的?请大家再多举几例几例,说明向量的实际应用说明向量的实际应用思考题思考题5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间如果我们还需要考察其它指标,如果我们还需要考察其它指标,比如平均成绩、总学分等,维数还将增加比如平均成绩、总学分等,维数还将增加思考题解答思考题解答答答36维的维的5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间第二节向量组的线性相关性第二节向量组的线性相关
9、性5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间向量组向量组 ,,称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量
10、空间向量空间向量空间 反之,由有限个向量所组成的向量组可以构反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间定义定义线性组合线性组合5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第
11、三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间定理定理1 1定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间从而从而5/24/2024线
12、性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量
13、空间向量空间向量空间注意注意定义定义二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念则称则称向量组向量组 是线性相关的,否则称它线性无关是线性相关的,否则称它线性无关5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间定理向量组定理向量组 (当(当 时)线性相关时)线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充
14、分性 设设 中有一个向量(比如中有一个向量(比如 )能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间故故因因 这这 个数不全为个数不全为0,故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关,线性相关,则有不全为则有不全为0的数使的数使 5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0,不妨设则有不妨设则有即
15、即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证证毕毕.5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明(略)(略)5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间解解例例5/
16、24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间解解例例分析分析5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间证证5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第三章第三章第三章第三章 向量空间向量空间向量空间向量空间5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第
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