§1多变元微积分.ppt

现在更一般地考虑映射(算子)不强调它的定义域和值域时,把它表示成设 .由于 ,因此 可以表示成此处 1.1 Gateaux 导数导数在一元函数的微分学中,我们知道,设则 在点 的导数 定义为现在把这个概念推广到映射R为赋范空间(参见第三章4).定义定义1 对给定 ,若极限存在,则说 在 沿方向 的Gateaux可微可微.并将(1.1)记作 ,即 .上式亦即 称为在 沿方向 的Gateaux导数导数.若 在 沿任何方向都是Gateaux可微的,则说 在 的Gateaux可微的,算子(映射)称为 在 的Gateaux导数导数 例例1 设 是单位坐标向量,则于是即就是说 在 对 的偏导数是 在 沿方向 的Gateaux导数.例例2 设 定义为则因此 存在的充分必要条件为 或 ,但 例例3 设 定义为则因此即算子 不具可加性.这例子说明在一点的Gateaux导数未必是线性算子.但我们有下面定理.在 的偏导数都存在.这例子说明偏导数存在不是Gateaux导数存在的充分条件.定理定理1 映射 在 的Gateaux导数 是齐次算子,即 (1.2)证明证明 若 ,据定义1,(1.2)式显然成立;若 ,则在(1.1)式中用 代替 ,便有因此(1.2)式亦成立.定理定理2 若 在 达到极大值或极小值,且 存在,则 (零算子).证明证明 若 使 ,则对足够接近于0的t有,有因此,若 ,则 ;若 ,则 .于是 在 不会取得极值.同理,若 ,则 在 不会取得极值.0)()(-+txftxfh 例例4 设 定义为则 .因此 .但 在 不连续.设 ,在 的导数为 ,则有先把它推广到映射 的情形.定义定义2 设 ,都是赋范空间.若存在线性算子 ,使得 (1.3)则称 为映射 在 的Frechet 导数导数,且说 在 是Frechet 可微可微的.算子 (1.5)称为 的Frechet 导数,它对于 ,确定了 ,是由 到 的一切线性算子构成的赋范线性空间.在 空间中,取定基底后,的元素可用 阶矩阵,例如 来表示.如在 中引进矩阵范数,如其中 ,分别为 和 中的范数,则 便是赋范空间.下面建立 Frechet 导数和Gateaux导数之间的关系.定理定理3 假设 在 为Frechet可微,则 在 必为Gateaux可微,且 .证明证明 设 存在,在(1.3)中以 代替 ,则有即有从而 (1.6)现在来讨论Frechet导数 的矩阵表示形式.设 都取自然基,在 为Frechet可微.于是线性算子 可以用一个 矩阵表示.记据(1.6)式有 (1.7)由于将它代入(1.7)式,则有即故 (1.8)上式右端是Jacobi矩阵矩阵.特别,若 在 为Frechet可微,则 (1.9)是 的梯度.若 在 为Frechet可微,且记 则 (1.10)反之,若(1.10)式右端极限存在,则 在 为Frechet可微.定理定理4 设 在 是Frechet可微,则 在 连续().证明证明 设 在 Frechet可微,据(1.3)式,对任给的 ,存在 ,使得 ,当 时,恒有从而因此由此可知,在 连续.设 都是赋范空间,在 的一个开子集 中为Frechet可微,则 ,.再设 是赋范空间,则可以考虑 在 Frechet导数,若存在线性算子 使得则称 为 在 的二阶二阶Frechet导数导数.因此 的二阶Frechet导数 是 的Frechet导数的Frechet导数.由于 是线性算子,因此 是由 到 的一切线性算子构成的线性空间.注意,是线性算子,因此 一般用 表示 的 阶Frechet导数 定义为 的 阶Frechet导数的Frechet导数 可见 例例5 设 存在二阶Frechet导数,则据二阶Frechet导数的定义和(1.6)式,以 代替 ,有于是而因此令 ,则其中 是 阶Hessian矩阵矩阵:例例6 设 存在二阶Frechet导数.今 则若 ,则据例5,有 (1.12)其中 分别为 的Hessian矩阵.设 为赋范空间,用分法 ,将0,1分成 个小区间其中记作和则 定义定义3 假设一个向量 ,若对任给 ,存在 ,使得对任意分法 ,当 时,有则称 为 在0,1上的Riemann积分积分,记作 ,即假设显然,若 都存在,则因此若 在0,1连续,从而 都连续,则积分 存在,且(1.13)式成立.定义定义4 假设 都是赋范空间.给定 ,若积分 (1.14)存在,则称它为 从 到 的Riemann积分积分.设 连续,则它在 连续,从而积分 存在.定理定理5 设 给定 .若存在 使得则 (1.15)此处假设上述积分都存在.证明证明 对区间0,1的任一分法 ,有由此立即可得到不等式(1.15).特别的有不等式:(1.16)应该注意在使用Frechet导数时,一般说来,微分形式中值定理并不成立.这就是说,假设 在 中Frechet可微，一般说来不存在 使得 (1.17)但若在中Frechet可微,则对任何 ,存在 使得事实上,给定 ,令则因此 设 在 为Frechet可微.令则 在 为Frechet可微,从而有因此当 时,一般地,.因此一般地不存在 使(1.17)式成立.设 是 中的一个集合.若对任意的向量 ,恒有其中 ,则称 为一个凸集凸集.下面的积分形式的中值定理.定理定理6 设 在凸集 中每一点都是都是Frechet可微的,且 在 上连续,则 (1.18)证明证明 令则考虑区间0,1的分法:即有则据导数定义,对任意给定的 ,存在自然数 ,使得当 时,有因此 另一方面,据定理假设,在 上连续,易知 在0,1上连续,从而积分 存在.因此存在自然数 ,使得因此有定理得证.定理定理7 设 在凸集 处处Frechet可微,且存在常数 ,使得 (1.19)则对一切 ,有 (1.20)证明证明 据定理条件(1.19)知 在 上连续.因此据定理6,有