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反例在数学中的应用
北方民族大学
学士学位论文

论文题目: 反例在数学中的应用

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毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

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反例在数学中的应用
摘 要
高等代数和数学分析是一门很重要的基础课程，对学生的数学思想的形成和后继课程的学习都有着十分重要的意义．反例思想是数学中的重要思想，对概念的理解，命题的研究中都具有不可替代的作用．恰当地运用反例，对于正确理解概念，培养学生的逻辑思维能力，将起着十分重要的作用．本文主要通过对高等代数和数学分析的学习，列举了课本中的反例，并用举反例的方法加强了对一些基本概念和基本定理的理解．

关键词：反例，高等代数，数学分析

Application of counterexample in Mathematics
Abstract
Higher Algebra and Mathematical Analysis are important basic courses, it's very important to the formation of mathematical thoughts of students and learning of the following courses．The counterexample is an important thought in Mathematical, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, and nature．The proper use of counterexamples, for a correct understanding of the concept, and develop their logical thinking ability, will play a very important role．This paper mainly through the learning of Higher Algebra and Mathematical Analysis, lists the counterexamples in textbooks, and strengthen the understanding of basic concepts and geometrical theorems．

Key Words: counterexample ,Higher Algebra, Mathematical Analysis．

目 录
前 言 1
第一章 高等代数中的反例 2
1.1 矩阵中的反例 2
1.2 多项式中的反例 8
1.3 线性空间中的反例 11
1.4 线性变换中的反例 12
第二章 数学分析中的反例 14
2.1 数列中的反例 14
2.2 函数中的反例 15
2.3 微商与微分中的反例 19
2.4 微积分中的反例 20
2.5 级数中的反例 21
2.6 偏导数与全微分中的反例 25
致 谢 27
参考文献 28

前 言
“全等的三角形是相似的”这一命题是正确的，我们需要加以严格的证明；然而对于不正确的命题“相似的三角形一定是全等的”，那么我们就要找到两个相似但并不是全等的三角形，即举出一个反例．由此看来，对于命题来说，给出证明和构造反例是同等重要的．
数学分析中包含了一套抽象且形式化的理论体系，概念难以理解，学习中容易犯一些表象的错误，比如，我们会将一些函数的特定性质通过四则运算用到另一个函数上．反例是解决此类问题最有效的方法．由于数学分析思维的严谨性，定理性质的给出一般都带有一些限制条件，这些条件是不可忽视的．恰当地使用反例，对于深入理解定理的条件，准确掌握概念的本质，可以起到无可比拟的作用．此外，反例对于数学学科的理论发展和完善也起着非常重要的作用．
构造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本质，可以有效纠正错误的命题或定理；通过构造反例，从反面消除一些易出错的条件，严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质．定理证明中，反例具有同等重要的作用，通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性，而反例即可否定一个命题的正确性．
这篇论文的主要内容是举出关于数学中的反例，包括高等代数和数学分析两部分．在举反例的过程中，所涉及到的定理和命题均参照高等代数第三版和数学分析第二版的教材，为了加强对问题的理解，我们举出了一些具有说明性的反例．

第一章 高等代数中的反例
高等代数是数学专业的一门重要基础课程之一, 为进一步学习其他后续知识奠定了基础，它包括了对多项式、矩阵、线性空间、线性变换的学习．下面列出在学习过程中遇到的需要用反例来判断命题或定理的正确性的例子．
1.1 矩阵中的反例
矩阵是数学中应用广泛的极其重要的概念，在高等代数中，它占着十分重要的地位，它贯穿了整个高等代数的学习．下面就列出矩阵的运算以及不同性质矩阵的之间的关系所运用的反例．
矩阵乘积中的反例
定义1.1[1] 设， ，那么矩阵，其中
，
称为与的乘积，记为
．
1. 我们知矩阵的加法满足交换律，而矩阵的乘法不适合交换律．
(1)有意义，当时，没有意义；
(2)和都有意义，当时，它们乘积是阶数不等的矩阵；
(3)和都是阶的．
例 取
，
则
，

故，即矩阵不适合乘法交换律．
2. 矩阵的乘法不满足消去律：，未必有．
例 取
，，
显然
，
而．
3. 一般情况下，．
例 取
，
则
，，
，，，
所以

故并不是恒成立的．
只要，就有．
4. 定理 设和是数域上的两个矩阵，那么 ．
那么，是否也成立？答案是不成立，存在反例．
例 阶矩阵
，
，而，故不成立．
5. 阶矩阵，，且，，未必有．
例 当时，取
，
有 ，，
但是
．
对称阵中的反例
1. 对称阵之和仍为对称阵，对称阵之积未必是对称阵。
例
，
则
，
不是对称阵．
2. 实对称阵和对角阵相似，但和对角阵相似的未必对称．
例 取
，
，
有，即与相似，是对角阵，而不是对称阵．
3. 反对称矩阵是指满足条件的矩阵，那么反对称矩阵之积未必是反
对称矩阵．
例
，
均为反对称矩阵．而
，
当，时，是对称阵，但不是反对称矩阵．
正定阵中的反例
1. 正定阵的和还是正定阵，但正定阵的差未必是正定阵．
例
，
都是正定阵，但

不是正定阵．
2. 正定阵的积未必是正定阵．
例
，
都是正定阵．
而

不是正定阵．
3. 是正定阵，则的主对角线上元素都大于零．但反之不真．
例
，
都不是正定阵．
正交阵中的反例
正交阵[2]是指满足条件的阶实数矩阵．
1. 我们知道正交阵之积仍为正交阵，那么正交阵之和是不是正交阵？
例 以下两个阶矩阵
，
都是正交矩阵，因为，，但

而

所以正交阵的和不一定是正交阵．
2. 若是正交阵，则，但反之不真．
例
，，
而，
，
，都不是正交阵．
等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵
定义1.2 设是数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于．
定义1.3 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到．
定义1.4 数域上矩阵，成为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使
．
1. 合同矩阵一定是等价矩阵，但反之不真．
例 取

与等价，因为

假设与合同，即存在可逆矩阵，使得．
设
，
则
，
故

则
，（矛盾），
故不存在可逆阵，则与不是合同的．
2. 相似矩阵一等是等价矩阵，但反之不真．
例 仍取

则与等价．
若与相似，则存在可逆阵，使得，又，故与不相似．
3. 相似矩阵未必合同．
例
，，
则取
，，
可得，即与相似．
假设与合同，设
则

那么
；；；
整理得，
；（矛盾），
故与不合同．
4. 合同矩阵未必相似．
例 取
，
，
故与合同．又，则与不相似．
5. 可逆，则有与相似，但反之不真．
例
，
显然，有与相似，而不存在逆矩阵．
1.2 多项式中的反例
多项式是代数学中最基本的对象之一，在进一步学习其他数学科目时也能遇到，本章主要讨论数域上的一元多项式，并举出有关反例．
1．定理 如果，那么就能整的组合，即．
反之不真．即能整除的组合，未必能整除每一个
．
例 令
而 ，
，
显然 ，
但 ．
定义1.5 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积．
2．不可约多项式，则有或．
是不可约多项式的限制是有必要的，否则即可举出反例：
例 令
显然有
但 ，．
定义1.6 不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而．
3．若不可约多项式是的重因式（），则是的重因式．
反之不真．
例 令
则
是的2重因式，但不是的3重因式，事实，就不是的重因式．
定义1.7 如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式．
4．本原多项式不一定是不可约的．
例 是本原多项式，但,是可约的．
5．设，是整系数多项式，且是本原的，若，其中是有理系数多项式，则一定是整系数的．
我们说，限制为本原的条件不可少，否则就可能有不是整系数的．
例 取 ，
而
那么 ．
6．爱森斯坦判别法：当是一个整系数多项式，存在一个素数使得
ⅰ）;
ⅱ）
ⅲ）．
那么在有理数域上是不可约的．
但是当找不到这样的素数，我们能不能就说是可约的．答案是不能的，如有反例．
例 令 ，
对来说找不到满足条件的素数，但是可约，不可约．
1.3 线性空间中的反例
线性相关性
定义1.5 线性空间中向量称为线性相关，如果数域中有个不全为零的数，使
．
1. 不能由线性表示，是否一定线性无关？
例 ，，
明显的是不能由线性表出，然而线性相关．
2. 若线性无关，则其中任意两个不同的向量必定线性无关，反
之如何？即两两线性无关，是否全部线性无关？
例 ，，，
这里任意两向量线性无关．可是，，即线性相关．
所以，两两线性无关，不一定全部线性无关．
子空间
3. 子空间的直和都是和，而子空间的和未必是直和．
例 ，是实数域．
，．
显然
对任意的，

只要，就是两种不同的表示方法．所以，不是直和．
1.4 线性变换中的反例
1. 线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，但反之不真．
例 变换就把线性无关的向量组变为线性相关的向量组．
2. 线性变换的乘法不满足交换律．
例 在实数域上的线性空间中，线性变换

的乘积，，而一般说来．为单位变换（恒等变换）
3. 线性变换乘积的指数法则不成立，即一般来说，
例 线性变换
，
取，则
，
；
；
即成立．
4. 相似矩阵有相同的特征多项式，但反之不真．
例
，
，
即有相同的特征的多项式，可是与不相似，这是因为

这就是说，只能与相似．
定义1.6 设是数域上线性空间的线性变换，是的子空间．如果中的向量在下的像仍在中，我们就称是的不变子空间，简称子空间
5. ，是线性空间的线性变换．若，则，都是子空
间，同样，是子空间,反之不真．
例 是数域

而

都是线性变换．
易知 ， 都是子空间；
， 都是子空间．
可是

因而．

第二章 数学分析中的反例
数学分析也是数学专业的一门重要基础课之一, 是进一步学习数学其他课程的基础．它是一门逻辑性很强的课程，它有许多重要的概念都是用抽象的数学语言来描述的, 在学习过程中很难理解其中含义, 因此在学习中经常使用反例来理解学习中时常出现的错误, 充分理解一些定理和概念．
这部分对课本中容易出现错误的概念和定理用反例来加深理解和学习．
2.1 数列中的反例
1. 定理[3]：设，，则
ⅰ）；
ⅱ）；
ⅲ）．
那么，对于两个发散的数列，是否有：（1）之和发散；（2）之积发散，（3）其商发散？
答案是不成立，有反例可以说明．例如，
(1)，．
因为，，则发散的，是发散的．但是数列

却是收敛的．
(2)，．
这两个数列都是发散的，但是数列

却是收敛的．
(3)，．
这两个数列都发散，但是

是收敛的。
2. 定理 有极限存在的数列必有界．
反之不真，存在反例．
例 数列
数列在0和2之间跳动，但当时，并不能接近于一个常数，因此极限并不存在．
3. 定理 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在．
然而，收敛数列单调有界，是否成立呢？不成立，存在反例：收敛但是不单调的数列．
例 ，
其极限，但是对于任意正整数，都有
，，
即，．所以，数列并不单调．
4. 若，，反之是否成立？
反之不成立，例如，
．
，但是不存在．
5. 若收敛，是否 就收敛？
不能断定，存在反例．例如，
，
收敛，但是发散
6. 若，中一个是收敛数列，一个是发散数列，那么和
是否也是发散数列．
例 取 ，，
则 ，，
故和是收敛数列．
2.2 函数中的反例
函数的极限
1. 定义2. 1[4] 设在点附近（除点外）有定义, 是一定数．若
对任意给定的，存在 ，当时, 有
,
则称是当趋于的极限．
（1）我们会认为如果在点处有极限, 在就有定义．根据定义：在点附近（除点外）有定义，这说明函数 在是否存在极限与函数在处是否有定义无关．
例
在处虽然无定义，但．在处无定义, 但极限是存在的．
（2）若在处有定义, 但在处的极限与在处的函数值无关．
例
，
尽管在处有定义，但在时极限不存在．
（3）在函数极限定义中将改为，是否有？结论是不成立的．
例 ，，，
则，，当时, 总有

成立,但．
2. 如果存在，但不存在，那么不存在[6]．
此命题错误，存在反例．
例
，
因为 不存在，，但
．
3. 若函数，则，但反之不真．
例

；
，
．
故不存在．
函数的连续性
1. 定义2.2[4] 设函数在在包含一个开区间有定义,如果
,
则称在是连续的．
有定义可见，在点连续需要满足下列三个条件[4]:
ⅰ)在点附近以及点有定义；
ⅱ) 在点的极限存在；
ⅲ) 极限值等于．
三个条件任何一个不满足都不能说明连续．
(1)若在点没有定义．
例 在点无定义，但是此函数在点不连续．
(2) 若 在点的极限不存在．
例 ,不存在，从图像[3]可看出此函数在点不连续．
（3）若极限值不等于．
例
，
，从图像[2]可以看出此函数在点不连续．
2. 两个连续函数的和一定是连续函数，但是逆命题不成立．存在反例．
例
，

对于任意一个有理数和一个无理数，都有：
,
所以，，在区间内处处不连续，然而它在区间内连续．
3. 两个连续函数之积是连续函数．但是逆命题不成立，存在反例．
例
，

对于任意一个有理数和一个无理数，都有：
，
，
所以，，在区间内处处不连续，然而它在区间内连续．
2.3 微商与微分中的反例
微商
1. 一阶微分具有形式不变性，高阶微分是否也具有形式不变性呢？即公式
，是否成立？请看下例：
设，有．又若，则复合函数，故
．
但 ．
所以高阶微分不具有形式不变性．
2. 定理 若在点可导，则在点连续．
但如果在点连续，是否在点可导？答案是否定的
例 ，
它在点连续，但是它在处不可导，因为，
，
，
．
故不存在，即不可导．
微分中值定理
1. 定理 若在闭区间上连续，则在上有最大值和最小值，
即存在，使得分别是在上有最大值与最小值：
，
．
函数存在最值，必须要在闭区间上的连续函数才成立．
例 ，在区间上是连续的，其值域为，不存在最大值和最小值．
2. 定理（罗尔定理）：若在闭区间连续，在开区间可导，且
，则在中存在，使得．
定理中的三个条件缺一不可．
（1）缺少条件“在闭区间连续”．
例 ，满足在可导，，但也没有，使得，这是因为在不连续．
（2）缺少条件“在开区间可导”．
例 ，在区间连续，且，但是不存在，使得，
因为在处不可导．
（3）缺少条件“”．
例 ，它在区间连续，在可导，但是，显然不存在，使得．
2.4 微积分中的反例
1. 定理（可积函数必有界）若在可积，则在有界．
有界函数不一定可积．
例 狄利克雷函数：
，
在是不可积的．
2. 函数在区间上一致连续，则函数一定连续；但是逆命题不成立．
例

在区间上连续，但是不一致连续，由于，存在，对任意，存在满足，但．取
，，
则
，
而

故对，及任意，都存在，使得但．
这就证明了在不一致连续．
2.5 级数中的反例
数项级数
1. 定理 若级数收敛，则一般项趋向于0，即．
若，并不能断定收敛．例如级数
．
，但级数是发散的，因为前项部分和
（当）
2. 定理 若级数收敛，则收敛．但是由级数发散，不能推出
发散．
例 交错级数
，
是收敛的，但是发散的．
3. 若级数收敛，则级数收敛．
但反之不真．
例 级数收敛，但是发散．
4. 判断下列命题，错的请举出反例：
(1)若发散，则不趋于；
命题错误．例如，

发散，但对于．
（2）若，则收敛；
命题错误．例如，
，
但是发散．
（3）若收敛，则收敛；
命题错误．例如，

收敛，但发散．
（4）若收敛，，则收敛．
命题错误．例如，
，
收敛，但

发散．
（5）若收敛，则收敛；
命题错误．例如，

收敛，但发散．
（6）若收敛，，则；
命题错误．例如，

收敛，的一个子列，则有，所以．
函数项级数
1. 定理（逐项求导） 若在有连续的微商，
在逐点收敛到，在一致收敛到，则在可导，且
．
事实上，在一致收敛的条件是不可少的，例如函数项级数
，
由于，，知在成立，但

显然，这是由于在不一致连续的缘故．
幂级数
在学习幂级数中, 我们总认为[5]:如果幂级数的收敛半径为，那么一定有．这是错误的，因为有可能不存在．
请看下例：取

因为，而收敛．所以级数收敛，但
，，，
故不存在．
而 ，
显然与的收敛半径均为2，故幂级数的收敛半径为．
2.6 偏导数与全微分中的反例
我们把函数在某点连续、存在偏导数以及可微之间的关系简单的总结如下：
两个偏导数都连续可微连续．
逆过来均不成立．反例如下：

在原点的连续性，可微性，偏导数的连续性？
（1），故在原点连续；
（2）根据偏导数的定义：
，
．
则
,
从不同方向趋于原点的极限不同，故偏导数在原点不连续；
同理可得，偏导数在原点不连续．
（3）有（2）可得，，
若函数在原点可微，则按可微定义有，

是比高阶的无穷小量．所以考察极限

是否存在．
下面考察函数的极限：
当沿直线趋近于点时，极限为

当沿不同的直线趋于原点，所得极限值不同，故的不存在，也就是也不存在，故在原点不可微．
以上例子说明，函数在一点连续，不一定在这点可微，偏导数在这点也不一定连续．

致 谢
大学四年生活一晃而过，当我写完这篇毕业论文的时候有一种如释重负的感觉，感慨良多．首先诚挚的感谢我的论文指导老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文．本论文从选题到完成，每一步都是在指导老师的指导下完成的，倾注了老师大量的心血．在此，谨向孔老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！孔老师扎实的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远．
还有教过我的所有老师们，你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；感谢大学四年来陪伴和支持我的朋友们，有了你们的支持、鼓励和帮助，我才能充实并快乐的度过大学四年．

参考文献
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[4] 马昌秀．反例在数学分析教学中的应用．新疆师范大学学报（自然科学学报）[J]．2012.12．29(4):111-113．
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[6] 王德印．反例在高等数学教学中的作用与应用．电大理工[J]．2011.6．2:47-48．
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二〇一〇年九月二十日
致 谢

时间飞逝，大学的学习生活很快就要过去，在这四年的学习生活中，收获了很多，而这些成绩的取得是和一直关心帮助我的人分不开的。
首先非常感谢学校开设这个课题，为本人日后从事计算机方面的工作提供了经验，奠定了基础。本次毕业设计大概持续了半年，现在终于到结尾了。本次毕业设计是对我大学四年学习下来最好的检验。经过这次毕业设计，我的能力有了很大的提高，比如操作能力、分析问题的能力、合作精神、严谨的工作作风等方方面面都有很大的进步。这期间凝聚了很多人的心血，在此我表示由衷的感谢。没有他们的帮助，我将无法顺利完成这次设计。
首先，我要特别感谢我的知道郭谦功老师对我的悉心指导，在我的论文书写及设计过程中给了我大量的帮助和指导，为我理清了设计思路和操作方法，并对我所做的课题提出了有效的改进方案。郭谦功老师渊博的知识、严谨的作风和诲人不倦的态度给我留下了深刻的印象。从他身上，我学到了许多能受益终生的东西。再次对周巍老师表示衷心的感谢。
其次，我要感谢大学四年中所有的任课老师和辅导员在学习期间对我的严格要求，感谢他们对我学习上和生活上的帮助，使我了解了许多专业知识和为人的道理，能够在今后的生活道路上有继续奋斗的力量。
另外，我还要感谢大学四年和我一起走过的同学朋友对我的关心与支持，与他们一起学习、生活，让我在大学期间生活的很充实，给我留下了很多难忘的回忆。
最后，我要感谢我的父母对我的关系和理解，如果没有他们在我的学习生涯中的无私奉献和默默支持，我将无法顺利完成今天的学业。
四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。
回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。
学友情深，情同兄妹。四年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。
在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。
最后，我要特别感谢我的导师赵达睿老师、和研究生助教熊伟丽老师。是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，给了我很多解决问题的思路，在此表示衷心的感激。老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢他耐心的辅导。在论文的撰写过程中老师们给予我很大的帮助，帮助解决了不少的难点，使得论文能够及时完成，这里一并表示真诚的感谢。
目 录
第一章 项目总论 1
一、项目基本概况 1
二、项目业主简介 2
三、研究内容 2
四、主要编制依据 3
五、项目主要技术经济指标 3
六、研究结论 4
第二章 项目建设背景与必要性 5
一、项目建设背景 5
二、项目建设必要性 7
第三章 项目选址与建设条件 10
一、项目选址 10
二、项目建设条件 10
第四章 建设规模及内容 13
一、确定规模的依据和原则 13
二、建设规模及内容 13
第五章 工程方案 14
一、设计依据 14
二、总平面设计 14
三、建筑设计 17
四、结构设计 18
五、给排水设计 20
六、电气设计 22
七、电信设计 23
八、防火设计 24
第六章 环境保护与绿化 25
一、设计原则 25
二、设计依据 25
三、主要污染来源及防治措施 25
四、绿化 28
第七章 节能设计 29
一、设计概述及要求 29
二、建筑和建筑热工节能设计 29
三、给排水 29
四、电气节能 30
第八章 建筑消防设计 32
一、工程概述 32
二、总图消防 32
三、建筑消防 32
四、结构防火 32
五、消防给水 32
六、消防电气 33
第九章 防灾减灾 35
一、总图 35
二、建筑 35
三、结构 35
四、地质灾害防范 35
五、地震防治 35
六、电气安全 35
第十章 项目实施进度及招投标方案 36
一、工程建设进度 36
二、招投标方案 36
第十一章 投资估算及资金筹措 38
一、投资估算范围 38
二、投资估算依据 38
三、项目投资估算 38
四、资金筹措 42
第十二章 经济及社会效益分析 45
一、社会影响分析 45
二、资源环境影响分析 46
三、互适性分析 47
四、社会效益 47
五、经济效益分析 48
第十三章 结论与建议 49
一、结论 49
二、建议 49