学位论文-—基于一级倒立摆的复合控制器设计.doc

Hefei University
毕业论文（设计）
BACHELOR DISSERTATION

论文题目： 基于一级倒立摆的复合控制器设计
学位类别： 工 学 学 士
学科专业： 自 动 化
完成时间： 2013年5月28日

基于一级倒立摆的复合控制器设计
中 文 摘 要
倒立摆系统是非线性不稳定系统，是开展各种控制实验及进行控制理论教学的理想平台，因此受到各国及工程研究专家学者的关注。许多抽象的概念都可以通过倒立摆系统直观的表现出来，如控制系统的可控性、稳定性、系统的抗干扰能力和系统的收敛速度等。迄今，人们己经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制方法实现了多种倒立摆系统的稳定控制。
倒立摆有许多控制方法，比较常见的有PID控制、LQR控制、模糊控制等。在使用单个控制时，总不能同时使倒立摆系统的鲁棒性和稳态误差同时达到一个满意的效果。本课题以固高公司的直线倒立摆为研究对象，采用LQR控制结合PID的复合控制，即根据LQR控制和PID控制的优缺点互补，使其系统具有结构简单、易于实现以及具有较强的适应性和鲁棒性，并且可以获得良好的动态性能和稳态性能。
关键词：倒立摆；PID控制；LQR控制；复合控制

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Design of composite controller based on inverted pendulum
ABSTRACT
Inverted pendulum system is a nonlinear unable systems, control theory is to carry put a variety of teaching and an ideal platform for testing control, so by the countries and engineering studies concern the experts and scholars. Many abstract concepts such as stability control systems, controllability, speed of system convergence and systems such as anti-interference ability, to pass though the inverted pendulum system shown intuitive. So far, it has been the use of classical control theory ,modern control and a variety of intelligent control a variety of methods to achieve the stability of inverted pendulum control system.
Inverted pendulum control methods there are many, there is the more common PID control, LQR control, fuzzy control. In the use of a single control, can not at the same time inverted pendulum system robustness and steady-state error at the same time to achieve a satisfactory effect, subject to the company’s line of high-solid inverted pendulum for the study, the combination of LQR control PID control compound control, that is based on LQR control and PID control of the complementary strengths and weaknesses. Their system with simple structure, easy to implement and has strong adaptability and robustness, and can get a good dynamic performance and steady-state performance.
KEY WORDS: Inverted pendulum；PID control；LQR control；Composite control

目 录
第一章 绪论 1
1.1概述 1
1.1.1 倒立摆系统概述 1
1.1.2 倒立摆系统研究现状 2
1.2 MATLAB简介 3
1.2.1 Simulink简介 3
1.2.2 Simulink功能 4
1.3研究内容与章节安排 4
第二章 直线一级倒立摆系统概述 6
2.1 直线一级倒立摆系统硬件结构 6
2.2 直线一级倒立摆数学模型 7
2.3 直线一级倒立摆系统分析 12
2.3.1 系统稳定性分析 12
2.3.2 系统能控性分析 14
2.3.3 系统可观测性分析 15
2.4 本章小结 17
第三章 直线一级倒立摆系统PID控制 18
3.1 PID控制算法 18
3.2 直线一级倒立摆PID控制器设计 18
3.3 直线一级倒立摆的PID控制器仿真 24
3.4 本章小结 27
第四章 直线一级倒立摆系统LQR控制 28
4.1 线性二次最优控制算法 28
4.2 直线一级倒立摆的LQR控制器设计 30
4.3 直线一级倒立摆的LQR控制器仿真 31
4.4 本章小结 33
第五章 直线一级倒立摆系统PID与LQR复合控制设计 34
5.1 两种控制算法的对比分析 34
5.2 直线一级倒立摆PID与LQR复合控制器设计 34
5.3 直线一级倒立摆的复合控制器仿真 36
5.4 本章小结 37
第六章 总结与展望 38
6.1总结 38
6.2 进一步展望 38
参考文献 39
致 谢 41

第一章 绪论
1.1概述
1.1.1 倒立摆系统概述
倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉，是开展各种控制实验及进行控制理论教学的理想实验平台。在倒立摆系统控制过程中能有效地反映现代控制中的许多关键问题，如系统的鲁棒性问题、非线性问题、随动问题、跟踪问题及镇定问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力[1]。
无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性：
（1）非线性，实际控制可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
（2）不确定性，主要是指建立系统数学模型非线性因素所导致的难以量化的部分。
（3）耦合性，倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。
（4）开环不稳定性 。
（5）约束限制，由于实际机构的限制，小车很容易出现撞边现象。
倒立摆的上述特性增加了倒立摆的控制难度，使其更具有研究价值和意义。通过对它的研究可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科进行有机的综合应用。其控制方法和思路对理论和实际的过程控制都有很好的启发，可以有效的检验各种控制理论和方法。目前，对倒立摆系统的研究已经引起国内外的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一[2]。
现代许多控制理论的研究人员不断的发掘出新的控制方法和控制策略，很多相关的科研成果在航天科技领域和机器人研究方面获得了极为广泛的应用。因此，倒立摆系统在现代控制理论的研究中是一种较为理想的实验装置[3]。
倒立摆的研究主要应用在以下几个方面：
（1）机器人的关键技术—机器人的站立与行走。
（2）火箭等飞行器飞行过程中的实时控制。
（3）通信卫星在轨道和确定位置上的稳定控制。
（4）侦察卫星中摄像机的稳定控制。
（5）单级火箭在拐弯时飞行姿态的控制。
由于倒立摆系统与双足机器人、各类伺服云台稳定以及火箭飞行控制存在很多的共同点，因此对倒立摆控制系统的研究具有重要的理论和实践意义[4]。
1.1.2 倒立摆系统研究现状
倒立摆系统的研究具有重要的理论意义和应用价值，对其控制研究是控制领域研究的热门课题之一，国内外的专家学者对此给予了广泛的关注。
倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。目前由中国大连理工大学模糊系统与模糊信息研究中心研究所领导的复杂系统智能控制实验室，采用了变论域自适应模糊控制方法，成功地实现了四级倒立摆，使我国成为世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。2005年国防科学技术大学利用基于LQR的模糊插值成功的实现了对五级倒立摆系统的控制[5]。
目前应用在倒立摆上的算法主要有以下几类：
（1）PID控制。分析倒立摆的物理模型，以此来建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论知识推导出非线性模型，再在平衡点处进行线性化处理，得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，这样就可以设计出相应的PID控制器实现其控制。
（2）状态反馈控制。对倒立摆的物理模型进行分析，建立起倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论知识推导出状态方程和输出方程，最后应用状态反馈的方法，实现对倒立摆系统的控制[6]。
（3）模糊控制。主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器，实现对倒立摆系统的控制。
（4）几种智能控制算法相结合的控制。比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等。
1.2 MATLAB简介
MATLAB是由美国Mathworks公司发布的的一种高科技计算环境，目前它主要面向于科学计算、可视化以及交互式程序设计。它将很多强大的功能集成在一个便于使用的视窗软件平台中，例如：数值分析、矩阵计算以及非线性动态系统的建模和仿真等。为实验验证仿真、工程设计、科研以及其他复杂的数值计算等众多科学领域提供了一种全面快速有效的解决方案，MATLAB采用了全新的程序设计语言编辑模式，程序编写更加快速、简洁，结果更加准确形象，代表了当今国际科学计算软件领域的先进水平。同时MATLAB可以进行众多的程序编写、计算和仿真的功能，在工程计算、控制设计、信号检测、等领域具有很强的应用型，极大方便了人们的设计。本文主要应用到Matlab的Simulink仿真模块[7]。
1.2.1 Simulink简介
Simulink是MATLAB最重要的组件之一，也是使用最频繁的组件之一。它能够搭建很多复杂控制系统的仿真，对实际的生产设计具有很大的指导意义。它提供了一个完整的集成环境，具有很高的理论研究分析意义。在该环境中，有些系统仿真还无需书写大量程序，而只需要将Simulink元件库中的各元件搭建在一起就可构造出复杂的系统。Simulink具有适应面广、结构和流程简单清晰及仿真精细、效率高、灵活多变等优点，目前Simulink已被广泛应用于控制理论、数字信号处理和动态控制系统的复杂仿真和设计[8]。
与MATLAB类似，Simulink的功能可以通过购买或自定义的工具箱不断扩展，当前已有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。本文所应用到的就是由固高公司所开发的硬件和Simulink自定义工具箱。另外，Simulink还可以利用MATLAB丰富的工具以及第三方自定义的工具箱来进行算法研发、建模环境的定制、等等的定义和研究。它的主要特点有：
（1）拥有丰富的和强大的模块库，同时第三方还可以自行进行添加；
（2）模块图简单且易于管理，交互式的GUI（图形用户界面）更加有利于分析；
（3）利用层次性的设计功能来分割设计模型，可以实现对复杂系统设计的管理；
（4）通过导航、创建、配置、搜索模型中的任意信号、参数、属性，生成模型代码；
（5）提供API方便于其他仿真程序的连接或与手写代码集成，尤其是第三方工具箱的编写；
（6）使用Embedded MATLAB模块在Simulink和嵌入式系统执行中调用MATLAB算法。
1.2.2 Simulink功能
Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具，广泛应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯等科学领域，是一种基于MATLAB的框图设计环境，能实现动态系统建模、仿真和分析，在线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真方面的研究中起着重大的作用。Simulink可以用各种不同的采样时间和多速率系统进行建模。在创建动态系统模型方面，Simulink提供了一个交互性强大的图形用户接口（GUI），这个创建过程不需要复杂的程序编写，只需利用鼠标进行简单的操作就能完成，就可以看到简洁明了和准确的系统的仿真结果，非常便于用户的分析和更改[9]。
Simulink是用于动态系统（线性、非线性）和嵌入式系统的多领域仿真和基于模型的设计的理想设计平台。它用户的强大的工具和自定义工具箱可对各种时变系统，包括通讯、控制、信号处理、视频图像处理系统，Simulink提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、和测试，为上述系统的实际设计方案的可行性提供了强有力的理论基础[10]。
同时Simulink还允许其他多领域产品扩展其建模功能与模块，有利于用户的设计、执行、验证和确认任务。
1.3研究内容与章节安排
本文围绕直线一级倒立摆的动力学建模、控制算法设计、仿真等一系列工作展开。主要研究了直线一级倒立摆的稳摆问题，采用反馈控制的方法进行倒立摆的平衡控制，在平衡点附近切换到线性二次型最优控制以实现稳定控制。着重介绍PID控制方法、LQR控制方法，并对直线一级倒立摆系统进行MATLAB仿真。然后分析两种方法各自的优缺点，通过实验仿真及分析完成复合控制器的设计。最后通过倒立摆实物系统的控制证明了仿真控制器的正确性和稳定性。
本文主要章节如下：
第一章，绪论，主要介绍一级倒立摆系统的研究背景及意义、分类、研究现状、控制方法等并简单介绍了MATLAB及Simulink相关知识。
第二章，直线一级倒立摆系统概述，介绍了直线一级倒立摆系统的基本结构、建立其动力学模型得出其传递函数和状态空间表达式。同时分析系统的稳定性、可控性及可观测性。
第三章，直线一级倒立摆系统的PID控制，着重介绍PID控制算法并对系统进行MATLAB仿真。
第四章，直线一级倒立摆系统的LQR控制，着重介绍LQR控制算法并对系统进行MATLAB仿真。
第五章，直线一级倒立摆系统的PID与LQR复合控制，为倒立摆稳定控制研究，设计了由PID控制器和线性二次型(LQR)最优控制器组成的复合控制器，并对其进行仿真研究。
第六章，总结与展望，对论文工作做总结，并对直线一级倒立摆系统作了进一步展望。

第二章 直线一级倒立摆系统概述
2.1 直线一级倒立摆系统硬件结构
倒立摆系统主要包含倒立摆本体、电控箱以及由计算机和运动控制卡组成的控制平台三大部分，这些元件组成了一个闭环系统[11]。其结构简图如图1所示。

图1 一级倒立摆系统结构简图
其中电控箱内主要部件有：交流伺服驱动器、I／O接口板和开关电源。
控制平台主要部分组成：（1）PC机，带PCI总线插槽；（2）运动控制卡用户接口软件；（3）运动控制卡。电机通过同步带来驱动小车在滑杆上来回运动，以保持摆杆平衡。直线一级倒立摆系统的工作原理图如图2所示。
计算机
运动控制卡
伺服驱动器
伺服电机
摆杆
光电码盘1
光电码盘2
图2 倒立摆系统工作原理框图
倒立摆系统是由计算机、倒立摆本体、伺服机构、运动控制卡和光电码盘几大部分组成的闭环系统。小车的位移、速度信号由光电码盘1反馈给伺服驱动器和运动控制卡。光电码盘2将摆杆的角度、角速度信号反馈给运动控制卡。计算机会从运动控制卡中读取相应的实时数据，进而确定控制决策（小车的运动方向、移动的速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，运动控制卡产生相应的控制量，使伺服电机转动，通过同步皮带来带动小车运动，以保持摆杆平衡[12]。
直线一级倒立摆系统硬件组成如下：
（1）伺服电机
在自动控制系统中作为执行元件，又可称为执行电动机，它可以将输入的电压信号变换成转轴的角位移或者角速度输出。通过改变控制电压来改变伺服电机的转速和转向。
（2） 编码器
编码器有两种形式：增量式编码器和绝对编码器。是作为检测转速、线速度、角速度、线位移、角位移的一种传感器，精度高、可靠好，因此应用非常广泛。
（3）限位开关
又称行程开关，可以安装在相对静止的物体上或者运动的物体上。当动物接近静物时，开关的连杆驱动开关的接点引起接点分断。由开关接点开、合状态的改变去控制电路和机构的动作。
（4）运动控制器
2.2 直线一级倒立摆数学模型
系统仿真就是通过对系统模型的分析来研究真实系统的特性。所谓的真实系统，它可以是已存在的或正在设计的系统。因此，为了实现仿真，首先要采用某种方法对真实系统进行抽象，得到系统模型，其过程称为系统建模。经过抽象所得到的系统模型，并不是真实系统的完全复现，而是根据研究的需要从某些方面对系统进行简化提炼的结果。这样，使得该模型既可代表真实系统的基本特征，又能使仿真工作简化和得以实现。
自动控制领域中，建立数学模型的方法有两种，即机理法和实验法。实验法一般只用于建立输入输出模型，它是根据输入和输出的实测数据进行进行相应的处理和计算后得到系统的模型。其主要特点为：把研究对象视为一个黑匣子，完全从外部特性上描述它的动态性能而不需要深入了解被控对象的内部机理。实验法在工程技术上有很大的用途，它让研究者省去了对于现实环境中复杂、恶劣被控对象的深入研究，从而让建模过程简单易行。但是，这也并不意味着对内部过程一无所知。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容[13]。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
就倒立摆系统而言，由于其本身是自然不稳定的系统，且具有非线性等特性，应用实验法建模存在一定的困难。另一方面，经过理想化的假设、忽略一些次要影响后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，应用经典力学相关理论可以方便的建立起数学模型。这就意味着，机理建模法对于倒立摆系统更加合适。下面就其中的牛顿－欧拉方法展开具体论述[14]。
忽略空气阻力和各种摩擦之后，可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图3所示。
m
M
F
x

θ
0

图3 直线一级倒立摆系统模型图
在本设计中，主要应用牛顿一欧拉法对直线一级倒立摆系统进行数学建模。
在图3中设：
X为小车的位移，单位(m)；
为摆杆与垂直方向的夹角，单位(rad)；
m为摆杆的质量，单位(kg)；
M为小车的质量，单位(kg)；
l为摆杆的转动轴心到摆杆质心的长度，单位m；
F为小车受到的作用力，单位(N)；
I为摆杆对重心的转动惯量，单位()；
g为重力加速度，单位()；
b为小车受到的滑动摩擦系数，单位(N/m/s)；
首先，对小车进行受力分析，如图4所示。
M
F

N
P

图4 小车受力图
其中，P和N为小车与摆杆之间相互作用力的垂直和水平方向上的分量。其余字母同图3中的说明。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
（2-1）
其次，对摆杆进行受力分析，摆杆的受力如图5所示。
mg
θ

P

图5 摆杆隔离受力图
（2-2）
即：
（2-3）
将等式代入上式中，可得系统的第一个运动方程为：
（2-4）
对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可得方程为：
（2-5）
即：
（2-6）
力矩平衡方程为：
（2-7）
由于，，，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，可得第二个运动方程为：
（2-8）
设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设无限趋近于零，则可以进行近似处理：，，，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
（2-9）
对上式做拉普拉斯变换，得：
（2-10）
推导传递函数时可假设初始条件为0。输出为角度为Φ，求解方程组(2-10)的第一个方程，可以得到：
（2-11）
把式(2-11)代入方程组(2-10)的第二个方程，得：
（2-12）
化简整理后得传递函数为：
（2-13）
其中， （2-14）
由于系统状态空间方程表达式为：
（2-15）
对，解代数方程，可得解如下：

（2-16）
式2-16为直线一级倒立摆系统在平衡点附近局部线性化以后得到的状态方程。将该式写成矩阵形式可以得到系统的状态空间方程为：
（2-17）
（2-18）
由此可见，一级倒立摆实际上是一个单输人多输出的系统。只要将直线一级倒立摆的实际结构参数（，，，，，）代入上面两式，得对应系数矩阵为：
A=[0 1 0 0;0 -0.0883 0.6293 0;0 0 0 1;0 -0.2357 27.8285 0]；
B=[0;0.8832;0;2.3566]；
C=[1 0 0 0;0 0 1 0]；
D=[0;0]；
2.3 直线一级倒立摆系统分析
得到系统的数学模型后，为了进一步研究系统的性质，需要对系统的特性进行分析，主要是针对系统的稳定性、能控性及能观性的分析。在对时不变系统进行定性分析时，就需要用到现代控制理论中的稳定性判据、能观性以及能控性判据[15]。
直线一级倒立摆系统的竖直向上位置是其不稳定平衡点，若要使直线一级倒立摆系统稳定在这个点上，则需要设计出方便可行的稳定控制器。若要设计控制器稳定系统，则必须要考虑系统的能控性。对于系统在平衡点邻域的稳定性，则可以根据系统的线性模型进行分析。李雅普诺夫稳定性判据常应用于系统的稳定性分析。
2.3.1 系统稳定性分析
所谓稳定性，是指如果系统由于受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当扰动作用去除后，若系统能恢复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，反之该系统是不稳定的。求解线性系统稳定性问题最简单也最常用的方法是求出该系统的所有极点，然后观察其中是否含有实部大于零的极点(不稳定极点)。如果所求极点均小于零，则系统是稳定的，反之系统是不稳定的。
调用MATLAB函数中的roots(den)或eig(A)，即可得出由传递函数描述的系统或状态方程描述的系统的所有极点，则这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性了。
将实际系统的模型参数代入MATLAB中，通过仿真计算得到传递函数。实际系统参数如下：
m 摆杆质量 0.109 Kg
M 小车质量 1.096 Kg
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.250m
b 小车摩擦系数 0 .1N/m/s
I 摆杆惯量
g 重力加速度
在Matlab中，通过拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。
仿真程序见下：
>> M = 1.096;
>> m = 0.109;
>> b = 0.1;
>> I= 0.0034;
>> g = 9.8;
>> l = 0.25;
>> q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; %simplifies input
>> num = [m*l/q 0 0]
>> den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0]
>> G=tf(num,den)
>> roots(den)
结果如下：

执行上面的文件，就可以求出系统传递函数的分子与分母多项式的Matlab 表示。因此，系统传递函数的表达式为：

系统的开环极点为，，，。由于有一个开环极点位于S平面的右半部，开环系统不稳定。
2.3.2 系统能控性分析
能控性定义：线性定常系统状态方程为：，其中，x、u分别为n、r维向量；A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的一个初始状态（可为0），如果在的有限时间区间内，存在容许控制使，则称系统状态在时刻能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的[16]。
线性定常系统的状态方程为：，若，，系统状态方程的解为。
若系统是能控的，则存在容许控制，使得：
；
；
。
满足上式的初始状态，必是能控状态。
下列命题中的任何一个成立，都可作为线性定常系统对于完全能控的充要条件。
（1）矩阵的秩为n，其中，称为格兰姆矩阵。
（2）若系统能控，则能控性矩阵满秩。 即。
（3）矩阵的行线性独立。
其中，矩阵称为系统的能控变换矩阵，n是系统的阶次，矩阵可以由MATLAB控制系统工具箱中的ctrb()函数自动产生出来。ctrb()函数的调用格式为：，通过该函数可以求出系统的能控矩阵：

矩阵的秩称为系统的能控性指数，它的值是系统中能控状态的数目。如果，则系统完全能控。
2.3.3 系统可观测性分析
若一个n维线性定常系统方程为：

其中A、B、C、D分别为、、、常数矩阵。
如果在有限时间（可为0，）内，根据输出值y(t)与给出的u(t)，能够确定系统的初始状态的每一个分量，则称此系统为完全可观测的。若系统中至少有一个状态变量是不可测的，则称此系统为不完全可测的。
由能观性判据可知，系统的可观测性取决于系统状态方程的A矩阵和C矩阵，因此可以构造系统的能观测性矩阵：

上式中的n为系统的阶次。矩阵称为系统的能观测性矩阵，由MATLAB控制系统工具箱中的obsv(A，C)函数可以将该矩阵自动的生成出来。obsv(A，C)函数的调用格式为：

同理，用obsv(A，C)函数可求出系统的能观测矩阵：

矩阵的秩称为系统的能观测性指数，它的值表示系统中能观测状态的数目。若，则说明系统是完全能观测的。由式子
其中
我们可知，即矩阵满秩，则系统可观测的。
我们可以看出，一级倒立摆系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩均为4，所以系统是完全能控、完全能观的。
综上所述，可以得知直线一级倒立摆系统是一个不稳定系统但是却能控能观的。
2.4 本章小结
本章应用牛顿一欧拉法建立了直线一级倒立摆系统的数学模型，推导出了该系统的运动方程，并求出了直线一级倒立摆系统传递函数模型以及空间状态方程矩阵，并且分析了系统的稳定性、能控性及能观性，最终得出直线一级倒立摆系统是线性不稳定系统但是却能控能观的。

第三章 直线一级倒立摆系统PID控制
3.1 PID控制算法
目前的自动控制技术大多基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量关心的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响应。
PID控制的基本思想是：通过测量输出变量，与期望值相比较，用这个误差调节控制系统。在实际工程中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。PID控制器问世至今已有近70多年的历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便等优点而成为现代工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠现场调试和工程师的经验来确定[17] 。
PID控制系统原理结构框图如图6所示。
yout(k)
K比例
微分
积分
被控对象
rin(k)
+
-
+
+

图6 典型PID校正器的结构框图
3.2 直线一级倒立摆PID控制器设计
在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图如图7所示。系统由模拟PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。

图7 常规PID控制系统图
PID控制器是作为一种线性控制器，它是根据给定值与实际输出值构成控制偏差：

将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，来对被控对象进行控制，故称为PID控制器。其控制规律为：

或写成传递函数的形式：

式中：——比例系数；——积分时间常数；——微分时间常数。
在控制系统设计和仿真中，也常将传递函数写成：

式中：——比例系数；——积分系数；——微分系数。
PID控制器中的三个参数对系统控制品质方面的影响：
（1）比例调节(P) 比例调节(P)比例系数的大小决定了比例调节器调节的快慢程度。越大，系统的快速性越好，但过大会导致系统静态偏差增大。
（2）积分调节(I) 积分作用可消除余差，积分常数的大小决定了积分作用程度的强弱。越大其静态误差越小，但过大会产生振荡，导致系统的稳定性下降。因此，要恰当的选择积分常数大小。
（3）微分调节(D) 可以消除振荡，提高快速性，当偏差瞬间的波动较快时，微分调节器则会立刻产生响应来抑制偏差的变化，从而使系统趋于稳定，而且系统的动态性能也得到了改善。但微分系数过大会引起静态误差[18]。
直线一级倒立摆控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如图8所示。

图8 直线一级倒立摆闭环系统图
图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。
考虑到输入，结构图可以很容易地变换成图9所示。

图9 直线一级倒立摆闭环系统简化图
该系统的输出为：

其中：——被控对象传递函数的分子项；
——被控对象传递函数的分母项；
——PID控制器传递函数的分子项；
——PID控制器传递函数的分母项；
通过分析上式就可以得到系统的各项性能。
PID控制器的传递函数为：

只需调节PID控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。通过选择不同的PID参数对倒立摆系统进行仿真。
在Simulink中建立直线一级倒立摆的仿真模型如图10所示。

图 10 直线一级倒立摆的PID控制仿真模型
其中PID Controller 为封装（Mask）后的PID 控制器，双击该模块打开参数设置界面，如图11所示。

图 11 PID参数设置界面
先设置PID控制器的一组参数，取Kp=1，Ki=1，Kd=1，得到图12仿真结果。

图 12 PID控制仿真结果图（Kp=1，Ki=1，Kd=1）
从图12中可以看出，此时的闭环系统不稳定，要想得到稳定的系统，可以加大比例反馈系数Kp，取Kp=100，Ki=1，Kd=1，得到仿真结果如图13所示。

图 13 PID控制仿真结果图（Kp=100，Ki=1，Kd=1）
从图13中可以看出，此时闭环系统处于稳定状态，但响应速度还不够快，且振荡次数较多，超调量也比较大。因此增加微分控制参数Kd，取Kp=100，Ki=1，Kd=10，得到仿真结果如图14所示。

图14 PID控制仿真结果图（Kp=100，Ki=1，Kd=10）
从图14中可以看出，此时的稳态性能相对较理想，但还不够平滑。因此再增加微分控制参数Kd，取：Kp=100，Ki=1，Kd=20。
仿真得到图15结果：

图15 PID控制（Kp=100，Ki=1，Kd=20）
从图15可以看出，此时的稳态性能比较理想。
双击“Scope1”，得到小车的位置输出曲线如图16所示。

图 16 PID控制（小车位置曲线）
由上图可以看出，由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，因此小车会往一个方向运动。
3.3 直线一级倒立摆的PID控制器仿真
PID控制器设计完成以后，进行直线一级倒立摆的PID控制器Simulink仿真。
实验步骤：
（1）打开直线一级倒立摆PID控制界面如图17所示：（进入MATLAB Simulink实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ PID Experiments”中的“PID Control Demo”）

图17 直线一级倒立摆PID 实时控制界面
（2）双击“PID”模块进入PID 参数设置，如图18所示，把仿真得到的参数输入PID控制器，点击“OK”保存参数。

图18 参数设计调整
(3) 点击编译程序，完成后点击使计算机和倒立摆建立连接。
(4) 点击运行程序，检查电机是否上伺服。缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置，待进入自动控制程序后松开摆杆，当小车即将运动到两端限位的位置时，可用其他物体挡一下摆杆，使小车向另一端运动。
(5) 仿真结果如图19所示。

图 19 PID