第五章-点的运动学.ppt

Part two 运动学运动学是研究运动学是研究 物体运动的物体运动的几何性质几何性质的学科。的学科。研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为参考，这个参考的物体称为参考，这个参考的物体称为参考体参考体。运动学研究运动学研究 点和刚体的运动点和刚体的运动。研究点的简单运动，研究研究点的简单运动，研究点点相对某一个相对某一个参考系参考系的的几何位置随时间变动的规律几何位置随时间变动的规律。包括以下内容：包括以下内容：点的运动方程点的运动方程点的运动轨迹点的运动轨迹速度和加速度速度和加速度 点的运动学点的运动学 是研究一般物体运动的基础，又是研究一般物体运动的基础，又具有独立的应用意义具有独立的应用意义.5-1 矢量法矢量法称称“r”为点为点M相对相对 原点原点O 的的位置矢量位置矢量，简称，简称矢径矢径。矢径矢径r r 的的“矢端曲线矢端曲线”就是动点就是动点M的的运动轨迹运动轨迹。选取参考系上某选取参考系上某确定点确定点O为坐标原点：为坐标原点：自点自点O向动点向动点M作矢量作矢量 r，当动点当动点M运动时，矢径运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即：的单值连续函数，即：上式称为上式称为以矢量表示的点的以矢量表示的点的运动方程。运动方程。动点动点M在运动过程中，其矢径在运动过程中，其矢径r的末端描绘出一条连续的末端描绘出一条连续曲线，称为曲线，称为矢端曲线矢端曲线。点的速度是矢量。点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的动点的速度矢等于它的 矢径矢径r r 对时对时间的一阶导数间的一阶导数，即：，即：速度的大小，即速度矢速度的大小，即速度矢v v的模，表明点运动的快慢，的模，表明点运动的快慢，其量纲为：其量纲为：动点速度矢：动点速度矢：沿沿 r r 的矢端曲线的切线，即沿动点运动的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线轨迹的切线，并与此点运动的，并与此点运动的方向一致方向一致。在国际单位制中速度在国际单位制中速度v v的单位：的单位：动点加速度矢等于该点的动点加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数速度矢对时间的一阶导数：加速度的量纲为：加速度的量纲为：点的速度矢对时间的变化率称为点的速度矢对时间的变化率称为加速度加速度。点的加速度也是矢量，表征速度大小和方向的变化。点的加速度也是矢量，表征速度大小和方向的变化。国际单位制中加速度国际单位制中加速度a的单位：的单位：在空间任意取一点在空间任意取一点o，把动点把动点M在连在连续不同瞬时的速度矢续不同瞬时的速度矢 v、v、v”等等都平行地移到点都平行地移到点o。连接各矢量端点构成连接各矢量端点构成矢量端点矢量端点的连续曲线，称为的连续曲线，称为速度速度矢端曲线矢端曲线。见flash 动点的加速度矢动点的加速度矢a 的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。r1r2r3v1v2v3 v1v2v3 vaa5-2 直角坐标法直角坐标法 动点动点M的位置可以用的位置可以用r表示，也可表示，也可用坐标用坐标x、y、z来表示，如图所示。来表示，如图所示。矢径原点与坐标原点重合时矢径原点与坐标原点重合时，有：，有：是是以直角坐标表示的点的运动方程。以直角坐标表示的点的运动方程。r是时间的单值连续函数，是时间的单值连续函数，x、y、z也是时间的单值连续函数。也是时间的单值连续函数。工程中，常遇到点在平面内运动的情形，工程中，常遇到点在平面内运动的情形，此时点的轨迹为一平面曲线。此时点的轨迹为一平面曲线。取轨迹所在的平面为坐标平面取轨迹所在的平面为坐标平面Oxy，则点则点的运动方程为：的运动方程为：消去消去t，得轨迹方程：得轨迹方程：f（x,y）=0例：飞机以角度例：飞机以角度=45 俯冲投弹，其俯冲速俯冲投弹，其俯冲速度度v=1000km/h，高度，高度h=1800m，问飞机俯冲，问飞机俯冲时应超前时应超前 多少度多少度 投弹方能击中目标。投弹方能击中目标。解：解：炸弹的运动方程炸弹的运动方程炸弹的初速度炸弹的初速度求炸弹落到地面的时间，由求炸弹落到地面的时间，由得得可求出炸弹与目标的水平距离，可求出炸弹与目标的水平距离，比较两式得：比较两式得：速度在各坐标轴上的投影等于速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标动点的各对应坐标对时间的一阶导数。对时间的一阶导数。得：得：又：又：同理：同理：可得出：可得出：加速度在直角坐标轴上的投影等于加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标动点的各对应坐标对对时间的二阶导数。时间的二阶导数。解：解：(4)求点求点M速度矢、加速度矢的大小、方向。速度矢、加速度矢的大小、方向。例：如图，直杆例：如图，直杆AB两端分别沿两端分别沿ox、oy运动，确定杆上一点运动，确定杆上一点M的的运动方程和轨迹方程运动方程和轨迹方程、速度以及加速度速度以及加速度。(1)建立坐标系，由几何关系求出动点建立坐标系，由几何关系求出动点M的坐的坐标，即得到点标，即得到点M的运动方程；的运动方程；(2)消去消去t，得到轨迹方程；得到轨迹方程；(3)对点对点M的运动方程求一阶、二阶导数的运动方程求一阶、二阶导数(v,a的的投影投影)；得运动方程：得运动方程：x=asin=asinty=bcos=bcost轨迹方程：轨迹方程：大小、方向均可求大小、方向均可求解：依题意，建坐标，有：解：依题意，建坐标，有：例：如图，物体例：如图，物体M自自O点以速度点以速度v0 与水平成与水平成 角抛出，求角抛出，求M点的点的运动规律及轨迹运动规律及轨迹。当当t=0时：时：得：得：所以，有：所以，有：当当t=0时，有：时，有：得得有：有：消去消去t t得：得：(1)(1)已知运动求速度、加速度，已知运动求速度、加速度，微分微分；(2)(2)已知速度、加速度求运动，已知速度、加速度求运动，积分积分。两类问题：两类问题：由已知条件求由已知条件求积分常数积分常数例：牵引车例：牵引车A自自O点匀速沿水平方向开点匀速沿水平方向开出，速度出，速度VA=0.4m/s，用绳索拉动用绳索拉动B车，车，B车高于车高于A车车1.5m。求当求当A车驶出距离车驶出距离OA=2m时，时，B B车的速度和加速度车的速度和加速度。解：解：于是于是即即而：而：求导求导代入数据，代入数据，再求导再求导需建立运动方程，需建立运动方程，以以B0为原点，建立坐标，由几何关系有：为原点，建立坐标，由几何关系有：5-3 自然法自然法1、弧坐标、弧坐标如图，动点如图，动点M的坐标由弧长决定，即：的坐标由弧长决定，即：称为称为点沿轨迹的运动方程点沿轨迹的运动方程，或，或弧坐标表示的运动方程。弧坐标表示的运动方程。s=f(t)2、自然轴系、自然轴系 两平面交线为主法线，两平面交线为主法线，单位矢量为单位矢量为n，指向内侧。指向内侧。过过M与切线及主法线垂直的直线为副法与切线及主法线垂直的直线为副法线，线，单位矢量为单位矢量为b。、n n、b b分别为切线、主法线、分别为切线、主法线、副法线上的单位矢量。副法线上的单位矢量。切线、主法线、副法线切线、主法线、副法线这三轴称为这三轴称为自然轴自然轴，这三个正交轴组成的正交坐标系称为这三个正交轴组成的正交坐标系称为自然坐标系自然坐标系。在研究曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径是一个在研究曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径是一个重要的参数，表示曲线的弯曲程度。重要的参数，表示曲线的弯曲程度。曲率：曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值，值，曲率的倒数称为曲率的倒数称为曲率半径。曲率半径。3、速度与加速度、速度与加速度 t0 速度大小为动点弧坐标对时间导数的绝对值。速度大小为动点弧坐标对时间导数的绝对值。是代数量，是代数量，加速度加速度反映速度大小变化，反映速度大小变化，切向加速度；切向加速度；反映速度方向变化，反映速度方向变化，加速度在切向的投影，加速度在切向的投影，s0，s随随t增大而增大，增大而增大，向正向运动向正向运动大于大于0时向正向。时向正向。法向加速度。法向加速度。s s 0,0,永为正，永为正，flash 均在密切面内，均在密切面内，加速度在副法线方向的分量为零（无投影）。加速度在副法线方向的分量为零（无投影）。：与法线夹角与法线夹角速度和切向加速度方位相同，速度和切向加速度方位相同，投影同号，加速运动。投影同号，加速运动。0,0,方向沿主法线指方向沿主法线指向曲率中心。向曲率中心。全加速度也在密切面内。全加速度也在密切面内。flasha 为常数时，匀变速运动。为常数时，匀变速运动。V0、S0为为t=0时的速度和弧坐标。时的速度和弧坐标。除直线运动或除直线运动或v=0的瞬时外，法向加速度总不为的瞬时外，法向加速度总不为0。s=f(t)小结小结例：例：小圆环在小圆环在OA杆转动的带动下沿大杆转动的带动下沿大圆环滑动，已知杆转动规律圆环滑动，已知杆转动规律 =10t，求求小圆环小圆环v、a。解：解：用自然坐标法，用自然坐标法，选选mo为原点，有：为原点，有：方向切向方向切向匀速圆周运动匀速圆周运动例：小环例：小环A套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为径为R，已知小环的初速度为已知小环的初速度为V0，在运动过程中在运动过程中小环的小环的速度和加速度成定角速度和加速度成定角，且，且0 /2。试。试确定小环确定小环A的运动规律的运动规律。解：解：得得于是于是得运动规律：得运动规律：在任意瞬时有：在任意瞬时有：Flash例例5-6：半径半径r的轮子无滑动滚动的轮子无滑动滚动(纯滚动纯滚动)，=t，为常数为常数。求用求用直角坐标和弧坐标直角坐标和弧坐标表示的轮缘任一点的运动方程，并求表示的轮缘任一点的运动方程，并求该点的该点的速度、切向和法向加速度速度、切向和法向加速度。解：解：运动方程：运动方程：M的速度：的速度：建如图坐标，有：建如图坐标，有：速度方向：速度方向：弧坐标表示的运动方程：弧坐标表示的运动方程：求加速度：求加速度：全加速度大小：全加速度大小：切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：由：由：知知纯滚动时，纯滚动时，接触点速度为零，但加速度不为零。接触点速度为零，但加速度不为零。例：摇杆机构，滑杆例：摇杆机构，滑杆AB以等速以等速u向上运动。求向上运动。求=/4时，时，摇杆摇杆OC上上C点点的的速度和加速度速度和加速度的大的大小。（设初瞬时小。（设初瞬时=0）解：解：C的轨迹为圆弧，自然法方便（的轨迹为圆弧，自然法方便（方法一方法一）。）。取取C0为坐标圆点，为坐标圆点，运动方程：运动方程：当当=4时：时：用直角坐标法建运动方程，有用直角坐标法建运动方程，有（方法二方法二）：当当=4时，时，当当=4时，时，例；小环由静止从例；小环由静止从A开始沿轨迹运动。开始沿轨迹运动。CD=DE。AB段，加速度段，加速度a=g；BCD段，切向加速度段，切向加速度a=gcos。求小环在求小环在C、D(=3/4)两处的两处的速度和加速度速度和加速度。解：解：在在ABAB段段得得在在BCEBCE段段得得C C点处点处D D点处点处（a=gcos）基本要求：基本要求：1、明确并理解点的速度、加速度的定义。、明确并理解点的速度、加速度的定义。2、正确运用直角坐标法和自然法建立点的运动方程，会求点的轨迹。、正确运用直角坐标法和自然法建立点的运动方程，会求点的轨迹。3、能熟练运用给出的运动条件和几何条件求解包括速度、能熟练运用给出的运动条件和几何条件求解包括速度、加速度在内的各运动量。加速度在内的各运动量。重点：重点：难点：难点：1、直角坐标法直角坐标法和和自然法自然法描述点的运动，以及求点的速度和加速度。描述点的运动，以及求点的速度和加速度。2、切向与法向加速度的物理意义与计算。、切向与法向加速度的物理意义与计算。自然轴系的理解与认识。自然轴系的理解与认识。小小 结结1、观察物体的运动必须相对某一参考系。、观察物体的运动必须相对某一参考系。2、点的运动方程为动点在空间的、点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律几何位置随时间变化的规律。一。一个点相对于同一个参考系，若采用不同的坐标系，将有不同形式的个点相对于同一个参考系，若采用不同的坐标系，将有不同形式的运动方程。如：运动方程。如：矢量形式：矢量形式：弧坐标形式：弧坐标形式：极坐标形式：极坐标形式：直角坐标形式：直角坐标形式：3、轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。、轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。轨迹方程轨迹方程可由运动方程可由运动方程消去时间消去时间 t 得到。得到。4、点的速度是矢量点的速度是矢量，大小表示点运动快慢、方向表示点运动方向。，大小表示点运动快慢、方向表示点运动方向。点的加速度也是个矢量点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的变化率。，它等于速度矢对时间的变化率。速度和加速度的计算公式为：速度和加速度的计算公式为：矢量形式：矢量形式：(1)以直角坐标轴上的分量表示以直角坐标轴上的分量表示(2)以自然坐标的分量表示以自然坐标的分量表示5、点的、点的切向加速度切向加速度只反映只反映速度大小速度大小的变化的变化 法向加速度法向加速度只反映只反映速度方向速度方向的变化的变化 当点的速度与切向加速度方向相同时，点作加速度运动；反之，点当点的速度与切向加速度方向相同时，点作加速度运动；反之，点作减速度运动。作减速度运动。6、几种特殊运动的特点几种特殊运动的特点(1)直线运动：直线运动：(2)圆周运动：圆周运动：(3)匀速运动：匀速运动：(4)匀变速运动：匀变速运动：习题习题 5-1 5-1、5-45-4、5-75-7、5-8 5-8