DSP05-FIR-数字滤波器设计和实现-43.ppt

北北京京邮电大大学学信信息息与与通通信信工工程程学学院院多多媒媒体体技技术中中心心门爱东电信工程学院多媒体通信中心电信工程学院多媒体通信中心DSP05_FIRDSP05_FIR数字滤波器数字滤波器设计和实现设计和实现主题概述主题概述1-绪论绪论2-离散时间信号和离散时间系统离散时间信号和离散时间系统3-离散傅里叶变换及其快速计算方法离散傅里叶变换及其快速计算方法4-IIR 4-IIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现5FIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现 5.1)概述概述 5.2)线性相位线性相位 FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应 5.3)窗函数法窗函数法 5.4)频率取样法频率取样法 5.5)FIR数字滤波器的优化设计数字滤波器的优化设计 5.6)FIR数字滤波器的实现结构数字滤波器的实现结构 5.7)附录附录 5.8)本章小结本章小结6 数字信号处理中的有限字长效应数字信号处理中的有限字长效应25.1 概述：概述：IIR 和和 FIR 比较比较nIIR与与FIR性能特性比较性能特性比较IIR数字滤波器：数字滤波器：幅频特性较好；但相频特性较差；幅频特性较好；但相频特性较差；有稳定性问题；有稳定性问题；FIR数字滤波器：数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用 FFT 计算计算但阶次比但阶次比 IIR 滤波器要高得多滤波器要高得多35.1 概述：概述：IIR 和和 FIR 比较比较nIIR 与与 FIR 设计方法比较设计方法比较IIR DF：无无限限冲冲激激响响应应，H(Z)是是 z-1 的的有有理理分分式式，借借助助于于模模拟拟滤滤波波器器设设计计方方法法，阶阶数数低低（同同样样性性能能要要求求）。其其优优异异的的幅幅频频特特性性是是以非线性相位为代价的。以非线性相位为代价的。缺点：缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。FIR DF：有有限限冲冲激激响响应应，系系统统函函数数 H(Z)是是 z-1 的的多多项项式式，采采用用直直接接逼逼近要求的频率响应近要求的频率响应。设计灵活性强。设计灵活性强缺点：缺点：设计方法复杂；设计方法复杂；延迟大；延迟大；阶数高。阶数高。(运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元)FIR DF 的技术要求：的技术要求：通带频率通带频率p，阻带频率，阻带频率s 及最大衰减及最大衰减p，最小衰减，最小衰减s很重要的一条是保证很重要的一条是保证 H(z)具有具有线性相位线性相位。45.1 概述：概述：FIR DF 设计方法设计方法nFIR 数字滤波器数字滤波器设计设计 FIR 滤波器的任务：滤波器的任务：给给定定要要求求的的频频率率特特性性，按按一一定定的的最最佳佳逼逼近近准准则则，选选定定 h(n)及及阶数阶数 N。三种设计方法：三种设计方法：窗函数加权法窗函数加权法 频率采样法频率采样法 FIR DF 的的 CAD-切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法55.1 概述：概述：FIR DF 零极点零极点n FIR滤波器的波器的I/O 关系：关系：n FIR 滤波器的系波器的系统传递函数：函数：在在 Z 平面上有平面上有 N-1 个零点；在原点处有一个（个零点；在原点处有一个（N-1）阶极点，永远稳定。）阶极点，永远稳定。nFIR 系系统定定义：一个数字滤波器一个数字滤波器 DF 的输出的输出 y(n)，如果仅取决于如果仅取决于有限有限个过去的输入和现在的输入个过去的输入和现在的输入x(n),x(n-1),.,x(n-N+1)，则称之，则称之为为 FIR DF。nFIR 滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：6n FIR DF 的频率响应为：的频率响应为：FIR 滤滤波波器器的的最最重重要要特特点点是是能能实实现现线线性性相相位位。具具有有线性性相相移移特特性性的的 FIR 滤波波器器是是 FIR 滤波波器器中中应用用最最广广泛泛的的一种。一种。Hr()：振幅响：振幅响应，它是一个取，它是一个取值可正可可正可负的的实函数。函数。()=arg H(ejw)为数字数字滤波器的相位函数。波器的相位函数。5.1 概述：概述：FIR DF 频率响应频率响应7n信信号号通通过过线线性性滤滤波波器器时时，其其幅幅度度和和相相位位可可能能会会发发生生改改变变，滤滤波波器器增增益益|H()|和和相相位位()可可能能会会随随频频率率的的变变化化而而改变。改变。如：如：输入正弦信号输入正弦信号 Acos(n0)则：则：输出为输出为|H(0)|Acos(n0)，其中相移，其中相移(0)输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出信号比输入信号滞后的样点数输出信号比输入信号滞后的样点数 n(位移位移)可由下式求得可由下式求得:设：设：n00 滤波器在数字频率滤波器在数字频率0 处的相位延迟（位移）处的相位延迟（位移）由于相位延由于相位延迟 n 的不同，最的不同，最终产生了相位失真。生了相位失真。确保不确保不产生相位失真的生相位失真的办法：使法：使不同频率不同频率的信号通的信号通过滤波器波器时有有相同的延迟相同的延迟 n。5.1 概述：概述：相位失真相位失真8n 对对不同的频率不同的频率有有恒定的相移恒定的相移，会产生相位失真，会产生相位失真.如：方波如：方波 y(t)可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：若每个正弦波相移若每个正弦波相移/2 弧度：弧度：确保所有确保所有频率具有相同相位延率具有相同相位延迟的的简单方法简单方法：随着随着频率的率的变化而改化而改变相位，使相位，使滤波器具有波器具有线性相位特性，性相位特性，即使所有即使所有频率的相位延率的相位延迟保持恒保持恒定，定，这种方法可通种方法可通过使系使系统的相位函数的相位函数()为频率率的的线性函数来性函数来实现。5.1 概述：概述：相位失真相位失真可见相移之后正弦波之和已不再是方波。可见相移之后正弦波之和已不再是方波。9主题概述主题概述1-绪论绪论2-离散时间信号和离散时间系统离散时间信号和离散时间系统3-离散傅里叶变换及其快速计算方法离散傅里叶变换及其快速计算方法4-IIR 4-IIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现5FIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现 5.1)概述概述 5.2)线性相位线性相位 FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应 5.3)窗函数法窗函数法 5.4)频率取样法频率取样法 5.5)FIR数字滤波器的优化设计数字滤波器的优化设计 5.6)FIR数字滤波器的实现结构数字滤波器的实现结构 5.7)本章小结本章小结 5.8)附录附录6 数字信号处理中的有限字长效应数字信号处理中的有限字长效应105.2 线性相移线性相移FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应n三个内容：三个内容：约束条件约束条件恒延时滤波恒延时滤波偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立 奇对称：仅恒群延时成立奇对称：仅恒群延时成立 频率响应频率响应Type I：h(n)偶对称、偶对称、N 为奇数为奇数Type II：h(n)偶对称、偶对称、N 为偶数为偶数Type III：h(n)奇对称、奇对称、N 为奇数为奇数Type IV：h(n)奇对称、奇对称、N 为偶数为偶数 FIR DF 零极点分布零极点分布11相延时：相延时：群延时：群延时：5.2.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时滤波恒延时滤波n恒延时滤波恒延时滤波 滤波器的延时有相延时和群延时两种滤波器的延时有相延时和群延时两种令令恒延时滤波器：恒延时滤波器：p()或或g()是是不随不随变化的常量，变化的常量，这这时滤波器具有线性相位特性。时滤波器具有线性相位特性。12（负号是因为系统必有时延）（负号是因为系统必有时延）由于由于 FIR 滤波器的传递函数为滤波器的传递函数为:w(w)0故故:5.2.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时恒延时n恒相延时和恒群延时同时成立恒相延时和恒群延时同时成立要使要使p、g 都不随都不随 变化变化,()必须是一条过原点直线必须是一条过原点直线13于是于是:5.2.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时恒延时14可以证明，当可以证明，当 5.2.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒延时恒延时上式成立，此时上式成立，此时恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位滤波器的滤波器的必要条件必要条件是：是：不管不管 N 为偶数，还是为偶数，还是 N 为奇数，系统为奇数，系统冲激响应冲激响应 h(n)都关于中心点都关于中心点(N-1)/2 偶偶对称对称。当。当 N 为奇数时对称中心轴位于整数为奇数时对称中心轴位于整数样点上样点上;当当 N 为偶数时对称中心轴位于非为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。整数样点上。h(n)为偶对称，为偶对称，N 为偶数为偶数07nh(n)h(n)为偶对称，为偶对称，N 为奇数为奇数06nh(n)15于是有：于是有：5.2.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒群延时恒群延时n只要求恒群延时成立只要求恒群延时成立 若只要求群延时若只要求群延时g()为一常数，则为一常数，则相移特性为不过原点的直线。相移特性为不过原点的直线。0()故故16可以证明，当可以证明，当 上式成立，此时上式成立，此时故故5.2.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：约束条件：恒群延时恒群延时17FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：冲激响应冲激响应 h(n)对中心点对中心点(N-1)/2 成成奇对称奇对称。此时，无论。此时，无论 N 为奇为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有/2 的固定相移：的固定相移：因此，信号通过此类滤波器时不仅产生因此，信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1)/2 个取样点的延迟，还将个取样点的延迟，还将产生产生 90o 的相移，通常这类滤波器又被称为的相移，通常这类滤波器又被称为 90o 移相器，并具有很好的移相器，并具有很好的应用价值。应用价值。当当 N 为奇数奇数时，故，故07h(n)为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)06h(n)为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇数nh(n)5.2.1 线性相移线性相移FIR DF 约束条件：恒群延时约束条件：恒群延时18n 奇奇对称：称：()对对所有的所有的频频率成分都有一个率成分都有一个 90相移。相移。因此，因此，有四种有四种类型的型的 FIR DF：5.2.1 线性相移线性相移 FIR DF 约束条件约束条件n线性相位约束条件线性相位约束条件对对于于任任意意给给定定的的值值 N，当当 FIR 滤滤波波器器的的 h(n)相相对对其其中中心心点点(N-1)/2 是是对对称称时时，不不管管是是偶偶对对称称还还是是奇奇对对称称，此此时时滤滤波波器器的的相相移移特特性性是是线线性性的的，且群延时都是且群延时都是=(N-1)/2 。n偶对称偶对称：()为过原点的，斜率为为过原点的，斜率为-的一条直线的一条直线195.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type Inh(n)偶对称，偶对称，N 为奇数（恒相时延、恒群时延为奇数（恒相时延、恒群时延此此时时，由由于于 h(n)序序列列的的长长度度为为奇奇数数，因因此此滤滤波波器器的的频频率率响响应应函函数数可进行以下可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）拆分（前后对称部分、中心点）：h(n)为偶偶对称，称，N 为奇数奇数06nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到后得到:由对称条件由对称条件则则 H(ej)表示为：表示为：205.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type I令令 则上式为则上式为 21 由由此此可可以以看看出出其其线线性性相相位位特特性性。由由于于 cos(n)对对于于=0、2都都是偶对称，所以是偶对称，所以振度响应振度响应 Hr()对对=0、2也是偶对称也是偶对称。5.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type I其中其中振幅响应：振幅响应：相频响应：相频响应：N=9Hr(w)22nh(n)偶对称，偶对称，N 为偶数（恒相时延、恒群时延为偶数（恒相时延、恒群时延由由于于h(n)序序列列的的长长度度为为偶偶数数，因因此此滤滤波波器器的的频频率率响响应应函函数数可可拆拆分分成如下成如下两部分（前后对称部分，中心点处无值）两部分（前后对称部分，中心点处无值）：5.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IIh(n)为偶偶对称，称，N 为偶数偶数07nh(n)对上式的第二和式作变量替换（对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到后得到:由对称条件由对称条件则则 H(ej)表示为：表示为：235.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type II令令，则上式为：，则上式为：其中其中（注意（注意 n 从从1 开始，即开始，即 b(0)=0，或没有定义），或没有定义）245.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type II 与与所所设设计计的的 b(n)或或 h(n)无无关关，恒恒为为 0。这这种种类类型型（即即 h(n)偶偶对对称称，N为为偶数）偶数）不能用于高通或带阻滤波器不能用于高通或带阻滤波器。2）由由于于 cos(n-1/2)对对于于=是是奇奇对对称称，所所以以，Hr(w)对对=也也是是奇奇对称；对称；以以=0=0、22为偶对称为偶对称。振幅响应：振幅响应：相频响应：相频响应：N=8n 从从1开始开始Hr(w)注意：注意：1)在在 =处，有：，有：25nh(n)奇对称，奇对称，N 为奇数（恒群时延为奇数（恒群时延h(n)长度为奇数，拆分成前后两部分：长度为奇数，拆分成前后两部分：5.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件 h(n)=-h(N-1-n)，得，得:06h(n)为奇对称，为奇对称，N 为奇数为奇数nh(n)26Hr(w)5.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III，则上式为：，则上式为：其中其中令令振幅响应：振幅响应：相频响应：相频响应：n 从从1开始开始27与与 c(n)或或 h(n)的的值值无无关关，因因此此，这这种种类类型型的的滤滤波波器器不不适适用用于于低低通通、带带阻阻或或高高通通滤滤波波器器设设计计，而而且且，这这说说明明 jHr(w)是是纯纯虚虚数数，对对于于逼逼近近理理想想数数字字希希尔尔伯伯特特变变换换和和微微分分器器，它它是是很很有有用用的的。理理想想的的希希尔尔伯伯特特变变换换是是一一个个全全通通滤滤波波器器，它它对对输输入入信信号号产产生生 90 度度的的相相移移，它它频频繁繁用用于于通通信信系系统统中中的的调调制制。微微分分器器广广泛泛用用于于模模拟拟和和数字系统中对信号求导。数字系统中对信号求导。2）由由于于 sin(n)对对于于=0、2 都都是是奇奇对对称称，所所以以，Hr(w)以以=0、2为奇对称为奇对称。注意：注意：1)在在 =0 和和 处，有：，有：5.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type III285.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IVnh(n)奇对称，奇对称，N 为偶数（恒群时延为偶数（恒群时延07h(n)为奇对称，为奇对称，N 为偶数为偶数nh(n)其中其中295.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：Type IVHr(w)与与 d(n)或或 h(n)的的取取值值无无关关，因因此此传传输输函函数数 H(z)在在 z=1 处处为为零零点点。显显然然，这这种种类类型型不不能能用用于于实实现现低低通通滤滤波波器器。又又有有，所所以以这这类类滤滤波波器器适适用用于于设设计计希希尔尔伯伯特变换和微分器特变换和微分器。2）由由于于 sin(n-1/2)在在=处处偶偶对对称称，在在0、2 是是奇奇对对称称，所所以以，Hr(w)以以=偶对称，偶对称，0、2为奇对称为奇对称。注意：注意：1)在在 =0 处，有：，有：30一般形式：一般形式：偶对称：偶对称：奇对称：奇对称：（两个恒时延条件）（两个恒时延条件）（一个恒时延条件）（一个恒时延条件）(Hr()为为 的实函数的实函数)5.2.2 线性相移线性相移 FIR DF 频率响应：频率响应：小结小结31n 一般的一般的 FIR DF 的零、极点：的零、极点：在在z=0处，有一个（处，有一个（N-1）阶的极点，故滤波器稳定；阶的极点，故滤波器稳定；其其零零点点要要求求 f(z)=0，根根据据代代数数理理论论，它它为为 N-1阶阶多多项项式式，应应有有 N-1 个个根根，所所以以有有 N-1 个个零零点点。如如果果 h(n)为实数值，其根肯定是共轭对称的。为实数值，其根肯定是共轭对称的。5.2.3 线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布32令：令：m=N-1-n于是：于是：5.2.3 线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布n线性相移线性相移 FIR DF 的零极点：的零极点：如果如果 zi 是是 H(z)的零点，即的零点，即 H(zi)=0 则则 H(z-1)=0，即，即 zi-1 亦为亦为 H(z)的零点。的零点。33n上面提到上面提到 Zi 肯定是共轭的，故肯定是共轭的，故 Zi*亦必为其零点亦必为其零点n于是零点有：于是零点有：1-1Za1Za21/bb5.2.3 线性相移线性相移 FIR DF 零极点分布零极点分布总结总结:1)一般情况，一般情况，有四个零点，有四个零点：2)r=1，单位圆上的零点：，单位圆上的零点：(共轭对共轭对)3)位于实轴上的实数：位于实轴上的实数：b,1/b(实轴上的倒数对实轴上的倒数对)。4)zi=1：单零点：单零点 34主题概述主题概述1-绪论绪论2-离散时间信号和离散时间系统离散时间信号和离散时间系统3-离散傅里叶变换及其快速计算方法离散傅里叶变换及其快速计算方法4-IIR 4-IIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现5FIR 数字滤波器设计和实现数字滤波器设计和实现 5.1)概述概述 5.2)线性相位线性相位 FIR DF 约束条件和频率响应约束条件和频率响应 5.3)窗函数法窗函数法 5.4)频率取样法频率取样法 5.5)FIR数字滤波器的优化设计数字滤波器的优化设计 5.6)FIR数字滤波器的实现结构数字滤波器的实现结构 5.7)本章小结本章小结 5.8)附录附录6 数字信号处理中的有限字长效应数字信号处理中的有限字长效应35思路：思路：理想数字滤波器理想数字滤波器设计的设计的 FIR 数字滤波器数字滤波器要求：要求：线线性相位性相位性相位性相位尽可能降低逼近尽可能降低逼近尽可能降低逼近尽可能降低逼近误误差差差差5.3 FIR DF 窗口法（傅里叶级数法）窗口法（傅里叶级数法）hd(n)无限无限长，且非因果，且非因果 h(n)有限有限长，且因果，且因果 36n设设所所要要求求的的 DF 的的频频率率响响应应是是 Hd(ejw)，需需要要注注意意：它它可可能能是是低低通通、高高通通、带带通通和和带带阻阻 FIR DF，没没有有特特指指某某种种类类型的数字滤波器。型的数字滤波器。n不不管管是是何何种种 FIR DF，它它的的频频率率响响应应是是频频域域中中的的周周期期函函数数，周期为周期为 2，所以它可以展开为傅氏级数形式：，所以它可以展开为傅氏级数形式：5.3.1 窗口法：窗口法：基本原理基本原理 式中式中 hd(n)是傅里叶系数，也是是傅里叶系数，也是单位取位取样响响应序列。序列。由傅里叶由傅里叶级数理数理论可得：可得：37因此，所要求的因此，所要求的 DF 的系统函数便可求得：的系统函数便可求得：显显然然，Hd(z)是是非非因因果果的的，且且 hd(n)的的持持续续时时间间为为-+，物物理上不可实现。理上不可实现。n我们可以采用我们可以采用逼近逼近 Hd(ejw)的方法的方法 首先把首先把 hd(n)先截短为有限项先截短为有限项，把，把 hd(n)截为截为2M+1项，得：项，得：5.3.1 窗口法：窗口法：基本原理基本原理38然后把截短后的然后把截短后的 hd(n)右移，使之变成因果性的序列。右移，使之变成因果性的序列。令令 H(z)等于等于 H1(z)乘以乘以 z-M 得：得：令令 h(n)=hd(n-M),n=0,1,2,.,2M，则则 频率响应频率响应 z=ej5.3.1 窗口法：窗口法：基本原理基本原理n显然显然H(z)是是物理可实现物理可实现的的其其冲冲激激响响应应 h(n)的的持持续续时时间间也是也是有限有限的的选选择择 hd(n)=hd(N-1-n)，保证保证H(z)具有线性相位具有线性相位。39对对 hd(n)的截短必然产生误差，即以的截短必然产生误差，即以|H(ejw)|近似近似|Hd(ejw)|。定定义逼近逼近误差差为均方误差均方误差：而而 Hd(ejw)可以展开为：可以展开为：式中式中:5.3.2 窗口法：窗口法：性能分析性能分析n|H(ejw)|对对|Hd(ejw)|的逼近的逼近40 因为因为|H(ejw)|是对是对 hd(n)截短而产生的，假定：截短而产生的，假定：即当即当|n|M 时，时，An=0,Bn=0。所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：由于上式中每一项都是正的，由于上式中每一项都是正的，所以，只有当所以，只有当 最小。最小。5.3.2 窗口法：窗口法：性能分析性能分析41说明：说明：当用当用|H(ejw)|Hd(ejw)|时，要使，要使 2=min，|H(ejw)|的的截短后的单位取样响应截短后的单位取样响应 h(n)的系数必须等于所要求的幅频的系数必须等于所要求的幅频响应响应|Hd(ejw)|展成傅里叶级数的系数展成傅里叶级数的系数 hd(n)。有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近 其逼近误差为：其逼近误差为：截短的截短的长度度 M 越大，逼近越大，逼近误差差2 愈小愈小（因为（因为 hd(n)值愈小）。值愈小）。5.3.2 窗口法：窗口法：性能分析性能分析42n将将 hd(n)截短：截短：相当于将相当于将 hd(n)与一窗函数与一窗函数 wR(n)相乘，即相乘，即5.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应其中其中在一定意在一定意义上来看，窗函数决定了我上来看，窗函数决定了我们能能够“看到看到”多少个原来的冲激多少个原来的冲激响响应，“窗窗”这个用个用词的含的含义也就在此。也就在此。43n窗函数的频谱：窗函数的频谱：5.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应此此矩矩形形窗窗谱为一一钟形形偶偶函函数数，在在+2/N 之之间为其其主主瓣瓣，主主瓣瓣宽度度 =4/N，在在主主瓣瓣两两侧有有无无数数幅幅度度逐逐渐减小的旁瓣减小的旁瓣,见图所示。所示。2/N-2/N主瓣主瓣第第1个旁瓣个旁瓣第第2个旁瓣个旁瓣44n 截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：5.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应为便于分析，我便于分析，我们假定假定|Hd(ejw)|是理想低通是理想低通滤波器波器 LPF。式中式中积分等于分等于由由 c 到到 c 区区间内内 WNej(w-)下的面下的面积，随着，随着变化，化，窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区间间，使得此面，使得此面积发生生变化，化，也即也即|H(ejw)|的大小的大小产生波生波动。-wc0wc450WR()-c0cHd()0.50.50.08950.08950.04680.0468卷积卷积5.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应-wc0wc-Hd()46n现在分析几个特殊频率点的滤波器性能：现在分析几个特殊频率点的滤波器性能：=0 时：时：由由于于一一般般情情况况下下都都满满足足 c 2/N，因因此此，H(0)的的值值近近似似等等于于窗谱函数窗谱函数 WR(ejw)与与轴围出的轴围出的整个面积整个面积。5.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应0WR()-wc0wc-Hd()=c 时时：此此时窗窗谱主瓣一半在主瓣一半在积分区分区间内一半在区内一半在区间外，因此，窗外，因此，窗谱曲曲线围出的出的面面积，近似，近似为=0 时所围面积的一半所围面积的一半，即，即 。-wc0wcHd()w=wcWR(w-)475.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应=c-2/N 时，正肩峰时，正肩峰 此此时时窗窗谱谱主主瓣瓣全全部部处处于于积积分分区区间间内内，而而其其中中一一个个最最大大负负瓣瓣刚刚好好移移出出积积分分区区间间，这这时时得得到到最最大大值值，形形成成正正肩肩峰峰。之之后后，随随着着值值的的不不断断增增大大，H(ejw)的的值值迅迅速速减减小小，此此时进入滤波器过渡带。时进入滤波器过渡带。=c+2/N 时，负肩峰时，负肩峰 此此时时窗窗谱谱主主瓣瓣刚刚好好全全部部移移出出积积分分区区间间，而而其其中中一一个个最最大大负负瓣瓣仍仍全全部部处处于于区区间间内内，因因此此得得到到最最小小值值，形形成成负负肩肩峰峰。之之后后，随随着着值值的的继继续续增增大大，H(ejw)的的值值振振荡荡并并不不断断减减小小，形成滤波器阻带波动。，形成滤波器阻带波动。-wc0wcHd()WR(w-)-wc0wcHd()WR(w-)48 理想理想理想理想滤滤波器的不波器的不波器的不波器的不连续连续点演化点演化点演化点演化为过为过渡渡渡渡带带 通通通通带带与阻与阻与阻与阻带带内出内出内出内出现现起伏起伏起伏起伏 Gibbs Gibbs 现现象象象象过渡渡带：正负肩峰之间的频带正负肩峰之间的频带。其。其宽度等于窗口度等于窗口频谱的主瓣的主瓣宽度。度。对于矩形窗于矩形窗 WR(ejw),此此宽度度为 4/N。肩峰及波肩峰及波动：这是由窗函数的旁瓣引起的是由窗函数的旁瓣引起的。旁旁瓣瓣越越多多，波波动越越快快、越越多多。相相对值越越大大，波波动越越厉害害，肩肩峰峰越越强。肩肩峰峰和和波波动与与所所选窗窗函函数数的的形形状状有有关关，要要改改善善阻阻带的的衰衰减减特特性性只只能能通通过改改变窗窗函函数数的形状。的形状。在在对 hd(n)截截短短时，由由于于窗窗函函数数的的频谱具具有有旁旁瓣瓣，这些些旁旁瓣瓣在在与与 Hd(ejw)卷卷积时产生了通生了通带内与阻内与阻带内的波内的波动，称，称为吉布斯现象吉布斯现象。长度度 N 的的改改变只只能能改改变 坐坐标的的比比例例及及窗窗函函数数 WR(ejw)的的绝对大大小小，但但不不能能改改变肩肩峰峰和和波波动的的相相对大大小小（因因为不不能能改改变窗窗函函数数主主瓣瓣和和旁旁瓣瓣的的相相对比比例例，波波动是是由由旁旁瓣瓣引引起起的的），即即增增加加 N，只只能能使使通通、阻阻带内内振振荡加加快快，过渡渡带减小，但相减小，但相对振振荡幅度却不减小。幅度却不减小。n 加窗处理对理想矩形频率响应的影响：加窗处理对理想矩形频率响应的影响：结论：结论：过渡带宽度与窗的宽度过渡带宽度与窗的宽度 N 有关，随之增减而变化。有关，随之增减而变化。阻带最小衰减（与旁瓣的阻带最小衰减（与旁瓣的相对幅度相对幅度有关）只由窗函数决定，与有关）只由窗函数决定，与 N 无关。无关。5.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应49GibbsGibbs现象；现象；现象；现象；5.3.2 窗口法：窗口法：Gibbs 效应效应50n设设计计FIR DF时时，窗窗函函数数不不仅仅可可以以影影响响过过渡渡带带宽宽度度，还还能能影响肩峰和波动的大小影响肩峰和波动的大小，因此，选择窗函数应使其频谱：，因此，选择窗函数应使其频谱：主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡。主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡。旁旁瓣瓣相相对对于于主主瓣瓣越越小小越越好好，这这样样可可使使肩肩峰峰和和波波动动减减小小，即即能能量量尽尽可能集中于主瓣内。可能集中于主瓣内。对对于于窗窗函函数数，这这两两个个要要求求是是相相互互矛矛盾盾的的，要要根根据据需需要要进进行行折折衷衷的的选择，选择，5.3.3 窗口法：窗口法：常用窗函数常用窗函数w020lg|W(w)/W(0)|B3dBAD(dB/Oct)n为为了了定定量量地地比比较较各各种种窗窗函函数数的的性性能能，给出三个频域指标：给出三个频域指标：3db 带带宽宽 B，单单位位为为 （最最大大可可能能的频率分辨力）的频率分辨力）最最大大旁旁瓣瓣峰峰值值 A(dB)，A 越越小小，由由旁旁瓣引起的谱失真越小瓣引起的谱失真越小旁瓣谱峰渐进衰减速度旁瓣谱峰渐进衰减速度 D（dB/oct）一一个个好好的的窗窗口口，应应该该有有最最小小的的 B、A 及最大的及最大的 D。51n以下介绍的窗函数以下介绍的窗函数均为偶对称函数，都具有线性相位特性。均为偶对称函数，都具有线性相位特性。设设窗窗的的宽宽度度为为N，窗窗函函数数的的对对称称中中心心点点在在(N-1)/2处处。因因此此，均均为因果函数。为因果函数。n矩形窗矩形窗最简单的窗函数，从阻带衰减的角度看，其性能最差。最简单的窗函数，从阻带衰减的角度看，其性能最差。它的频率响应函数为：它的频率响应函数为：5.3.3 窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_矩形窗矩形窗振幅响振幅响应52为为了了对对过过渡渡带带和和阻阻带带衰衰减减进进行行精精确确分分析析，对对窗窗振振幅幅响响应应进进行行连连续续积积分分（或累积振幅响应），即（或累积振幅响应），即矩形窗函数矩形窗函数 w(n)以及它的振幅响应、累积振幅响应如下图所示。以及它的振幅响应、累积振幅响应如下图所示。5.3.3 窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_矩形窗矩形窗n性能指标性能指标3dB 带宽带宽 B=0.89最大旁瓣峰值最大旁瓣峰值 A=-13dB旁瓣谱峰渐进衰减速度旁瓣谱峰渐进衰减速度 D=-6dB/oct在在 Matlab 中，实现矩形窗中，实现矩形窗的函数为的函数为 w=boxcar(n)。53振幅响应振幅响应在在 =1 处具有第一个零点：处具有第一个零点：因而主瓣的宽度为因而主瓣的宽度为 2，所以过渡带宽也近似为，所以过渡带宽也近似为 2。大约在大约在 w=3/N 处，出现第一个旁瓣（即主旁瓣），其幅度为：处，出现第一个旁瓣（即主旁瓣），其幅度为：将它与主瓣振幅将它与主瓣振幅 N 比较，则最大旁瓣峰值比较，则最大旁瓣峰值A(dB)为为 A=-13db。累积振幅响应累积振幅响应第一个旁瓣为第一个旁瓣为 21dB，这个这个 21dB 的阻带衰减与窗长度的阻带衰减与窗长度 N 无关无关。根据最小阻带衰减，可以根据最小阻带衰减，可以精确地计算出过渡带宽精确地计算出过渡带宽为：为：它大约是近似带宽的一半。它大约是近似带宽的一半。5.3.3 窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_矩形窗矩形窗54n三角窗（或三角窗（或 巴特利特巴特利特 Bartlett 窗）窗）由由于于矩矩形形窗窗从从 0 到到 1（或或 1 到到 0）有有一一个个突突变变的的过过渡渡带带，这这造造成成了了吉吉布布斯斯现现象象。Bartlett 提提出出了了一一种种逐逐渐渐过过渡渡的的三三角角窗窗形形式式，它是两个矩形窗的卷积。它是两个矩形窗的卷积。B=1.28,A=-27dB,D=-12dB/oct，近近似似过过渡渡带带宽宽 8/N，精精确确过过渡渡带带宽宽 6.1/N，最最小小阻阻带带衰衰减减 25dB。与与矩矩形形窗窗来来比比较，阻带衰减性能有所改善，但代价是过渡带的加宽。较，阻带衰减性能有所改善，但代价是过渡带的加宽。5.3.3 窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_三角窗三角窗55n在在 Matlab 中中，函函数数 bartlett(n)和和 triang(n)用用来来计计算算相相似似的的三三角角窗窗，但但它它们们有有两两个个重重要要的的区区别别：bartlett 函函数数返返回回的的序序列列两两端端总总是是 0，因因此此，对对于于奇奇数数 n，语语句句 bartlett(n+2)的的中中间间部部分分等等于于 triang(n)；对对于于偶偶数数 n，bartlett 仍仍然然是两个矩形序列的卷积，但是两个矩形序列的卷积，但 n 为偶数时的三角窗没有标准定义。为偶数时的三角窗没有标准定义。5.3.3 窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_三角窗三角窗56n余弦窗余弦窗B=1.2,A=-23dB,D=-12dB/oct。近近似似过过渡渡带带宽宽 8/N，精确过渡带宽精确过渡带宽6.5/N，最小阻带衰减，最小阻带衰减 34dB。5.3.3 窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_余弦窗余弦窗或或其中其中频率响率响应575.3.3 窗口法：窗口法：基本窗函数基本窗函数_余弦窗余弦窗58n升余弦窗函数升余弦窗函数汉汉宁宁窗窗、汉汉明明窗窗、布布莱莱克克曼曼窗窗都都是是升升余余弦弦窗窗的的特特例例。它它们们都都是是频频率率为为 0 2/(N-1)和和 4/(N-1)的的余余弦弦序序列列的的组组合合。升升余余弦弦窗窗的频率特性比矩形窗有很大改善。的频率特性比矩形窗有很大改善。其中其中 A、B、C 为常数。为常数。当当 A=0.5，B=0.5，C=0 时，为时，为汉宁汉宁(Hanning)窗窗。Matlab 中，中，w=hanning(n)当当 A=0.54，B=0.46，C=0 时，为时，为汉明汉明(Hamming)窗窗。Matlab 中，中，w=hamming(n)当当 A=0.42，B=0.5，C=0.08 时，为时，为布莱克曼窗布莱克曼窗。Matlab 中，中，w=blackman(n)5.3.3 窗口法：窗口法：升余弦窗函数升余弦窗函数595.3.3 窗口法：窗口法：升余弦窗函数升余弦窗函数60W()0.5u()0.25u(-2/(N-1)0.25u(+2/(N-1)nHanning 窗（升余弦窗）窗（升余弦窗）5.3.3 窗口法：窗口法：升余弦窗函数升余弦窗函数_汉宁窗汉宁窗B=1.44,A=-32db,D=-18db/oct，近近似似过渡渡带宽 8/N，精精确确过过渡渡带带宽宽 6.2/N，最最小小阻阻带带衰衰减减 44dB。与与矩矩形形窗窗来来比比，最最小小阻阻带衰衰减减性性能能明明显提提高高，但但过渡渡带也也明明显增大。增大。615.3.3 窗口法：窗口法：升余弦窗函数升余弦窗函数_汉宁窗汉宁窗62nHamming 窗（改进的升余弦窗）窗（改进的升余弦窗）5.3.3 窗口法：窗口法：升余弦窗函数升余弦窗函数_汉明窗汉明窗B=1.3,A=-43dB,D=-6dB/oct，近近似似过渡渡带宽 8/N，精精确确过过渡渡带带宽宽6.6/N，最最小小阻阻带带衰衰减减 53dB。通通过这一一系系数数调整整，使使能能量量的的 99.963%都都集集中中在在了了窗窗谱的的主瓣内。主瓣内。635.3.3 窗口法：窗口法：升余弦窗函数升余弦窗函数_汉明窗汉明窗64nBlackman 窗（二阶升余弦窗）窗（二阶升余弦窗）5.3.3 窗口法：窗口