自动控制原理第五章频率响应法胡寿松第六版.ppt

第五章第五章 频率响应法频率响应法 5.1 频频 率率 特特 性性5.2 典型环节和开环频率特性典型环节和开环频率特性5.3 奈奎斯特判据奈奎斯特判据5.4 稳稳 定定 裕裕 度度5.5 闭环频率特性闭环频率特性 End End A()称称幅频特性幅频特性，()称称相频特性相频特性。二者统称为频率特性。二者统称为频率特性。p 基本概念基本概念（物理意义物理意义）5.1 频率特性频率特性5.25.35.45.5频率特性的概念频率特性的概念(P187)设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1=0.5=1=2=2.5=440不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。输入输入输出输出输入输入输出输出决然不同的输入，决然不同的输入，为什么为什么尽会得到如此相似的输出尽会得到如此相似的输出!？v数学本质数学本质 R1C1i1(t)在一般情况下在一般情况下,传递函数可以写成如下形式传递函数可以写成如下形式:式中式中:s s1 1,s s2 2,s sn n是是G G(s s)的极点的极点,它们可能是实数它们可能是实数,也也可能是共轭复数可能是共轭复数.对于稳定系统来说对于稳定系统来说,它们都具有负实部它们都具有负实部.于是于是,系统输出信号的拉氏变换为系统输出信号的拉氏变换为:上式可以分解成如下形式的部分分式上式可以分解成如下形式的部分分式:式中式中:a a1 1,a a2 2,a an n待定系数（留数）待定系数（留数）;b b,待定的共轭复数待定的共轭复数.求拉氏反变换求拉氏反变换,便得到系统的输出信号便得到系统的输出信号y y(t t),),即系统对正即系统对正弦输入的响应是弦输入的响应是:对于稳定系统来说对于稳定系统来说,由于极点由于极点s s1 1,s s2 2,s sn n都具有负实部都具有负实部,因此因此,当当t t时时,其相应的指数项其相应的指数项 都将衰减为零都将衰减为零.因此因此,系统的稳态输出为系统的稳态输出为:式中的待定系数式中的待定系数b b,可按求留数的方法求得可按求留数的方法求得:式中式中:由于由于G G(j j)是一个复数是一个复数,它可以表示为它可以表示为:同理同理,G G(-(-j j)也可以表示为也可以表示为:有有:式中式中:稳态输出的幅值稳态输出的幅值,是是 的函数的函数.由此可知由此可知:线性定常系统对正弦输入信号线性定常系统对正弦输入信号Asin t的稳态输出的稳态输出Ysin(t+),),仍是一个正弦信号仍是一个正弦信号.其特点是其特点是:.频率与输入信号相同频率与输入信号相同;.相移为相移为 =G(j).).振幅振幅Y和相移和相移 都是输入信号频率都是输入信号频率 的函数的函数,对于确定的对于确定的 值来值来说说,振幅振幅Y和相移和相移 都将是常量都将是常量.振幅振幅Y为为输入振幅输入振幅A的的 倍倍;a)函数图函数图b)向量图向量图AYAYx(t)ys(t)ys(t)tx(t)0 输入、输出关系也可以用函数图和向量图表示如下输入、输出关系也可以用函数图和向量图表示如下:正弦输出对正弦输入的幅值比正弦输出对正弦输入的幅值比幅频特性幅频特性正弦输出对正弦输入的相移正弦输出对正弦输入的相移相频特性相频特性频率特性的定义频率特性的定义ReIm0 幅频特性幅频特性 及相频特性及相频特性G(j)统称为频率特性统称为频率特性,记记为为:这就是说这就是说,G(j)是在是在s=j 特定情况下的传递函数特定情况下的传递函数.通过它通过它来描述系统的性能来描述系统的性能,与用传递函数描述时具有同样的效果与用传递函数描述时具有同样的效果,即即两者所包含的系统动态特性的信息完全相同两者所包含的系统动态特性的信息完全相同.在实际计算时在实际计算时,令传递函数令传递函数G(s)中的中的s=j,即可得到频率特即可得到频率特性性G(j).).即即 理论上可将频率特性的概念推广的不稳定系统理论上可将频率特性的概念推广的不稳定系统.但是但是,系统不稳定时系统不稳定时,瞬态分量不可能消失瞬态分量不可能消失,它和稳态分量始终同它和稳态分量始终同时存在时存在.所以所以,不稳定系统的频率特性是观察不到的不稳定系统的频率特性是观察不到的.幅相曲线：幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率一个向量。当频率从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。v常用于描述频率特性的几种曲线常用于描述频率特性的几种曲线 RC网络为例网络为例,传递函数为传递函数为频率特性为频率特性为 幅频特性曲线：幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图特性曲线图。db110 10010000204060 110 10010000/2-/2-Bode图的坐标系图的坐标系 对数频率特性曲线的横坐标是对数频率特性曲线的横坐标是频率频率 ,并按对数分度并按对数分度(lg omega),单单位是位是rad/s.对数幅频曲线的纵坐标对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值表示对数幅频特性的函数值,线性线性分度分度,单位是单位是dB.此坐标系称为此坐标系称为半半对数坐标系对数坐标系。频率特性。频率特性G(j )的对的对数幅频特性定义如下数幅频特性定义如下对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值,线性分度线性分度,单单位是位是(0)或或(弧度弧度).时的对数时的对数幅频和对数相频曲线幅频和对数相频曲线.对数幅相曲线对数幅相曲线（又称（又称尼柯尔斯曲线尼柯尔斯曲线）：其特点是纵、横坐标都）：其特点是纵、横坐标都线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。v典型环节典型环节 5.2 典型环节和开环频率特性典型环节和开环频率特性5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制 5.15.35.45.55.2.35.2.2 比例环节比例环节 惯性环节惯性环节 一阶微分环节一阶微分环节 积分环节积分环节 微分环节微分环节 振荡环节振荡环节 二阶微分环节二阶微分环节比例环节的频率特性是比例环节的频率特性是G(j)=K,幅相曲线如下左图。幅相曲线如下左图。k j 0 图图5.3 比例环节比例环节K的幅相曲线的幅相曲线 比例环节比例环节0 0 20lgK (dB)(o)1 1 10 10 图图5.4 比例环节的比例环节的 对数对数 频率特性曲线频率特性曲线 比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：L()=20lg|G(j)|=20lgK 和和()=0 相应曲线如上右图。相应曲线如上右图。积分环节的对数幅频特性是积分环节的对数幅频特性是 L()=-20lg,而相频特性是而相频特性是()=-90o。直线和零分贝线交于直线和零分贝线交于 =1 地方地方.积分环节积分环节图图5.6 1/j和和j的对数坐标图的对数坐标图 j 1/j 0.1 (dB)j 1 10 0 20-20 20dB/dec -20dB/dec 1/j (o)90 -90 0 0.1 1 10 j 1/j j=0 0图图5.7 微分环节幅相曲线微分环节幅相曲线0 图图5.5 积分环节的幅相曲线积分环节的幅相曲线 j 微分环节微分环节 G(s)=s和和G(j)=j=/2 L()=20lg,而相频特性是而相频特性是()=90o。1/T,L()-20lgT =-20(lg-lg1/T)一阶微分环节一阶微分环节 G(s)=Ts+1 G(s)=1/(Ts+1),惯性环节惯性环节 0.1 (dB)1 10 0 20-20 20dB/dec -20dB/dec 1/T 图图5.9 1+j T和和1/(1+j T)的对数坐标图的对数坐标图 (o)90 -90 0 0.1 1 10 -1/T j 0(a)j+1/T 图图5.8 惯性环节惯性环节 极点极点零点图零点图(a)和幅相曲线和幅相曲线(b)=0 j0=-45o =1/T (b)K 1/T,L()20lgT =20(lg-lg1/T)频率频率omega=1/T为交接频率为交接频率振荡环节振荡环节 j -1/T 0 (a)j+1/T =0 j 0 1(b)图图5.10 一阶微分环节的一阶微分环节的 极点极点零点图零点图(a)和幅相曲线和幅相曲线(b)振荡环节的频率特性为振荡环节的频率特性为式中式中 为阻尼振荡频率为阻尼振荡频率.极点极点-零点分布如图所示零点分布如图所示.幅频特性和相频特性的图解计算式分别为幅频特性和相频特性的图解计算式分别为因而因而G(s)=1/(s/n)2+2s/n+1图图5.11 振荡环节的幅相曲线振荡环节的幅相曲线故振荡环节的福相曲故振荡环节的福相曲线从实轴上线从实轴上(1,j0)开开始始,最后在第三象限最后在第三象限和负实轴相切并交于和负实轴相切并交于原点原点,如图所示如图所示.幅频特性和相频特性的解析式分别为幅频特性和相频特性的解析式分别为根据上式可计算频率特性根据上式可计算频率特性,并绘制福相曲线并绘制福相曲线 ,如上图所示如上图所示.图上以图上以无因次频率无因次频率 为参变量为参变量.由图可见由图可见,无论无论 多大多大,u=1(即即 )时时,相角都等于相角都等于-900;幅频特性的最大值随幅频特性的最大值随 减小而增大减小而增大,其值可能其值可能大于大于 1.幅频特性表达式幅频特性表达式(5-34)也即也即 与与 u 的关系曲线见下图的关系曲线见下图.由曲线可见由曲线可见,小于某个值时小于某个值时,幅频幅频特性出现谐振峰值特性出现谐振峰值,峰值对应的频率称为谐振频率峰值对应的频率称为谐振频率,叫做无叫做无因次谐振频率因次谐振频率,ur 随随 减小而增大减小而增大,最终趋于最终趋于 1.将上式将上式 对对 u 求导求导并令它等于零并令它等于零,可得可得将方程将方程(5-37)代入代入(5-36),求得谐振峰值为求得谐振峰值为 曲线如下图左所示曲线如下图左所示,曲线见下图右曲线见下图右.无因次阻尼振荡频率无因次阻尼振荡频率 曲线如图所示曲线如图所示.将时域和频域间的关系联系了起来将时域和频域间的关系联系了起来.由图可见由图可见,Mr和和 h(tp)密切相关密切相关:Mr大大,h(tp)就大就大;反之亦然反之亦然.因而因而Mr直接表直接表征了超调量的大小征了超调量的大小,故称之为振荡性指标故称之为振荡性指标.图表明了谐振频图表明了谐振频率率 和阻尼振荡频率和阻尼振荡频率 d 间的关系间的关系.为了将振荡环节的幅频特性和单位阶跃响应联系起来为了将振荡环节的幅频特性和单位阶跃响应联系起来,欠阻欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线重画在图上尼二阶系统的单位阶跃响应曲线重画在图上,与单位阶跃响应曲与单位阶跃响应曲线峰值线峰值 间的关系如图所示间的关系如图所示.n时时L()-40lg/n=-40(lg-lg n)10 1 10 图图5.12 振荡环节的对数坐标图振荡环节的对数坐标图 /n 0.1 (dB)1 0 40-20 40dB/dec -40dB/dec (o)180 -180 0 0.1 /n 20 当当 时时因此低频渐近线是零分贝线因此低频渐近线是零分贝线.而当而当 时时这是一条斜率为这是一条斜率为-40dB/dec 的直线的直线,和零分贝线交于和零分贝线交于 的地的地方方.故振荡环节的交接频率为故振荡环节的交接频率为 n.以上得到的两条渐近线都与阻尼比以上得到的两条渐近线都与阻尼比 无关无关.实际上实际上,幅频幅频特性在谐振频率处有峰值特性在谐振频率处有峰值,峰值大小取决于阻尼比峰值大小取决于阻尼比,这一特点这一特点也必然反映在对数幅频曲线上也必然反映在对数幅频曲线上.用渐近线表示对数幅频曲线时存在的误差大小用渐近线表示对数幅频曲线时存在的误差大小,不仅和不仅和 而而且也和且也和 有关有关.误差计算公式是误差计算公式是以及以及准确值准确值 、近似值、近似值 和误差值和误差值 三者关系如下三者关系如下:根据公式绘制的误差曲线如图所示根据公式绘制的误差曲线如图所示.此曲线可用来修正渐近此曲线可用来修正渐近特性特性,公式是公式是不稳定环节不稳定环节 不稳定环节和它对应稳定环节的频率特性有密切的关系不稳定环节和它对应稳定环节的频率特性有密切的关系.在系统的传递函数中在系统的传递函数中,也可能出现也可能出现 两种因子两种因子,尽管这并不表明系统不稳定尽管这并不表明系统不稳定,但仍可分别称为不稳定但仍可分别称为不稳定一阶微分环节和不稳定二阶微分环节一阶微分环节和不稳定二阶微分环节.系统如果不稳定系统如果不稳定,它的特征方程必定有正实部的根它的特征方程必定有正实部的根,传递函数传递函数相应出现相应出现 因子因子,分别称为分别称为不稳定惯性环节和不稳定振荡环节不稳定惯性环节和不稳定振荡环节.极点极点-零点分布图如图所示零点分布图如图所示.由图可见由图可见也即也即 从零变到无穷时从零变到无穷时,幅值从幅值从1变到零变到零,而相角从而相角从-1800 变到变到-900.不稳定惯性环节的传递函数不稳定惯性环节的传递函数频率特性频率特性很明显很明显,不稳定惯性环节和惯性环节的幅频特性相同不稳定惯性环节和惯性环节的幅频特性相同,而相频而相频特性曲线却对称于特性曲线却对称于-900水平线水平线,如图所示如图所示.不稳定惯性环节的不稳定惯性环节的幅相曲线是以幅相曲线是以(-0.5,j0)为圆心为圆心,0.5为半径为半径,位于第三象限的半位于第三象限的半圆圆,如图所示如图所示.对数频率特性曲线对数频率特性曲线,如图所示如图所示.由频率特性表达式可知由频率特性表达式可知,幅频和相频特性分别为幅频和相频特性分别为 不稳定振荡环节和其对应环节的幅频特性相同不稳定振荡环节和其对应环节的幅频特性相同,而相频而相频特性曲线对称于特性曲线对称于-1800 线线.其幅相曲线和对数频率特性曲线如其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示图所示.不稳定一阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同不稳定一阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同,而而相频特性曲线对称于相频特性曲线对称于 900 线线.其幅相曲线和对数频率特性曲其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示线如图所示.不稳定二阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同不稳定二阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同,而而相频特性曲线对称于相频特性曲线对称于 1800 线线.其幅相曲线和对数频率特性曲其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示线如图所示.延迟环节延迟环节 输出量毫不失真地复现输入量的变化输出量毫不失真地复现输入量的变化,但时间上存在恒定延但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节迟的环节称为延迟环节,其输入其输入-输出关系为输出关系为式中式中 是延迟环节的延迟时间是延迟环节的延迟时间.应用拉氏变换位移定理可得应用拉氏变换位移定理可得延迟环节的传递函数延迟环节的传递函数频率特性频率特性幅相曲线是个圆幅相曲线是个圆,圆心在原点圆心在原点,半径为半径为 1，如图所示，如图所示.延迟环节的对数幅频特性恒为延迟环节的对数幅频特性恒为 0dB,对数频率特性曲线如图对数频率特性曲线如图所示所示.由图可见由图可见,越大越大,相角迟后越大相角迟后越大.幅频特性幅频特性相频特性相频特性且有且有5.2.2 开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制5.2.15.2.3开环幅相曲线的绘制例1(P198)开环幅相曲线的绘制例2(P198)开环幅相曲线的绘制例3(P198)开环幅相曲线的绘制例4(P198)开环幅相曲线的绘制例5(P204)a,b=pade(5,6),n=conv(8,a);d=conv(1 4 3,b);nyquist(n,d)延迟环节取不同的k(补充补充)a,b=pade(5,k),n=conv(8,a);d=conv(1 4 3,b);nyquist(n,d)解解：求交点求交点：曲线如图所示：曲线如图所示：-25绘制绘制幅相曲线的例题幅相曲线的例题6(P198)无实数解，所以与虚轴无交无实数解，所以与虚轴无交点点MATLAB绘制的图绘制的图020v根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线例例5.1 系统开环传函为系统开环传函为 ,试绘制系统的试绘制系统的Bode曲线。曲线。一般的近似对数幅频曲线一般的近似对数幅频曲线有如下特点：有如下特点：1.最左端直线最左端直线斜率为斜率为-20dB/dec,这里这里是积分环节数。是积分环节数。2.在在等于等于1时时，最左端直线或其延，最左端直线或其延长线长线(当当w1的频率范围内有交接频率的频率范围内有交接频率时时)的分贝值是的分贝值是20lgK，最左端直线，最左端直线(或或延长线延长线)与零分贝线的交点频率，数值与零分贝线的交点频率，数值上等于上等于K1/。3.在在交接频率交接频率处，曲线斜率发生改处，曲线斜率发生改变变,改变多少取决于典型环节种类改变多少取决于典型环节种类.在在惯性环节后惯性环节后,斜率减少斜率减少20dB/dec;而在而在振荡环节后振荡环节后,斜率减少斜率减少40dB/dec解：解：G(s)=1s-20-20-20 G(s)=10s1 G(s)=5s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-40积分环节积分环节L()(图图5-11)G(s)=s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100+20+20+20微分微分环节环节L()(图图5-11)G(s)=2s G(s)=0.1s对数曲线求斜率对数曲线求斜率(补充补充)L()dB0dBabLaLb斜率斜率=对边对边邻边邻边=La-Lb斜率例题斜率例题(补充补充)求截止频率求截止频率cc=0.4L()dB0dB-7.96-21.94c15斜率斜率=-7.96lg1=1时时,则有则有令令=1得得：(-21.94)lg5L(1)=-7.96=20lg k,k=0.4惯性环节惯性环节对数幅频对数幅频渐近渐近曲线的曲线的分析分析(图图5-11)水平线水平线斜率为斜率为-20过过(1/T,0)的斜线的斜线 G(s)=10.5s+1100 G(s)=s+5惯性环节惯性环节L()(图图5-11)-20-2026dB4段直线方程怎么求得段直线方程怎么求得？100.2210.10dB2040-40-20201000o-30o-45o-60o-90o一阶微分一阶微分L()(图图5-11)+20+20100.2210.10dB2040-40-20201000o+30o+45o+60o+90o )(振荡环节振荡环节L()渐近线分析渐近线分析(P195)或或或或注意：注意：要在要在n或或r处修正处修正!这项总是去掉的！这项总是去掉的！振荡环节振荡环节L()(P195)100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-40振荡环节振荡环节再再分析分析(P195)0dB20lgk-40?峰值-渐近线值夸张图形夸张图形(补充补充)0dB-400dB-400dB-400dB-40仿真(补补充充)二阶微分二阶微分(图图5-11)j01幅相曲线幅相曲线对数幅频渐近曲线对数幅频渐近曲线+400dB峰值-渐近线值100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-20-40绘制绘制的的L()曲线曲线转折频率转折频率：0.5 2 30斜率斜率：-40 -20 -40-20-40开环的L曲线绘制(P202)解解：对数相频：对数相频：相频特性的画法为：起始角，终止角，转折频率处的角相频特性的画法为：起始角，终止角，转折频率处的角。例题例题(补充补充)-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o对数幅频对数幅频：低频段低频段：20/s -20转折频率转折频率：1 5 10斜率斜率:-40 0 -40修正值修正值：频率频率：低频段低频段：20/s -20转折频率转折频率：1 5 10斜率斜率:-40 0 -40-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o-20-40-401510绘制曲线绘制曲线0dB20dB-20dB-90o-120o-150o-180o由由L()求求G(s)例例1(P205)0L()dB-20203+20-200L()-20-40100200-40-200114200-202.5+40-28由由L()求求G(s)例例2(P205)10dB40-1.94-40-20824.08-20-40由由L()求求G(s)例例3(P205)30509.490.780.147.2L()dB0dB-20-40-40-20延迟环节求延迟环节求k k(补充补充)已知延迟系统开环传递函数为已知延迟系统开环传递函数为试根据奈氏判据确定试根据奈氏判据确定k使闭环系统稳定。使闭环系统稳定。k2延迟环节求(补充补充)已知延迟系统开环传递函数为已知延迟系统开环传递函数为试根据奈氏判据确定系统闭环稳定时，试根据奈氏判据确定系统闭环稳定时，延迟时间延迟时间值的范围。值的范围。延迟系统的仿真(补充补充)第二种方法：第二种方法：第一种方法是用第一种方法是用simulink（延迟时间为（延迟时间为0.50.5秒）秒）编程求得阶跃响应：编程求得阶跃响应：Plot(t,y)pade(T,m)可将可将e-Ts展开为分子分母均为展开为分子分母均为m m阶的多项式阶的多项式a,b=pade(0.5,3)取取m=3，也可取，也可取4n=conv(2,a);d=conv(1 1,b);n1,d1=cloop(n,d);step(n1,d1)开环分子开环分子开环分母开环分母形成闭环形成闭环已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。试绘出开环对数渐近幅频曲线。例例5.25.2.3 最小相角系统和非最小相角系统的区别最小相角系统和非最小相角系统的区别 最小相角最小相角(相位相位)系统的零点、极点均在系统的零点、极点均在s平面的左半平面，在平面的左半平面，在s平平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。20-20 L(dB)10 L(dB)50-20-40100L(dB)-40-40-201c2幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同。最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数数幅频曲线就能写出系统的传递函数。5.2.15.2.2 已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。环传递函数。例例5.3设复变函数为设复变函数为一、一、映射定理映射定理则对应与则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点，平面下除了有限的奇点之外的任意一点，F（S）为解析函数，即为单值、连续的函数。）为解析函数，即为单值、连续的函数。S平面平面F（S）平面平面5.3 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 曲线的形状：由曲线的形状：由F（S）的特性决定，无需关心）的特性决定，无需关心曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！S平面平面F（S）平面平面映射定理映射定理 设设设设S S平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数F F（S S）的的的的P P个极点和个极点和个极点和个极点和Z Z个零点，并且此曲线不经过个零点，并且此曲线不经过个零点，并且此曲线不经过个零点，并且此曲线不经过F F（S S）的任一零点和极点，当复变量的任一零点和极点，当复变量的任一零点和极点，当复变量的任一零点和极点，当复变量S S沿封闭曲线顺时钟沿封闭曲线顺时钟沿封闭曲线顺时钟沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在方向移动一周时，在方向移动一周时，在方向移动一周时，在F F（S S）平面上轨迹）平面上轨迹）平面上轨迹）平面上轨迹F F（S S）包）包）包）包围坐标原点的总次数围坐标原点的总次数围坐标原点的总次数围坐标原点的总次数R=P-ZR=P-Z。顺时针包围时顺时针包围时R 0。奈氏判据的推导(P210)奈奎斯特稳定判据的推导奈奎斯特稳定判据的推导M(s)、N(s)分别为分别为s s的的m m阶、阶、n n阶多项式，阶多项式，N(s)=0 0的解为的解为n n个个开环极点开环极点系统的特征方程为系统的特征方程为1+G(s)H(s)=0令令F(s)=1+G(s)H(s)称称F(s)为辅助函数为辅助函数D(s)N(s)F(s)的的3个特点个特点辅助函数：辅助函数：设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为D(s)=0的解是的解是n n个个闭环闭环极点极点1.1.F(s)F(s)的分子分母同为的分子分母同为n n阶阶,2.F(j)=1+G(j)H(j)，辅助函数的幅相曲线辅助函数的幅相曲线会会画画3.=_=_奈氏定判据的推导续奈氏定判据的推导续结论：结论：无论是开环还是闭环，无论是开环还是闭环，在在s s左左半平面的极点，角度增量为半平面的极点，角度增量为+90o在在s s右右半平面的极点，角度增量为半平面的极点，角度增量为-90o设开环极点有设开环极点有p个在个在s右右半平面半平面,(n-p)个在个在s左左半平面半平面设闭环极点有设闭环极点有z个在个在s右右半平面半平面,(n-z)个在个在s左左半平面半平面=(n-z)90o+z(-90o)-(n-p)90o+p(-90o)F(j)=1+G(j)H(j)=(P-z)奈奎斯特稳定判据的推导奈奎斯特稳定判据的推导向量求N从从A A点到点到B B点点G(j)H(j)绕绕(-1,j0)点转过点转过-角度角度0j jBCDA1从从B B点到点到C C点，角度增量为点，角度增量为0 0从从C C点到点到D D点点绕绕(-1,j0)点点转过转过+角度角度从从D D点到原点角度增量点到原点角度增量又又为为0 0例：计算例：计算G(j)H(j)绕绕(-1,j0)点转过的角度点转过的角度=(P-z)再讨论再讨论ABCDj0-1ABCDj0-1CABDj0-1ABCDj0-1包围包围穿越穿越22圈圈 频率域稳定判据频率域稳定判据(P210)z=p_2N开开环环极点极点在在s s右右半平面的半平面的个个数数自下向上为自下向上为负负穿越，用穿越，用N表示；表示；自上向下为自上向下为正正穿越，用穿越，用N表示；表示；N=N-N-1-1G(j)H(j)起始于起始于或或终止于终止于1 1之左实轴，为之左实轴，为半次半次穿越穿越-1z=0系统稳定系统稳定-1开环幅相曲线穿越开环幅相曲线穿越1 1之左之左实轴的实轴的次次数数=(P-z)22圈圈闭闭环环特征根特征根在在s s右右半平面的半平面的个个数数二、奈奎斯特稳定判据二、奈奎斯特稳定判据设系统的特征方程设系统的特征方程F（S）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：特征方程的根都在特征方程的根都在S平面的左半平面，右半面无极点平面的左半平面，右半面无极点F（S）的零点都在）的零点都在S平面的左半平面，右半面无零点平面的左半平面，右半面无零点 根据映射定理，根据映射定理，S沿奈氏回线顺时钟移动一周时，在沿奈氏回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点R=P-Z周。周。系统是稳定的，系统是稳定的，Z=0，R=P稳定性判据：稳定性判据：稳定性判据：稳定性判据：如果在如果在如果在如果在S S平面上，平面上，平面上，平面上，S S沿奈奎斯特回线顺时钟移动一周时，沿奈奎斯特回线顺时钟移动一周时，沿奈奎斯特回线顺时钟移动一周时，沿奈奎斯特回线顺时钟移动一周时，在在在在F F（S S）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转R=PR=P周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。映射曲线围绕原点的情况相当于映射曲线围绕原点的情况相当于G（S）H（S）的封闭曲线围绕（的封闭曲线围绕（-1，0）的运动情况。）的运动情况。绘制映射曲线的方法绘制映射曲线的方法（1）令）令S=j带入带入G（S）H（S），得到开环频率特性。），得到开环频率特性。（2）画出对应于大半圆对应的部分）画出对应于大半圆对应的部分 实际物理系统实际物理系统 n=m nm时时 G（S）H（S）趋于零）趋于零 n=m时时 G（S）H（S）为常数）为常数 奈奎斯特稳定性判据：奈奎斯特稳定性判据：奈奎斯特稳定性判据：奈奎斯特稳定性判据：控制系统稳定的充要条件是，当控制系统稳定的充要条件是，当控制系统稳定的充要条件是，当控制系统稳定的充要条件是，当 从负无穷变化到正无穷从负无穷变化到正无穷从负无穷变化到正无穷从负无穷变化到正无穷大时，系统的开环频率特性大时，系统的开环频率特性大时，系统的开环频率特性大时，系统的开环频率特性G(jG(j)H(j)H(j)按逆时钟方向包围按逆时钟方向包围按逆时钟方向包围按逆时钟方向包围(-1(-1，j0)j0)点点点点P P周，周，周，周，P P为位于为位于为位于为位于S S平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。例：绘制开环传递函数例：绘制开环传递函数的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。三、虚轴上有开环极点时的奈奎斯特判据三、虚轴上有开环极点时的奈奎斯特判据虚轴上含有开环极点的情况虚轴上含有开环极点的情况不可直接应用映射定理！不可直接应用映射定理！不可直接应用映射定理！不可直接应用映射定理！映射定理要求奈奎斯特回线不能经过映射定理要求奈奎斯特回线不能经过映射定理要求奈奎斯特回线不能经过映射定理要求奈奎斯特回线不能经过F F F F（S S S S）的奇点。）的奇点。）的奇点。）的奇点。用半径用半径 0 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半些极点，即将这些极点划到左半s s平面。平面。在复平面的虚轴上，当在复平面的虚轴上，当在复平面的虚轴上，当在复平面的虚轴上，当 很小时，半圆弧的很小时，半圆弧的很小时，半圆弧的很小时，半圆弧的数学方程式数学方程式数学方程式数学方程式rerej j ,r,r0 0时，时，时，时，从从从从0 0 0 0变到变到变到变到 /2/2。当当S沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟方向从方向从经过经过0变化到变化到例：绘制开环传递函数例：绘制开环传递函数的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。G=tf(4 1,2 3 1 0 0);figure(1);margin(G);grid;figure(2);nyquist(G);五、根据伯德图判定系统的稳定性五、根据伯德图判定系统的稳定性原点为圆心的单位圆 0 分贝线。单位圆以外L()0的部分；单位圆内部L()0范围内的与180线的穿越点。负穿越对应于对数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越180线(相角滞后增大)。对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据 若系统开环传递函数若系统开环传递函数m个位于右半个位于右半s s平面平面的特征根，则当在的特征根，则当在L()0 的所有频率范围的所有频率范围内，对数相频特性曲线内，对数相频特性曲线()(含辅助线含辅助线 )与与-180线的正负穿越次数之差等于线的正负穿越次数之差等于m/2时，系时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。统闭环稳定，否则，闭环不稳定。开环特征方程有两个右根，开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和正负穿越数之和-1闭环不稳定。开环特征方程有两个右根，开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和正负穿越数之和+1闭环稳定。六、系统的相对稳定和稳定裕度六、系统的相对稳定和稳定裕度特征方程最近特征方程最近虚轴的根和虚虚轴的根和虚轴的距离轴的距离 稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。相对稳定性和稳定裕量G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度GH平面增益交界频率 cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点相位交界频率 gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点GH平面ggcc1-稳定系统2-不稳定系统增益交界频率和相位交界频率单位园外单位园内增益交界频率 cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点L(j)与0分贝线的交点。cg稳定系统相位交界频率 gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点(j)与-线的交点。单位圆外单位圆内cg不稳定系统:在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量-相位裕量。开环系统的稳定性裕量Kg:在增益交界频率 g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数幅值裕量（增益裕度）。幅值裕量（增益裕度）。开环系统响应速度增益裕量相位裕量闭环系统稳定性增益裕量相位裕量伺服机构：10-20分贝40度以上过程控制：3-10分贝20度以上稳定系统稳定系统正相位裕量正增益裕量正增益裕量正相位裕量G(j)H(j)轨迹:(1)不包围(-1,j0)点；(2)先穿过单位圆，后穿 过负实轴。正增益裕量正相位裕量不稳定系统不稳定系统负增益裕量负相位裕量负增益裕量负相位裕量G(j)H(j)轨迹:(1)包围(-1,j0)点；(2)先穿过负实轴，后穿过 单位圆负相位裕量负增益裕量单位反馈控制系统开环传递函数七、奈奎斯特稳定判据的应用七、奈奎斯特稳定判据的应用例例1 一个系统的开环传递函数为一个系统的开环传递函数为 系统稳定系统稳定右半平面极点数：右半平面极点数：P=1奈奎斯特曲线逆时钟包奈奎斯特曲线逆时钟包围（围（-1，j0)点的次数为点的次数为 R=1=P穿越的概念：穿越的概念：正穿越次数正穿越次数 N+=0.5 负穿越次数负穿越次数N-=0N+-N-=0.5-0=1/2例例2 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 右半平面极点数：右半平面极点数：P=0,奈奎斯特奈奎斯特曲线逆时钟包围（曲线逆时钟包围（-1，j0)点的次点的次数为数为 R=-2P穿越的概念：穿越的概念：正穿越次数正穿越次数 N+=0 负穿越次数负穿越次数N-=1N+-N-=-1 0若若，则闭环系统稳定。，则闭环系统稳定。积分环节积分环节r=2单调递减单调递减无穷远处顺时针绕行无穷远处顺时针绕行R=-2，P=0，所以，所以Z=2系统不稳定系统不稳定例3例例4 设开环传递函数为：设开环传递函数为：试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。稳定稳定不稳定不稳定说明闭环极点位于 轴上八、稳定裕度求取八、稳定裕度求取第五节第五节 系统的频率特性及频域性能指标