自动控制原理-第四章ppt.ppt

第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法2第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 控控制制系系统统的的稳稳定定性性及及动动态态性性能能与与系系统统的的闭闭环环极极点点和和零零点点在在s平平面面的的位位置置密密切切相相关关，因因此此可可根根据据闭闭环环零零极点的分布来间接地研究系统的性能。极点的分布来间接地研究系统的性能。但但当当特特征征方方程程的的阶阶数数高高于于四四阶阶时时，求求解解零零极极点点的的过过程程比比较较复复杂杂。如如果果要要研研究究系系统统参参数数变变化化对对闭闭环环特特征征方方程程根根的的影影响响，那那么么就就需需要要进进行行大大量量的的反反复复计计算算，同同时时还还不不能能直直观观看看出出影影响响趋趋势势。因因此此对对于于高高阶阶系系统统的的求求根问题来说，解析法就显得很不方便。根问题来说，解析法就显得很不方便。3第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 1948年，年，W R 伊凡思在他的一篇论文伊凡思在他的一篇论文“控制系统的图解分析控制系统的图解分析”中提出了在复平面上由中提出了在复平面上由系统的开环传递函数求取闭环特征根的方法，系统的开环传递函数求取闭环特征根的方法，这就是根轨迹法。当开环增益或其它参数改变这就是根轨迹法。当开环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定，因此在工程实践中得到了广图上简便地确定，因此在工程实践中得到了广泛的应用。泛的应用。4第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根轨迹：根轨迹：系统某一参数在规定范围内变化时，系统某一参数在规定范围内变化时，闭环系统特征方程的根在闭环系统特征方程的根在 s 平面上的位置也随平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹广义根轨迹:系统的任意一个参数变化所形成系统的任意一个参数变化所形成的根轨迹。的根轨迹。常规（狭义）根轨迹常规（狭义）根轨迹（通常情况）：（通常情况）：变化参数为变化参数为开环增益开环增益K，且其变化取值范围为，且其变化取值范围为0到到。5第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根根轨轨迹迹法法是是分分析析和和设设计计线线性性定定常常控控制制系系统统，求解特征方程的根的图解方法，使用十分简便。求解特征方程的根的图解方法，使用十分简便。特特别别是是对对于于多多回回路路系系统统的的研研究究，应应用用根根轨轨迹法比用其它方法更为方便。迹法比用其它方法更为方便。借借助助于于根根轨轨迹迹法法，可可以以方方便便直直观观地地分分析析系系统特征根与系统参数之间的关系。统特征根与系统参数之间的关系。6第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 本本节节主主要要介介绍绍根根轨轨迹迹的的基基本本概概念念，根根轨轨迹迹与与系系统统性性能能之之间间的的关关系系，并并从从闭闭环环零零、极极点点与与开开环环零零、极极点点之之间间的的关关系系推推导导出出根根轨轨迹迹方方程程，然然后后将将向向量量形形式式的的根根轨轨迹迹方方程程转转化化为为常常用用的的相相角角条条件件和和模模值值条条件件形形式式，最最后后应应用用这这些些条条件件绘绘制制简简单单系系统的根轨迹。统的根轨迹。74-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 1.根轨迹概念根轨迹概念例：设控制系统的结构图如图所示：例：设控制系统的结构图如图所示：特征方程：特征方程：特征根：特征根：84-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念1.根轨迹概念根轨迹概念 令令开开环环增增益益K从从零零变变到到无无穷穷，粗粗实实线线为为系系统统的的根根轨轨迹迹。箭箭头头表表示示随随着着K值值的的增增加加，根根轨轨迹迹的的变变化化趋趋势势，而而标标注注的的数数值值为为与与闭闭环环极极点点位位置置相相对对应应的的开环增益开环增益K的数值。的数值。94-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能（1）稳稳定定性性：当当开开环环增增益益从从零零变变到到无无穷穷时时，如如果果根根轨轨迹迹没没有有越越过过虚虚轴轴进进入入s右右半半平平面面，则则系系统统对对所所有有的的K值值都都是是稳稳定定的的，如如果果系系统统的的根根轨轨迹迹越越过过虚虚轴轴进进入入s右右半半平平面面，此此时时根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴交交点点处处的的K值值，就就是临界开环增益。是临界开环增益。104-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能（2）稳稳态态性性能能：由由开开环环系系统统在在坐坐标标原原点点处处的的极极点点数数可可判判断断出出系系统统的的型型别别，而而此此时时的的K值值就就是是相相应应的的静静态态误误差差系系数数。如如果果给给定定系系统统的的稳稳态态误误差差要要求求，则则由由根根轨轨迹迹图图可可以以确确定定闭闭环环极极点位置的容许范围。点位置的容许范围。114-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能（3）动态性能：）动态性能：当当0K0.5时：时：过阻尼系统；过阻尼系统；当当K0.5时：时：临界阻尼系统；临界阻尼系统；当当K0.5时：时：欠阻尼系统。欠阻尼系统。124-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 上上述述分分析析表表明明：根根轨轨迹迹与与系系统统性性能能之之间间有有着比较密切的联系。着比较密切的联系。对对于于高高阶阶系系统统而而言言，用用解解析析的的方方法法绘绘制制系系统统的的根根轨轨迹迹图图，显显然然是是不不适适用用的的。希希望望能能有有简简便便的的图图解解方方法法，可可根根据据已已知知的的开开环环传传递递函函数数迅迅速速绘绘出出闭闭环环系系统统的的根根轨轨迹迹。为为此此，需需要要研研究究闭闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。环零、极点与开环零、极点之间的关系。133.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系 一般情况下，前向通路传递函数一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：可表示为：为前向通路增益；为前向通路增益；为前向通路根轨迹增益。为前向通路根轨迹增益。143.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系反馈通路传递函数反馈通路传递函数 H(s)可表示为：可表示为：为反馈通路为反馈通路根轨迹增益。根轨迹增益。则系统的开环传递函数可表示为：则系统的开环传递函数可表示为：称为开环系统根轨迹增益称为开环系统根轨迹增益。153.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系 对对于于有有 m 个个开开环环零零点点和和 n 个个开开环环极极点点的的系系统统，必有必有 f+l=m 和和 q+h=n。则。则：163.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系结论：结论：1)闭闭环环系系统统的的根根轨轨迹迹增增益益等等于于开开环环系系统统前前向向通通路路根根轨轨迹迹增增益益。对对单单位位反反馈馈系系统统而而言言，闭闭环环系系统统根根轨轨迹迹增增益就等于开环系统根轨迹增益。益就等于开环系统根轨迹增益。2)闭闭环环零零点点由由开开环环前前向向通通路路零零点点与与反反馈馈通通路路极极点点组组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。3)闭闭环环极极点点与与开开环环零零点点、开开环环极极点点以以及及根根轨轨迹迹增增益益 K*均有关。均有关。173.闭环零、极点与闭环零、极点与开环零、极点之间的关系开环零、极点之间的关系 根轨迹法的基本任务在于：根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。184-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根轨迹方程 根根轨轨迹迹是是系系统统所所有有闭闭环环极极点点的的集集合合，闭闭环环系统特征方程为：系统特征方程为：即即：等价为等价为：上式称为根轨迹方程。上式称为根轨迹方程。194-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根轨迹方程由于由于模值条件：模值条件：相角条件：相角条件：204-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.根轨迹方程根轨迹方程 根根据据相相角角条条件件和和模模值值条条件件，可可以以完完全全确确定定s平平面上的根轨迹和根轨迹上对应的面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。其中：值。其中：1、相相角角条条件件是是s平平面面上上根根轨轨迹迹所所要要满满足足的的充充要条件；要条件；2、模模值值条条件件可可确确定定s平平面面上上的的根根轨轨迹迹各各点点所所对应的根轨迹增益对应的根轨迹增益 K*。21例例 单位反馈系统的开环传递函数单位反馈系统的开环传递函数 一个开环极点一个开环极点 P1=0 负实轴上点负实轴上点 s s1 1s s2 2=-1-=-1-j j负实轴上的点都是根轨迹上的点！负实轴上的点都是根轨迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法23第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则 当当可可变变参参数数为为系系统统的的开开环环增增益益(根根轨轨迹迹增增益益K*)时时，所所绘绘制制的的根根轨轨迹迹为为常常规规根根轨轨迹迹。其其相相角角遵遵循循1800+2k条条件件，因因此此称称为为1800根根轨轨迹迹，相相应应的的绘绘制制法法则则也也就就可可以以叫叫做做1800根根轨轨迹迹的的绘绘制制法则。法则。244-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 1：根轨迹的起点和终点。根轨迹起根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。于开环极点，终于开环零点。25证明：证明：设有设有m个零点个零点,n个极点的开环系统传递函数为：个极点的开环系统传递函数为：则由其组成的闭环系统特征方程为：则由其组成的闭环系统特征方程为：式中：式中：起点：起点：特征方程为：特征方程为：26终点：终点：特征方程为：特征方程为：实实际际系系统统中中，有有m个个零零点点,n个个极极点点的的开开环环系系统统传传递递函函数数一一般般满满足足 ，因因此此有有n-m条条根根轨轨迹迹的的终终点点在在无穷远处，这是因为当无穷远处，这是因为当 时，根据模值条件有：时，根据模值条件有：27 如如果果把把有有限限数数值值的的零零点点称称作作有有限限零零点点，则则把把无无穷穷远远处处的的零零点点称称为为无无限限零零点点，那那么么根根轨轨迹迹必必终终止止于于开开环环零零点点。在在无无限限零零点点的的意意义义下下，系系统统的的开开环环零零极极点数目相等。点数目相等。在在绘绘制制其其它它参参数数根根轨轨迹迹时时，可可能能有有mn的的情情况况，则则有有m-n条条根根轨轨迹迹的的起起点点在在无无穷穷远远处处，称称为为无无限限极极点点，此时系统的开环零极点数也是相等的。此时系统的开环零极点数也是相等的。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。284-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点根轨迹的分支数与开环有限零点 m 和有限和有限极点极点 n 中的大者相等，它们是连续的且对称于中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴。实轴。29 证证明明：根根轨轨迹迹是是开开环环系系统统某某一一参参数数在在规规定定范范围围内内变变化化时时，闭闭环环特特征征方方程程的的根根在在s平平面面上上的的变变化化轨轨迹迹。因因此此根根轨轨迹迹的的分分支支数数必必与与闭闭环环特特征征方方程程根根的的数数目相一致。目相一致。闭闭环环特特征征方方程程根根的的数数目目就就等等于于m和和n中中的的大大者者，所所以以根根轨轨迹迹的的分分支支数数必必与与开开环环有有限限零零、极极点点数数中中的的大者相同。大者相同。30 由由于于根根轨轨迹迹增增益益K*是是连连续续变变化化的的，特特征征方方程程的的某某些些系系数数也也随随之之而而连连续续变变化化，因因而而特特征征根根也也会会连连续续变化，故根轨迹具有连续性。变化，故根轨迹具有连续性。因因为为闭闭环环特特征征方方程程的的系系数数为为实实数数，闭闭环环特特征征方方程程的的根根只只有有实实根根和和复复根根两两种种。实实根根位位于于实实轴轴上上，复复根根必必共共轭轭，而而根根轨轨迹迹是是闭闭环环特特征征根根的的集集合合，因因此此根根轨迹对称于实轴。轨迹对称于实轴。314-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 3：根轨迹的渐近线：当根轨迹的渐近线：当nm时，有时，有n-m条根轨条根轨迹分支沿着与实轴交角迹分支沿着与实轴交角a，交点为，交点为a 的一组渐近的一组渐近线趋向无穷远处，且有：线趋向无穷远处，且有：32证证明明：渐渐近近线线可可以以理理解解为为|s|很很大大时时的的根根轨轨迹迹，故故其其必对称于实轴。必对称于实轴。由于：由于：式中：式中：当当时有时有 近似为：近似为：33由根轨迹方程：由根轨迹方程：得：得：或或根据二项式定理将根据二项式定理将 展开展开在在s值很大时：值很大时：34代入渐近线方程，得：代入渐近线方程，得：令：令：有：有：则：则：35解得：解得：式中：式中：进而有：进而有：0 在在s复平面上复平面上表示一条直线：与实轴的交表示一条直线：与实轴的交与实轴的夹角为与实轴的夹角为 点为点为 ，361 1）当当k k 取不同值时，取不同值时，a a 有（有（n nmm）个值，而）个值，而 a a 不变；不变；2 2）根轨迹在根轨迹在s s 时的渐近线为时的渐近线为（n nmm）条与实轴交点为）条与实轴交点为 a a 、相角为、相角为 a a的一组射线。的一组射线。说明说明37例：设例：设 ，试求出由上面，试求出由上面三个基本法则所确定的数据并绘制相应图形。三个基本法则所确定的数据并绘制相应图形。解：由开环传递函数可得：解：由开环传递函数可得：38法则法则1：起点：起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j 终点：终点：z1=-1和三个无穷远零点和三个无穷远零点法则法则2：四条分支四条分支法则法则3：渐近线与实轴渐近线与实轴的交点及夹角为：的交点及夹角为：0-1-4-2-3-110-1-2-3-11渐近线渐近线 渐近线渐近线 渐近线渐近线 渐近线渐近线 394-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 4：根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。之和为奇数，则该区域必是根轨迹。40证明：证明：设开环零、极点分布如图所示。设设开环零、极点分布如图所示。设 是测试点。是测试点。则则 为根轨迹上点的充分必要条件为：为根轨迹上点的充分必要条件为：即开环零点到即开环零点到 的相角之和减去开环极点到的相角之和减去开环极点到 的相角之和是的相角之和是 的奇数倍。的奇数倍。41注意到：注意到：复共轭极点到复共轭极点到 的相角之和是的相角之和是 ，不影响（，不影响（*）式的奇偶性。）式的奇偶性。因此，可略去不计。同理复共轭零点的情况亦可略去不计。因此，可略去不计。同理复共轭零点的情况亦可略去不计。而测试点左边的所有点到而测试点左边的所有点到 的相角均为零，其右边点到的相角均为零，其右边点到 的的相角均为相角均为 。因此，（。因此，（*）式为的）式为的 奇数倍的充要条件是奇数倍的充要条件是的右边开环实零、极点的个数之和是奇数。的右边开环实零、极点的个数之和是奇数。42例：例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。-2-2，-1-1 右侧实零、极点数右侧实零、极点数=3=3-6-6，-4-4 右侧实零、极点数右侧实零、极点数=7=7434-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 5：根轨迹的分离点与分离角。根轨迹的分离点与分离角。两两条条或或两两条条以以上上的的根根轨轨迹迹分分支支在在s平平面面上上相相遇遇又又立立即即分分开开的的点点，称称为为根根轨轨迹迹的的分分离离点点。分分离离点点的的坐坐标标d 是是下列方程的解：下列方程的解：式中式中zj 为各开环零点的数值，为各开环零点的数值，pi 为各开环极点的数值。为各开环极点的数值。分离角为：分离角为：44分离点的特性：分离点的特性：分离点的特性：分离点的特性：因因为为根根轨轨迹迹是是对对称称的的，所所以以根根轨轨迹迹的的分分离离点点或或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一一般般情情况况下下，常常见见的的根根轨轨迹迹分分离离点点是是位位于于实实轴轴上上的的两两条条根根轨轨迹迹分分支支的的分分离离点点。如如果果根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环极极点点之之间间，其其中中一一个个可可以以是是无无限限极极点点，则则在在这这两两个个极极点点之之间间至至少少存存在在一一个个分分离离点点；同同样样，如如果果根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环零零点点之之间间，其其中中一一个个可可以以是是无无限限零零点点，则则在在这这两两个个零零点点之间也至少有一个分离点之间也至少有一个分离点(会合点会合点)。45证明：由根轨迹方程，证明：由根轨迹方程，有：有：46闭环特征方程为：闭环特征方程为：根根轨轨迹迹在在s平平面面上上相相遇遇，说说明明闭闭环环特特征征方方程程在在相相遇遇点点处有重根出现。设重根为处有重根出现。设重根为d，根据代数中重根条件：，根据代数中重根条件：47代入代入两端微分两端微分48得：得：d 即为根轨迹的分离点。即为根轨迹的分离点。49 当当 l 条根轨迹分支进入并立即离开分离条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由点时，分离角可由(2k+1)/l 来决定，其中来决定，其中k=0,1,2,l-1。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。显然，当显然，当 l 2时，分离角必为直角。时，分离角必为直角。50例：例：例：例：系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。系统结构图如图所示，绘制其概略根轨迹。解：解：由由由由法法法法则则则则 4 4，实实轴轴上上区区域域-1，0 和和-3，-2是是根根轨轨迹。迹。由由由由法法法法则则则则2 2，该该系系统统有有3条条根根轨轨迹迹分分支支，且且对对称称于于实轴。实轴。51 由由由由法法法法则则则则1 1，一一条条根根轨轨迹迹分分支支起起于于开开环环极极点点（0），终终止止于于开开环环零零点点（-1），另另外外两两条条根根轨轨迹迹分分支支起起于于开开环环极极点点（-2）和和（-3），终终止止于于无无穷穷远远处处（无无限限零点）。零点）。由由由由法法法法则则则则3 3，两两条条终终止止于于无无穷穷远远处处的的根根轨轨迹迹的的渐渐近近线与实轴的交角为线与实轴的交角为90o和和270o，交点坐标为：，交点坐标为：52 由由由由法法法法则则则则 5 5，实实轴轴区区域域-3，-2 必必有有一一个个根根轨轨迹迹的的分离点分离点 d，d 满足分离点方程：满足分离点方程：解得：53由法则由法则1、2：起点：起点0，-2，-3；终点；终点-1,共三条根轨迹，其中两条趋向无穷远点共三条根轨迹，其中两条趋向无穷远点 由法则由法则3：趋向无穷远点分枝的渐近线：趋向无穷远点分枝的渐近线与实轴交点与实轴交点=-2，与实轴的交角，与实轴的交角为为90o和和270o。由法则由法则 4：实轴上区域：实轴上区域-1，0 和和-3，-2是根轨迹。是根轨迹。由法则由法则 5：实轴区域：实轴区域-2，-3 必有一个根轨迹的分离点必有一个根轨迹的分离点 d，d 满足分离点方程：满足分离点方程：54例：例：例：例：系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。系统结构图如图所示，绘制其根轨迹。解：解：55法则法则1：起点：起点：终点：终点：-2，无穷远处。，无穷远处。法则法则2：两条分支。：两条分支。法法则则3：n-m=1，故故只只有有180o渐渐近近线线，它它正正好好与与负负实实轴重合。轴重合。法则法则4：为实轴上的根轨迹。为实轴上的根轨迹。法则法则5：由分离点的坐标方程得：由分离点的坐标方程得：或或(舍去)5657 结论：结论：结论：结论：v 由两个极点由两个极点(实数极点或复数极点实数极点或复数极点)和一个有限零点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当极点之间，当K*从零变化到无穷时，闭环根轨迹的从零变化到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分。v 特别指出，如果此时有限极点是共轭的，则半径特别指出，如果此时有限极点是共轭的，则半径为零点到一个极点的距离。为零点到一个极点的距离。584-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 6：根轨迹的起始角与终止角。根轨迹的起始角与终止角。根根轨轨迹迹离离开开开开环环复复数数极极点点处处的的切切线线与与正正实实轴轴的的夹夹角角，称称为为起起始始角角，以以 标标志志；根根轨轨迹迹进进入入开开环环复复数数零零点点处处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 表示表示。59证明：设开环系统有证明：设开环系统有m个有限零点，个有限零点，n个有限极个有限极点。在无限靠近待求起始角点。在无限靠近待求起始角(或终止角或终止角)的复数极的复数极点点pi(或复数零点或复数零点zj)的根轨迹上取一点的根轨迹上取一点s1。由于。由于s1无限接近无限接近pi(或或zj)，因此除，因此除pi(或或zj)外，所有开环零、外，所有开环零、极点到极点到s1的向量相角都可以用它们到的向量相角都可以用它们到pi(或或zj)的向的向量相角量相角 来代替，而来代替，而pi(或或zj)到到s1的向量相角即为起始角的向量相角即为起始角 （或终止角（或终止角 ）。）。60 根据根据 s1 满足的相角条件，有：满足的相角条件，有：得到：61例：例：例：例：系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹。解：1）实轴上区域-1.5,0和(-,-2.5 为根轨迹。2）n-m=1，只有一条180o渐近线。3）无分离点。4）起始角与终止角。62-1-2108.59059 37 19 56.5 6390 121 153 199 63.5 117 64654-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 7：根轨迹与虚轴的交点。：根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和值和值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的中的 sj，然后分别令其实部和虚部为零而，然后分别令其实部和虚部为零而求得。求得。66 证明：证明：证明：证明：若若根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴相相交交，则则表表示示闭闭环环系系统统存存在在纯纯虚虚根根，这这意意味味着着K*的的数数值值使使闭闭环环系系统统处处于于临临界界稳稳定定状状态态。因因此此令令劳劳斯斯表表第第一一列列中中包包含含K*的的项项为为零零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的即可确定根轨迹与虚轴交点上的 K*值。值。此此外外，因因为为一一对对纯纯虚虚根根是是数数值值相相同同但但符符号号相相异异的的根根，所所以以利利用用劳劳斯斯表表中中s2 行行的的系系数数构构成成辅辅助助方方程程必必可可解解出出纯纯虚虚根根的的数数值值，这这一一数数值值就就是是根根轨轨迹与虚轴交点上的迹与虚轴交点上的 值。值。67 如如果果根根轨轨迹迹与与正正虚虚轴轴(或或者者负负虚虚轴轴)有有一一个个以以上上交交点点，则则应应采采用用劳劳斯斯表表中中幂幂大大于于2的的s偶偶次次方方行行的系数构造辅助方程。的系数构造辅助方程。确确定定根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴交交点点处处参参数数的的另另一一种种方方法法，是是将将sj代代入入系系统统闭闭环环特特征征方方程程，并并令令方方程程的的实部和虚部分别为零，即可求得相应的实部和虚部分别为零，即可求得相应的K*和和。68例例:系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 ,求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点 。闭环特征方程闭环特征方程系统稳定的临界系统稳定的临界K K*值值：K*=6表中表中s s2 2行元素构成辅助方程行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 劳斯表劳斯表69例例:系统的开环传递函数系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。求根轨迹与虚轴的交点。代入系统闭环特征方程代入系统闭环特征方程70例：例：设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：解：（1）无开环零点，开环极点为：无开环零点，开环极点为：实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹为-3，0。71（2）n-m=4 有有 4 条分支趋向无穷远处。条分支趋向无穷远处。渐近线与实轴的交点与夹角分别为：渐近线与实轴的交点与夹角分别为：（3）分离点：）分离点：（4）起始角：）起始角：72（5）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 （应用劳斯判据）（应用劳斯判据）由第一列、第四行元素为零由第一列、第四行元素为零由辅助方程由辅助方程7374例：设系统开环传递函数为例：设系统开环传递函数为解：法则解：法则1 起点：起点：试绘制系统的概略根轨迹。试绘制系统的概略根轨迹。终点：终点：和三个无穷远处。和三个无穷远处。法则法则4 -2，0，(-，-3为为实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹。法法则则3根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线：n=4，m=1，故故有有三三条渐近线。条渐近线。75 法则法则5实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无实轴上无相邻极点或相邻零点的根轨迹，无 分离点。分离点。法则法则6 确定起始角：确定起始角：法则法则7根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：闭环系统特征方程：闭环系统特征方程：令令sj代入系统闭环特征方程：代入系统闭环特征方程：76令其实部和虚部分别为零，有：令其实部和虚部分别为零，有：有有(舍舍)，此时：，此时：由闭环特征方程列劳斯表：由闭环特征方程列劳斯表：根轨迹与虚轴的交点也可以用劳斯表求得。根轨迹与虚轴的交点也可以用劳斯表求得。令令s1行首列为零：行首列为零：有：有：77vw,k=solve(-5*w3+(6+k)*w=0,w4-8*w2+2*k=0)vw=v 0v 5*13(1/2)-11v 5*13(1/2)-11v-5*13(1/2)-11v-5*13(1/2)-11vk=v 0v (13(1/2)-1)(1/2)v -(13(1/2)-1)(1/2)v (-13(1/2)-1)(1/2)v-(-13(1/2)-1)(1/2)78vk=solve(6+k-50*k/(34-k)vk=v 5*13(1/2)11=7.0278v-5*13(1/2)11=7.027879以以s2行系数列辅助方程：行系数列辅助方程：有：有：故根轨迹与虚轴的交点为：故根轨迹与虚轴的交点为：此时开环增益为：此时开环增益为：8081824-2 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则1.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则v 法则法则 8：根之和与根之积。：根之和与根之积。系系统统闭闭环环特特征征方方程程，在在nm且且n-m1时时，开开环环n个极点之和总等于闭环特征方程个极点之和总等于闭环特征方程n个根之和：个根之和：si 为系统闭环特征方程的根。为系统闭环特征方程的根。83证明：在证明：在nm的一般情况下，系统闭环特征方程可表示为：的一般情况下，系统闭环特征方程可表示为：当当 时，时，a1与与K*无关，无论无关，无论K*为何值：为何值：根之和不变根之和不变K K*增大，一些根轨迹分支向左移动，则增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。84第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4-3 广义根轨迹广义根轨迹 在在控控制制系系统统中中，除除根根轨轨迹迹增增益益K*以以外外，其其它它情情形形下下的的根根轨轨迹迹统统称称为为广广义义根根轨轨迹迹。如如系系统统的的参参数数根根轨轨迹迹，开开环环传传递递函函数数中中零零点点个个数数多多于于极极点点个个数数时时的的根根轨轨迹迹，以以及及零零度度根根轨轨迹迹等等均均可可列列入入广广义义根轨迹这个范畴。根轨迹这个范畴。通通常常，将将负负反反馈馈系系统统中中K*变变化化时时的的根轨迹叫做常规根轨迹。根轨迹叫做常规根轨迹。851.参数根轨迹参数根轨迹 以以非非开开环环增增益益为为可可变变参参数数绘绘制制的的根根轨轨迹迹为为参参数数根根轨轨迹迹，以以区区别别以以开开环环增增益益K*为为可变参数的常规根轨迹。可变参数的常规根轨迹。绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹的的法法则则与与绘绘制制常常规规根根轨轨迹迹的的完完全全相相同同。只只要要在在绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹之之前前，引引入入等等效效单单位位反反馈馈系系统统和和等等效效传传递递函函数数概概念念，则则常常规规根根轨轨迹迹的的所所有有绘绘制制法法则则，均适用于参数根轨迹的绘制。均适用于参数根轨迹的绘制。86为此，需要对闭环特征方程为此，需要对闭环特征方程做如下等效变换，变成下面形式：做如下等效变换，变成下面形式：A为除为除K*以外的任意可变参数，以外的任意可变参数，P(s)和和Q(s)为两个与为两个与A无关的首一多项式。由于上述无关的首一多项式。由于上述两个式子等效，于是得到等效的单位反馈两个式子等效，于是得到等效的单位反馈系统开环传递函数：系统开环传递函数：利利用用此此式式画画出出的的根根轨轨迹迹，就就是是以以参参数数A为为变量的参数根轨迹。变量的参数根轨迹。87 关于等效的概念：关于等效的概念：此此处处的的等等效效仅仅在在闭闭环环极极点点相相同同这这一一点点上上成成立立，而而闭闭环环零零点点未未必必相相同同。由由于于闭闭环环零零点点对对系系统统的的性性能能也也有有影影响响，所所以以由由闭闭环环零零极极点点分分布布来来分分析析和和估估算算系系统统性性能能时时，可可采采用用参参数数根根轨轨迹迹上上的的闭闭环环极极点点，但必须采用原来闭环系统的零点。但必须采用原来闭环系统的零点。这这一一处处理理方方法法和和结结论论，对对绘绘制制开开环环零零极极点点变变化化时，同样适用。时，同样适用。8889对于系统对于系统II 和和III具有相同的开环传递函数具有相同的开环传递函数但闭环传递函数各自为但闭环传递函数各自为 绘制根轨迹时的等效开环传递函数为绘制根轨迹时的等效开环传递函数为 尽管有相同的根轨迹，但闭环系统性能却不同。这是尽管有相同的根轨迹，但闭环系统性能却不同。这是因为各自的闭环零点不同。因为各自的闭环零点不同。9091例：例：例：例：计算等效传递函数计算等效传递函数以以Ta为为变变量量绘绘制制参参数根轨迹。数根轨迹。解：解：92同除同除得：得：9394例：例：例：例：设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为 其中开环增益其中开环增益 K 可自行选定。分析时间常数可自行选定。分析时间常数 对对系统性能的影响。系统性能的影响。解：闭环特征方程解：闭环特征方程95等效开环极点等效开环极点:注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：根轨迹方程为：在本例中，在本例中，K可自行选定，选定不同可自行选定，选定不同K值，然后将值，然后将G1(s)的零、极点画在的零、极点画在 s 平面上，在令平面上，在令绘制出绘制出 变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。9697982.附加零点的作用附加零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为设开环传递函数为 附加的开环实数零点，其值可在附加的开环实数零点，其值可在 s 左半平面内任左半平面内任意选择，当意选择，当 时，表明不存在有限零点。时，表明不存在有限零点。令令 为不同的数值，对应的根轨迹如下所示：为不同的数值，对应的根轨迹如下所示：（a）无开环零点；）无开环零点；（b）（c）（d）99开环无零点开环无零点1002、附加开环零点的作用、附加开环零点的作用渐近线与实轴倾角随渐近线与实轴倾角随着着mm数增大而增加数增大而增加根轨迹向左方向弯曲根轨迹向左方向弯曲渐近线与实轴交点随渐近线与实轴交点随着着z zc c增大（增大（z zc c点在实点在实轴上向右移）而左移轴上向右移）而左移提高了系统的相对稳定性提高了系统的相对稳定性开环零点对根轨迹的影响开环零点对根轨迹的影响101增加一个开环负实数零点对系统根轨迹的影响增加一个开环负实数零点对系统根轨迹的影响1、改变了实轴上根轨迹的分布。、改变了实轴上根轨迹的分布。2、改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴的交点坐、改变了根轨迹渐近线的条数、与实轴的交点坐 标及夹角的大小。标及夹角的大小。3、使系统的根轨迹向左偏移，提高了系统的稳定、使系统的根轨迹向左偏移，提高了系统的稳定 度，有利于改善系统的动态性能。开环负实零点度，有利于改善系统的动态性能。开环负实零点 离虚轴越近，这种改善作用越大。离虚轴越近，这种改善作用越大。4、开环零点与极点重合或相近时，对根轨迹的影、开环零点与极点重合或相近时，对根轨迹的影 响可以忽略不计，可抵消有损系统性能的极点响可以忽略不计，可抵消有损系统性能的极点 对系统产生的不利影响。对系统产生的不利影响。1022.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。得到明显的改善。103 前前面面讨讨论论的的系系统统根根轨轨迹迹，其其闭闭环环系系统统特特征征方方程程需需要要满满足足的的相相角角条条件件是是(2k+1)=180o(2k+1)，k=-2，-1,0，1,2。这这种种根根轨轨迹迹称称作作180o根根轨轨迹迹。有有些些情情况况下下，根根轨轨迹迹的的幅幅角角满满足足的的条条件件不不是是180o(2k+1)，而而是是2k+0o=360ok+0o，这这样样的的根根轨轨迹迹就就是是零零度度根根轨轨迹迹。零度根轨迹的特征方程的表现形式为：零度根轨迹的特征方程的表现形式为：。3.