第九章板壳结构有限元.ppt
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1、第九章第九章 板壳结构有限元板壳结构有限元板壳结构基本知识板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元进行结构分析,可以得到足够的精度和良好的效果。进行结构分析,可以得到足够的精度和良好的效果。板壳结构基本知识厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中,表面厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中,表面为平面的成为板,表面为曲面的称为壳。为平面的成为板,表面为曲面的称为壳。平板:平板:分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄板小挠度问题,它的变形完全由横向变形确
2、定;对于薄板大挠板小挠度问题,它的变形完全由横向变形确定;对于薄板大挠度问题,则属于几何非线性问题。对于厚板,应考虑横向剪切度问题,则属于几何非线性问题。对于厚板,应考虑横向剪切变形的影响。变形的影响。壳体:壳体:壳体的变形除了横向弯曲变形外,同时存在中面变形。壳体的变形除了横向弯曲变形外,同时存在中面变形。因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当然,对于厚壳结构,仍需要横向剪切变形的影响。然,对于厚壳结构,仍需要横向剪切变形的影响。薄板结构有限元薄板结构有限元薄板基础理论知识薄板基础理论知识薄平板,取其中性面为坐标面,薄平板
3、,取其中性面为坐标面,z轴垂直于中性面。其中轴垂直于中性面。其中 t 为为板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时,板的中性面将发板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时,板的中性面将发生弯扭变形,从而变成一个曲面。板变形的同时,在板的横生弯扭变形,从而变成一个曲面。板变形的同时,在板的横截面上将存在内力截面上将存在内力弯矩和扭矩。弯矩和扭矩。薄板基础理论知识薄板基础理论知识对于薄板问题采用如下假设:对于薄板问题采用如下假设:(1 1)直法线假设:薄板中面法线)直法线假设:薄板中面法线变形后仍保持为法线且长度不变。变形后仍保持为法线且长度不变。(2 2)忽略板中面的法线应力分量,)忽略板中面的法线应力
4、分量,且不计其引起的应变。且不计其引起的应变。(3 3)薄板中面内的各点没有平行)薄板中面内的各点没有平行于中面的位移,即中面不变形。于中面的位移,即中面不变形。由第(由第(2)条可知挠度)条可知挠度w与与z无关,无关,由第(由第(1)条可知)条可知 zx和和 yz等于零,另外根据第(等于零,另外根据第(3)条中面无变形)条中面无变形薄板基础理论知识薄板基础理论知识薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。根据几何方程,应变可表示为根据几何方程,应变可表示为对于薄板问题,对于薄板问题,一般采用形变分量表示一般采用形变分量表示x向曲率向曲率y向曲率向曲率扭率扭率薄板基础理论
5、知识薄板基础理论知识相应的内力可表示为:相应的内力可表示为:D为平面应力问题的弹性矩阵:为平面应力问题的弹性矩阵:薄板基础理论知识薄板基础理论知识图示为板的一个微元体。为方便计,取图示为板的一个微元体。为方便计,取x和和y的方向的宽度均为的方向的宽度均为1。在垂直于。在垂直于x轴的横截轴的横截面上的正应力面上的正应力x可合成为一个力偶,从而可合成为一个力偶,从而构成该横截面上的弯矩(单位宽度上的弯构成该横截面上的弯矩(单位宽度上的弯矩)矩)Mx。同理,在垂直于同理,在垂直于y轴的横截面上的正应力轴的横截面上的正应力y合成弯矩合成弯矩My,剪应力,剪应力xy合成扭矩合成扭矩Mxy,剪应,剪应力力
6、yx合成扭矩合成扭矩Myx,由于剪应力互等由于剪应力互等内力列向量为内力列向量为Mxy=Myx薄板基础理论知识薄板基础理论知识内力可以根据应力进行计算得到内力可以根据应力进行计算得到使用记号使用记号于是于是平面应力问题平面应力问题中的弹性矩阵中的弹性矩阵薄板基础理论知识薄板基础理论知识进行反向回代,可以得到进行反向回代,可以得到在板的上、下表面处,在板的上、下表面处,z=0.5t,于是应力为于是应力为薄板基础理论知识薄板基础理论知识假设发生虚位移假设发生虚位移,则薄板内部会发生虚应变则薄板内部会发生虚应变如果薄板在如果薄板在z方向承受分布荷载方向承受分布荷载此时薄板内部产生应力此时薄板内部产生
7、应力 与之平衡,与之平衡,则可以采用虚功原理则可以采用虚功原理应力做的虚功为应力做的虚功为外力做的虚功为外力做的虚功为在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。薄板矩形单元薄板矩形单元设局部编号设局部编号1、2、3、4,x、y方向长度分别为方向长度分别为2a、2b的矩形板单元如图所示。的矩形板单元如图所示。每个结点的位移分量为每个结点的位移分量为则一个单元的位移向量和载荷向量为则一个单元的位移向量和载荷向量为每个结点的载荷分量为每个结点的载荷分量为薄板矩形单元薄板矩形单元下面开始尝试建立形函数。下面开始尝试建立形函数。一个单元有一个单元有12个
8、位移分量,那么个位移分量,那么位移函数应该为位移函数应该为利用利用1212个结点位移条件,由广义坐标法可建立形函数,显然个结点位移条件,由广义坐标法可建立形函数,显然十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成,十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成,完成这项工作首先需要将其转化为一个完成这项工作首先需要将其转化为一个2222的正方形,对于的正方形,对于矩形单元,这项操作并不困难。矩形单元,这项操作并不困难。四次项的选取为了保证坐标的对称性,且曲率与扭率同阶次。四次项的选取为了保证坐标的对称性,且曲率与扭率同阶次。薄板矩形单元薄板矩形单元下面开始尝试建立形函数。下面开始尝试建
9、立形函数。建立的形函数形式如下:建立的形函数形式如下:每个分块的每个分块的薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元形函数的性质薄板矩形单元形函数的性质对对N1有有:N1(1)=1;N1(j)=0,j=2,3,4另外,另外,N1对对x,y的偏导数在各结点的偏导数在各结点处均为零。?处均为零。?于是,位移函数可表达为:于是,位移函数可表达为:薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元应变离散薄板矩形单元应变离散薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元应力离散薄板矩形单元应力离散那么,相应的,内力矩那么,相应的,内力矩薄板矩形单元薄板矩形单元薄板矩形单元的单元刚度矩阵,其形式也为通用的薄板矩形单元的单元刚度矩阵,
10、其形式也为通用的展开进行积分展开进行积分单元刚度矩阵由单元刚度矩阵由16个子矩阵组成,其表示如下个子矩阵组成,其表示如下薄板矩形单元薄板矩形单元具体的元素计算为:具体的元素计算为:式中:式中:薄板矩形单元薄板矩形单元结点载荷向量的计算:结点载荷向量的计算:积分展开,得积分展开,得假设板单元受横向均布载荷假设板单元受横向均布载荷p作用,则作用,则 等效结点力为等效结点力为如果承受的分布荷载随位置如果承受的分布荷载随位置(x,y)变化,积分工作量较大变化,积分工作量较大薄板矩形单元薄板矩形单元应用实例应用实例受中心集中力的四边支承板的计算结果受中心集中力的四边支承板的计算结果(边长为边长为1 1,
11、厚度为,厚度为0.010.01,弹模为,弹模为1 1,泊松比为,泊松比为0.3)0.3)单元数单元数(1/41/4板)板)四边固定四边固定板中心挠度板中心挠度wD/PLwD/PL2 2边中点弯矩边中点弯矩M/PM/P22220.006140.00614-0.1178-0.117844440.005800.00580-0.1233-0.123366660.005710.00571-0.1245-0.1245理论解理论解0.005600.00560-0.1257-0.1257薄板三角形单元薄板三角形单元三角形单元能较好地适应斜边界,实三角形单元能较好地适应斜边界,实际中广泛应用。单元的结点位移仍然
12、际中广泛应用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度为结点处的挠度wi和绕和绕x,y轴的转角轴的转角xi、yi,独立变量为,独立变量为wi。三角形单元三角形单元位移模式应包含位移模式应包含9个参数。个参数。如果在直角坐标系下建立位移模式,则如果在直角坐标系下建立位移模式,则完全三次多项式需要完全三次多项式需要1010个参数个参数zyxw1y1x1123若以此为基础构造位移函数,则必须去掉一项。无法保证对称。若以此为基础构造位移函数,则必须去掉一项。无法保证对称。薄板三角形单元薄板三角形单元三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试:三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试:TocherTocher
13、方案方案单元有两边分别平行于单元有两边分别平行于x x轴和轴和y y轴时,上述位移模式中的待定系数将无法轴时,上述位移模式中的待定系数将无法确定,因此离散时,网格划分有局限性。确定,因此离散时,网格划分有局限性。AdiniAdini方案方案舍去了二次项舍去了二次项xyxy,致使常扭率无法保证,单元过刚、位移偏小,因此分析,致使常扭率无法保证,单元过刚、位移偏小,因此分析结果只有一阶精度。结果只有一阶精度。BellBell方案方案增加单元内部位移参数增加单元内部位移参数三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自由度(静力凝聚),由度(静力凝聚),Zienki
14、ewiczZienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。指出这种单元不能保证收敛。薄板三角形单元薄板三角形单元Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。面积坐标面积坐标采用面积坐标表达的位移模式为:采用面积坐标表达的位移模式为:基于面积坐标性质,上述位移模式还可改写为:基于面积坐标性质,上述位移模式还可改写为:薄板三角形单元薄板三角形单元进行一系列的推导后,可得到进行一系列的推导后,可得到形函数的具体计算式为:形函数的具体计算式为:薄板三角形单元薄板三角形单元建立了位移模式之后,那么剩下的工作就并不复杂:位移模式建立了位移模式之后,
15、那么剩下的工作就并不复杂:位移模式应变离散应变离散 应力离散应力离散刚度矩阵刚度矩阵载荷向量载荷向量约束处理约束处理求解。求解。但位移模式是建立在面积坐标上的,相关的计算怎么进行?但位移模式是建立在面积坐标上的,相关的计算怎么进行?zyxw1y1x1123导数间的关系为导数间的关系为那么那么薄板三角形单元薄板三角形单元应用实例应用实例四边简支板的中心挠度系数计算四边简支板的中心挠度系数计算单元数单元数(1/41/4板)板)板中心挠度板中心挠度wD/qLwD/qL4 422220.0042490.00424944440.0041530.00415388880.0040980.004098解析解解
16、析解0.0040420.004042薄板单元薄板单元关于薄板单元,要提醒大家注意的:关于薄板单元,要提醒大家注意的:不管是三角形单元还是不管是三角形单元还是矩形单元,事实上其都是非完全协调元。矩形单元,事实上其都是非完全协调元。对左图所示的相邻单元对左图所示的相邻单元公共边挠度公共边挠度公共边切向转角公共边切向转角公共边法向转角公共边法向转角位移场不能完全满足收敛的协调性准则,具体为挠度及切向转角跨单元协调,位移场不能完全满足收敛的协调性准则,具体为挠度及切向转角跨单元协调,法向转角跨单元不协调,因此该单元不是完全协调元。法向转角跨单元不协调,因此该单元不是完全协调元。要解决这一问题,可以通过
17、增加结点数或结点自由度来构造高阶协调元,目前要解决这一问题,可以通过增加结点数或结点自由度来构造高阶协调元,目前国内较成熟的工作有大连理工大学唐立民教授等提出的拟协调元和龙驭球院士国内较成熟的工作有大连理工大学唐立民教授等提出的拟协调元和龙驭球院士提出的广义协调元等,这方面仍然处于研究之中。提出的广义协调元等,这方面仍然处于研究之中。厚板结构有限元厚板结构有限元厚板基础理论知识厚板基础理论知识对于厚板,基本假设:对于厚板,基本假设:a a板的挠度板的挠度w w微微小小;b b板中性面法线在变形后仍保持直线板中性面法线在变形后仍保持直线,但不再垂直变形后但不再垂直变形后的中的中性性面面;c c垂
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