数学期望在实际生活中的应用.doc

邵阳学院毕业设计（论文）

毕业设计(论文)

课 题 名 称 数学期望在实际生活中的应用
学 生 姓 名 刘飞飞
学 号 1040802021
系、年级专业 理学系10级信息与计算科学
指 导 教 师 黄卫平
职 称 教授

2014 年 04 月 15 日

摘 要

数学期望是一门重要的数学学科，它是随机变量总体取值的平均水平，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。在现代快速发展的社会中，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域扮演越来越重要的角色，应用越来越广泛。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用，包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果，更清楚的认识到数学期望的广泛应用性及其重要性。通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。
关键词：数学期望；随机变量；应用；预测；决策

I

邵阳学院毕业设计（论文）

Abstract

Is an important mathematical ecpectation of mathematics, which is the overall average value of the random variable, which is one of the important characteristics of the digital random variables, is one of the basic characteristics of a random variable. In the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important branch of probability theory play an increasingly important role in many areas, more and more widely. Through several examples to explain the mathematical expectation in real life applications, including some examples of economic decision-making, lottery, job decisions, health care, sports and other aspects, so that we can use the scientific method to quantify the evaluation of balance the expectation maximization and minimization of the risk of conflict, we expect to achieve the best results, a clearer understanding of the mathematical expectation of a wide range of applications and its importance. By exploring the mathematical expectation in real life applications, in order to play to let everyone know the rich heritage of knowledge and human practice closely linked, personal experience to "Math really useful". The so-called mathematical expectation is actually seeking to find a random variable with probability-weighted average of the number of rights. We mean this concept is most commonly used in the practical application of an indicator , it is used in predicting a scientific nature.
Key words: Mathematical expectation; Rondom variables; Application; Prediction; Decision making

II

目 录

中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ⅰ
英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ⅱ
前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
1. 数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
1.1数学期望的由来．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
1.2数学期望的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
1.3随机变量的函数的数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
1.4条件数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3
2. 数学期望在实际生活中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4
2.1决策问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4
2.1.1生产批量问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4
2.1.2货物出口问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5
2.1.3求职决策问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
2.1.4投资风险问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7
2.1.5方案决策问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
2.1.6活动选择问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
2.2疾病普查问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12
2.3赌局问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13
2.4保险赔偿金问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14
2.5体育比赛问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15
2.6旅游收益问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17
2.7警方破案问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．18
3. 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20
致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21

前 言

概率论起源于意大利文艺复兴时期，在当时的意大利就已经建立了预防意外的商业保险组织。为使商业保险机构获得最大利润，就必须研究个别意外事件发生的可能性，即研究事件发生的概率，或称机遇律（率），或然率，根据个别意外事件发生的概率去计算保险费与赔偿费的多少。不过当时的研究只求实用，尚未形成严格的数学理论。后来，在著名科学家Galileo, Pascal, Fermat, Laplace, Bernoulli, Helley等人的努力下，才基本建立起一个较为严格、完整的概率论体系。现在，概率论正以其独特作用为社会做出贡献，它在自然科学与社会科学的许多领域中得到广泛的应用；它在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、医学、地质学、空间技术、气象与灾害预报以及许多新兴学科与边缘学科都作出了非常重要的贡献,也日益深入到我们工作、学习、生活中。
数学期望是概率论中的小部分知识，数学期望反映的是随机变量总体取值的平均水平，是随机变量的重要数字特征之一。随着经济的迅速发展，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用。生活中许多问题具有随机性，研究其概率分布并不容易，可研究其数学期望来进行解决，所以数学期望在实际生活中有着巨大的作用，正因为数学期望在实际生活中起着巨大作用，才引起了我的兴趣研究数学期望及其应用，以至于更深入的了解数学期望及其广泛应用性和重要性。本课题的目的就是通过实际生活中具体的例子，反映数学期望在实际生活中广泛的应用，并提供了重要的理论依据，体现数学期望的广泛应用性及其重要性。

1.数学期望
1.1数学期望的由来
早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，无平局。比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为
或者分析乙获胜的概率为.
因此由此引出了甲的期望所得值为法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
1．2数学期望的定义
定义1 设离散型随机变量的分布率为：

若级数绝对收敛，则称级数的值为离散型随机变量的数学期望，记为，即
.[1]
定义2 设连续型随机变量的概率密度为，若积分

绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为，即
.[1]
1．3随机变量的函数的数学期望
定理 设是随机变量的函数：（是连续函数）。
（1）是离散型随机变量，它的分布率为，若绝对收敛，则有
;
（2）是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有
.[1]
1．4条件数学期望
定义1 设为二维离散型随机变量，其分布为：

若级数绝对收敛，则称其和为在条件下的条件数学期望，记为，即
.
类似地，在条件下的条件数学期望可定义为：.[2]
定义2 设为二维连续型随机变量，在条件下的条件密度函数为，若积分绝对收敛，则称其值为在条件下的条件数学期望，记为，即
.
类似地，在条件下的条件数学期望可定义为：
.[2]
2．数学期望在实际生活中的应用
随机变量的分布函数或分布率、概率密度函数都能全面地反映随机变量的特征，但在实际问题中，有时并不需了解随机变量的全面情况，只需知道它的重要特征。[4]
2．1决策问题
在经营管理决策中，有时按某项指标的大小比较各种备选方案的优劣.如果这些指标受到随机因素的影响，则可按各方案某项指标的数学期望的大小来做出最优决策。[4]因此,可利用随机变量的数字特征数学期望来求解一些经济决策问题。
2．1．1生产批量问题
某企业为了确定今后5年内生产某种服装的批量，以便及早做好生产前的各项准备工作。根据以往的销售统计资料及市场调查预测，未来市场销路好、中、差三种状况的概率分别为0.3，0.5和0.2。若按大、中、小三种不同生产批量投资，今后5年不同销售状态下的益损值如下表：
状态
销路好
销路中
销路差
概率
0.3
0.5
0.2
大批量益损值
20
14
-2
中批量益损值
12
17
12
小批量益损值
8
10
10
试作出定量分析，确定今后5年最佳生产批量。
分析：虽然益损值的分布未知，但由于它的数学期望表示平均值，在三种状态的平均值是可求的，故可用它作为评判的标准。
解：计算三个批量的益损值的数学期望：

由上述数据可见，中批量生产的益损均值最大,即中批量生产获益最大。故应选择中批量生产较为合适。
数学期望在物流管理方面有着许多应用，采购管理、库存管理、生产物流管理等都要计算出获利的数学期望值从而做出决策，上面举出了通过离散型随机变量的数学期望计算损益值数学期望决定生产批量一例，比较三个批量哪个批量使得利益最大，即为最佳批量。
2．1．2货物出口问题
国家出口某种商品，假设国外对该商品的年需求量是随机变量，且知单位：。若售出则得外汇3万元；若售不出，则花保养费1万元，问每年应准备多少商品，才能使用国家收益的期望值最大？最大期望值为多少？
分析:由于该商品的年需求量是随机变量，且，收益也是随机变量，它是的函数，称为随机变量的函数。本问题涉及的最佳收益只能是收益的数学期望即平均收益的最大值，此题可通过随机变量函数的数学期望进行求解。
解：设每年准备商品,显然有，收益是的函数为

即
又因为随机变量的概率密度为

所以

期望值最大时，有

求得
即当时，国家收益的期望值最大。
最大期望值为

所以国家收益的最大期望值为8250万元。
随着经济不断发展，货物的进出口在国家经济中占有举足轻重的作用，无论进口还是出口货物，都是优先考虑国家收益数学期望值来决定进货量和备货量，货物出口问题是通过随机变量的函数的数学期望求解国家收益的最大值，即通过年需求量X的收益函数Y数学期望值决定备货量。
2．1．3求职决策问题
有三家公司为大学生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A,B,C。每家公司都可提供极好、好和一般三种职位。每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位。按规定，双方在面试后要立即作出决定提供、接受或拒绝某种职位，且不许毁约。咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能机率依次为0.2，0.3和0.4，还有0.1的机率为没有获得职位，即没有工资。三家公司的工资承诺表如下：
公司
极好
好
一般
A
3500
3000
2200
B
3900
2950
2500
C
4000
3000
2500
如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？
分析：由于面试从A公司开始，甲在选择A公司三种职位时必须考虑后面B,C公司提供的工资待遇，同样在B公司面试时，也必须考虑C公司的待遇。因此我们先从C公司开始讨论。
解：C公司的工资期望值为

再考虑B公司，由于B公司一般职位工资只有2500，低于C公司的 平均工资，因此甲在面对B公司时，只接受极好和好两种职位，否则去C公司。如此决策时甲工资的期望值为

最后考虑A公司，A公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受A公司的极好职位。否则去B公司。
甲的整体决策应该如此：先去A公司应聘，若A公司提供极好职位就接受之。否则去B公司，若B公司提供极好或好的职位就接受之，否则去C公司应聘任一种职位。在这一决策下，甲工资的期望值为

大学生毕业后即将而至的就是求职，面对社会上各企业可提供的工作，我们都会根据自己的实际能力来决定自己能够从事的工作，求职决策问题就是根据三家公司所提供的职务、待遇及面试时间顺序和自己工作能力来判断决策，比较三个公司提供的什么职位使得自己既能得到最多的工资待遇，也能在面试时及时做出决定。
2．1．4投资风险问题
以买股票为例，这样投资可以迅速地实现资金的增值，但是风险比较大，这就需要进行正确的决策，看哪一种投资方式期望获得的收益最大。
某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%，50%，20%。试问该投资者应选择哪一种投资方案？
分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。因此，要确定选择哪种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值进行判断。
解：由题设，买股票的分布律为
状态
经济形势好
经济形势中等
经济形势不好
收益
40000
10000
-20000
概率
0.3
0.5
0.2
购买股票收益的期望值为：

由于存入银行收益与经济形势无关，所以其收益期望值为：

因此，按期望收益最大原则，应选择购买股票。按风险决策中的期望收益最大的准则选择方案，这种作法存在风险。
投资指的是用某种有价值的资产，其中包括资金、人力、知识产权等投入到某个企业、项目或经济活动，以获取经济回报的商业行为或过程。投资者的收益取决于经济形势的好坏，此例子假定各经济形势的概率来计算收益的数学期望值只能作为参考，在实际生活中，投资具有一定的风险，预测的经济形势概率计算的收益期望值并不能直接来决定投资方案，只能作为投资的一种参考条件。
2．1．5方案决策问题
某品牌服饰根据以往的资料，预测服饰在未来一段时间内畅销的概率为0.4，滞销的概率为0.6，现有三种销售方案：
一、打折处理，预计在商品畅销时可获利8万元，在商品滞销时可获利2万元。
二、走批发市场销售经营，预计在商品畅销时可获利6万元，在商品滞销时可获利3万元。
三、对商品重新加工改进，做广告宣传，仍按原价销售，预计在商品畅销时可获利10万元，在商品滞销时会损失2万元。
为了做出正确决策，先进行了一段时间的试销，发现原来认为畅销的商品实际畅销的概率为0.6，实际滞销的概率为0.4；原来认为滞销的商品实际畅销的概率为0.3，实际滞销的概率为0.7，根据这些资料，分析采用哪种销售方案最佳。
分析：决策方案先要计算出在实际畅销条件下的预测概率和在实际滞销条件下的预测概率，然后考虑实际畅销商品采取三种方案的利润均值进行比较，和实际滞销商品采取三种方案的利润均值进行比较，即比较三种方案在同等条件下的条件数学期望，决定出最佳的销售方案。
解：设为采取第一种方案的利润，为采取第二种方案的利润，为采取第三种方案的利润；用表示实际畅销，表示实际滞销；表示预测商品畅销，表示预测商品滞销。
由题意知， ,
,,,
由Bayes公式有：

因此，实际畅销商品分别采取三种方案的利润均值为

实际滞销商品分别采取三种方案的利润均值为

比较上述利润均值，无论是实际畅销还是实际滞销的商品，采取第一种销售方案的利润均值最大，所以采取第一种方案最佳。
在经营决策中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况做出合理的预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。此题是根据以往的销售情况及最新的试销信息资料进行综合分析做出决策，某种商品畅销或滞销都应根据分析来预测，再根据预测的可能概率分别计算各种方案的利润在畅销和滞销条件下的数学期望值，即条件数学期望，然后比较利润的大小选取决策方案。
2．1．6活动选择问题
许多超市为吸引顾客，采取有买又送、抽取奖品、减免等活动，大量的销售商品来获取利润。
某大型超市五一期间举行三种回馈活动，在活动期间购物金额满88元可参加以下三种活动中的任一种而且只可参加一种，
一、随机送价值为30元的天堂太阳伞或价值为25元的天堂雨伞。
二、可进行一次抽奖，百分之百中奖，奖品分为五种：
一等奖：苏泊尔电饭煲一件，价值为339元；10个
二等奖：苏泊尔电水壶一件，价值为199元；50个
三等奖：多芬沐浴液一瓶，价值为49元；160个
四等奖：蓝月亮洗衣液500g，价值为14元；280个
五等奖：环保购物袋一个，价值为6元；500个
三、可减免15元金额。
现有一位顾客购物金额达96.2元，可参加任一种活动，且在抽奖活动中是第一位参加抽奖的顾客，试求这位顾客参加哪种活动最划算？
分析：计算出三种活动获得回馈的平均期望值，比较大小
解：设顾客参加第一、二、三种活动获得回馈的价值分别为、、
第一种活动是随机送出礼品，获得两种礼品的概率分别为、
则的分布律为

30
25

元
第二种活动是抽取奖品，奖品一共有1000个，抽取五种奖品的概率分别为 ， ，
，，

则的分布率为

339
199
49
14
6

元
第三种活动是减免15元金额，减免的概率为1
元
比较大小发现抽奖活动最划算，但从稳定方面考虑，送礼品的活动最实际。
超市举行回馈活动在生活中是极其普遍的，这里主要应用了数学期望来比较三种活动获得回馈的平均值。
所以，在实际生活中，无论生产、货物进出口、经营管理、求职、投资、方案决策、超市优惠活动选择等问题都需做出选择，根据收益的数学期望值来进行决策。
2．2疾病普查问题
在检验室或防疫站 ,经常会对某地区的自然人群针对某种疾病进行普查 ,一般情况下采用逐人检查 ,但当人员众多而发病率相对来说较低时 ,应用分组检验的方法能大大地减少检验的次数。
（一种验血方法）在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验个人的血。可以用两种方法进行：（1）将每个人的血都分别去验，这就需验次；（2）按个人一组进行分组，把从个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明个人的血都呈阴性反应，这样，这个人的血就只需验一次。呈阴性，则再对这个人的血液分别进行化验。这样，个人的血总共要化验次。假设每个人化验呈阳性的概率为,且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当很小时，选取适当的值，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明取什么值时最适宜。
分析：每个人化验呈阳性的概率为，那每个人化验呈阴性的概率为。故人的混合血呈阴性的概率为，个人的混合血呈阳性反应的概率为。
解：设以人为一组时，组内每人化验的次数为，则是一个随机变量，其分布律为

则的数学期望为

由此可知，个人平均需化验次数为，若要是化验次数小于，则只须

故可选适当的值，在固定条件下，使达到最小，此即为所求。
例如，则，当时，取得最小值。此时得到最好的分组方法。若，此时以分组，则按第二方案平均化验次数仅为
这样平均来说，可以减少40%的工作量。
此题为一种新的验血方法，讨论了数学期望理论在疾病普查中的应用，得出当自然人群的患病率较低时的分组方法，大大减少工作量，从而使工作效率得到很大提高，增加经济效益。
2．3赌局问题
某人设一赌局。在袋中装有20个同样大小的球，其中10个红色的，10个白色的的，每位参赌者从中任取10球，观察其颜色后决定付钱多少如下表：
10红或
10白
9红1白或9白1红
8红2白或8白2红
7红3白或7白3红
6红4白或6白4红
5红5白
1000元
100元
10元
1元
-2元
0元
其中-2元表示参赌者付与设赌者两元，其余均为设赌者付与参赌者，试问参赌者每摸一次球，平均赢钱多少？
分析：从袋中任取10球，出现不同颜色其概率可由古典概型计算公式计算得来，10红或10白的概率为，9红1白或9白1红的概率为，8红2白或8白2红的概率为，7红3白或7白3红的概率为，6红4白或6白4红的概率为，5红5白的概率为.
解：设随机变量为参赌者摸一次球获得金额数，即可能取值为1000，100，10，1，-2，0，其分布律为

1000
100
10
1
-2
0

其数学期望

可见每位参赌者平均不是赢钱，而是输钱。
设赌者为吸引更多人参赌，把最高奖设为10000元（10红或10白），而参赌者每次付出金额为10元（6红4白或6白4红），计算出设赌者每次平均输钱元。易见这一赌局乃骗局，切不可参与。
生活中，设赌者往往开出诱人的赢钱金额来吸引参赌者，乍看之下赢钱的可能有四种，输钱只有一种可能，还有一种可能既没输钱也没赢钱，从概率角度，金额越大概率越小，计算获得金额的数学期望值会发现赌局往往只是骗局，靠金额的数量吸引人的骗局，所以切不可盲目参与。
2．4保险赔偿金问题
保险机构是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了恰当地估计企业的收支和风险，需要计算各种各样的概率，下面的赔偿金的确定问题，就是数学期望在保险企业的简单应用。
据统计，某年龄的健康人在5年内死亡的概率为，某人寿保险公司准备开办该年龄段的5年人寿保险业务，预计有2500人参加保险，条件是参加者需交保险金元（待定），若5年之内死亡，公司将支付赔偿金元（待定），便有以下问题：
（1）若需交保险金元，试确定公司将支付多少元赔偿金才能使保险公司期望盈利？
（2）若赔偿金为元，欲使保险公司获利盈利20万元时，每位参保者至少需交保险金为多少元？
解：设表示保险公司在每一个参保者身上所得的收益，为随机变量。
（1） 由题已知，需确定，此时服从两点分布，可能取值为100，.其分布律为

100

0.98
0.02
故保险公司在每一次参保身上获得的平均收益

若要使保险公司期望盈利，则应有

于是可得（元）时，保险期望盈利。
（2） 由题已知，需确定，此时服从两点分布，可能取值为，.其分布律为

0.98
0.02
故保险公司在每一次参保身上获得的平均收益

欲使保险公司获利盈利20万元时，应有

于是可得（元）
现今社会，买保险已经非常普遍，保险赔偿金确定问题就是以保险公司角度根据买保险的人数和参保人的死亡概率来确定参保人应交多少保险金、公司应支付多少赔偿金来使公司盈利的问题。
2．5体育比赛问题
众所周知，乒乓球是我们的国球，中国队在这项运动中更具有优势。
假设韩国队和中国队比赛，赛制有两种：（1）双方各出3人，三场两胜制；（2）双方各出5人，五场三胜制。哪一种赛制对中国队更有利?
分析：由于中国队在这项比赛中的优势，可假设中国队中每一位队员对韩国队员的胜率都为60%。根据前面的分析，下面我们只需要比较两个队对应的数学期望即可。
解：（1）在三场两胜制中，中国队要取得胜利，获胜的场数有2、3两种结果。应用二项式定理可知，恰好获胜两种（即其中一场失利）对应的概率：

三场全部获胜对应的概率:

设随机变量为三场两胜制下中国队在比赛中获胜的场数，则的分布律为

2
3

0.432
0.216
随机变量的数学期望为

（2）在五场三胜制中，中国队要取得胜利，获胜的场数有3、4、5三种结果。恰好获胜三场（即其中两场失利）对应的概率：

恰好获胜四场（即其中一场失利）对应的概率：

五场全部获胜对应的概率：

设随机变量为五场三胜制下中国队在比赛中获胜的场数，则的分布律为

3
4
5

0.3465
0.2592
0.07776
随机变量的数学期望为

比较两个期望值，得
所以我们可以得出结论，五场三胜制对中国队更有利。
乒乓球是中国的国球，在比赛中胜利的可能性大，为使比赛更有把握获得胜利，从赛制上就更要比较哪种赛制取胜更有可能。应用二项式定理分别计算出三场两胜制胜利的概率和五场三胜制胜利的概率，通过比较两种赛制获胜的场数发现五场三胜制对中国队更有利，使中国队获胜几率更大。
2．6旅游收益问题
近年来，随着科学技术的发展，航空、酒店、旅游服务等领域也随之发展。外出旅游已随着生活水平的提高日渐普遍了，旅游行业也随之发展迅速，假期旅游更大大提高了收益。
十一黄金周是许多人外出旅游的好时段，许多景区也会随之出现客流量剧增现象。现有某景区根据以往数据分析得该景区一般容纳客流量服从（单位：万人）上的均匀分布，根据预定票人数预测黄金周该景区实际客流量服从（单位：万人）上的均匀分布，若实际客流量不超过该景区一般容纳客流量，票价会持续保持为80元/人；若超过，票价将提高至100元/人，以控制客流量增长。试求该景区在十一黄金周这一时段平均门票收益。
分析：由于景区容纳量受到一定的限制，所以应先考虑收益在景区一般容纳客流量条件下的条件期望，再通过全期望公式：求解平均收益。
解：根据题意，该景区一般容纳客流量（单位：万人）
该景区实际客流量（单位：万人）
设该景区门票收益为Z万元
则有
即
当X=x给定时，是关于的函数
当5<x<5.8时

当5.8<x<6.2时

由全期望公式有

所以，该景区在十一黄金周这一时段平均门票收益为433.778万元。
景区门票收益问题主要应用了连续型条件数学期望和全期望公式对平均收益进行求解，全期望公式是条件数学期望的重要性质，也是求解平均值的重要方法。
2．7警方破案问题
若以与分别表示中国成年人的身高与足长，则就表示足长为y的中国成年人的平均身高。
解：一般服从二维正态分布
随机向量概率密度

有边缘分布，

当时，的密度函数为

所以，已知时，
于是，
同理
实用上，运用数理统计中的参数估计方法，可从一定量的实测数据得出，，，，的估计值，于是就可估计出。
对于成年男性来说，警方科研人员通过研究得到

这是根据足长预测身高的一个经验公式（单位：cm），对破案起着重要作用。
数学期望作为数学随机变量最重要的特征数，又从一个重要的侧面描述了分布的特征，通过对数学期望的研究掌握随机变量的规律，列举数学期望在很多实际问题中的应用，让人们更充分地认识到数学期望这一数学理论可以更好地解决人们在日常生活中遇到的问题。
其实除了文中所提到的应用，在我们的生活中处处都有数学期望的影子，小到天气预报，大到火箭上天，保险业、银行业的风险预测都与概率期望息息相关。由于所学知识有限，本文只做了粗浅的总结。总之，以上实际生活中会遇到的实际问题，从各方面都说明了数学期望的广泛应用性及其重要性。
3．参考文献
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致 谢
历时两个多月的时间终于完成这篇论文，虽然在写作中遇到许多问题，但都在同学和老师的帮助下解决了，在这里感谢我的指导老师黄卫平老师，他对我们毕业论文的进行提供了指导和帮助，不厌其烦的帮助我们对论文一次次修改和改进。使我在这一段宝贵的时光中，既增长了知识、开阔了视野、锻炼了心态，又培养了良好的学习习惯。
感谢这篇论文所涉及到的学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。
行文至此，我的这篇论文已接近尾声；岁月如梭，我四年的大学时光也即将敲响结束的钟声。离别在即，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生。感谢含辛茹苦的父母，感谢一直在身边帮助的同学及老师们，是你们，一如既往的支持我，让我慢慢的成熟 ，慢慢的蜕变，谢谢你们！
大学生活即将匆匆忙忙地过去，但我却能无悔地说：“我曾经来过。”