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(完整版)中学数学开放题设计及教学策略
内容摘要
中学数学新课程新教材已经大量的引入了数学开放题，这不但早已是数学教育家关注的一个热点,而且正逐步成为广大一线数学教师所必须面对的一个教学方面问题。因为数学开放性问题的非完整性、不确定性、发散性、层次性、创新性等特点顺应了新课程改革的理念，顺应了新课程中问题解决的需要。
数学开放题有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性；能引起学生认知结构上的顺应，从而使学生认知结构发生质的变化，使他们的知识水平和数学能力得到较大程度的提高;能激发学生学习数学的兴趣，使学生乐于参与,久而久之就会成为学生主动学习的动力；有利于培养学生的创新意识与创新能力。数学开放题的诸多特点决定了数学开放题在教育教学中的诸多价值.开放题的挑战性有利于激发学生的好奇心和求知欲,开放题答案的多样性使学生可在不同水平的答案的交流中共同讨论，互相学习,不断优化，最后得出较好的答案，从而培养学生精益求精、不断探索、追求卓越的精神，并提高解题的能力。伴随着问题的解决,学生解决问题的思路更加开阔，信息流量更加丰富，知识结构更加完善,适应社会的能力不断提高。在开放学习的过程中，经过不同角度不同方法的分析、推理的训练，培养了学生综合思维的能力。而这种能力是学生继续学习的后推动因素，这对学生将来走上社会后合理处理问题是至为关键的，这正是新课程理念下教育追求的结果。
开放题教学作为一种新的教学形式,能够调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣,拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力，有利于提高学生应用数学的能力等。开放题在数学教学中的应用,它还直接关系到学生的数学观及其在数学学习中的态度和信念，这些都与当前素质教育的要求是相吻合的.因为开放题教学不仅是一个知识获得的过程、能力获得的过程，更是一种学生数学素养和人文精神形成的过程.
数学开放题是相对于封闭题的，是一种比较新颖的题型，它时常出现在中考、高考中，同时也现身于极少部分教师的课堂中，它具有不完备性、发散性、层次性、发展性、创新性、综合性等特点。
本文在分析中学数学开放题及其教学的相关理论基础上,重在对中学开放题的设计进行论述，为中学数学教学准备具体的素材。然后以学生为中心，根据建构主义，认知理论和最近发展区来探讨中学数学开放题的教学，结合具体的教学内容在实践中体验，总结归纳.以便积累较多的实例，以期为中学数学开放题教学提供一些借鉴。

中学数学开放题设计及教学策略

1中学数学开放题提出的背景
国际数学教育的发展经历了多次改革运动,从60年代的“新数运动”到70年代的“回到基础"递到80年代的“问题解决”，可以说是“历尽坎坷”。与此同时，也就是这种风雨经历造就了70年代出现的一种新型问题--数学开放题。
几经转侧，数学开放题进入我国,经历了从理论的引入到教学的实验，到大面积的推广，最终走进了各种类型的数学测验或考试.各种考试中，不少学生对此类题表现出束手无策，以致放弃这类题去花更多的时间和精力攻克难度更大更繁的问题。同时,不少老师也深感此类问题不知如何进行处理，致使以题论题,不能放开思维而拓广。
在平常的教学中，很多老师还没有很好的进行开放性问题教学或开放课堂教学，甚至还有部分老师对开放题的价值持否定态度，将开放性思维与思维的严谨对立起来。现在的新课程改革中，致使许多老师明显不适应新课标，新教材的教学，感到十分迷茫。这中间不乏对新课程中的开放性问题及其教学的无所适从，也存在本身思维的不适应。
在新课程改革的实践中,我曾参加一些活动，到不少学校听了一些实验的课堂,大家都知道新课程理念提出将开放性问题引入课堂,有利于发展学生思维的发散性，培养学生的创新意识。因此,在课堂教学中或多或少地都会引入一些开放题.
曾经在某校遇到这样一个关于开放性问题的研讨：
在小学一节“数的整除”复习课的课尾，某教师设计了这样一个题目：在1、2、4、15和28中，哪个数与众不同?在教师的引导下,学生纷纷回答:因为只有2是质数，所以2与众不同；因为只有28是4的倍数，所以28与众不同;因为只有4比1多3，所以4与众不同；因为只有15的十位上是1，所以15与众不同.教师随机小结:由此可见，每个数都与众不同，你们的每一种想法都是正确的.
课后，听课老师纷纷议论。有的说:本课引入了开放题,学生们个个踊跃参与，学习积极性明显提高，体现了“面向全体学生”这一新理念。有的说：这个题目设计得太好了，能让学生热爱问题答案的多样性，有利于打开学生的思路,培养学生的能力.还有的说：我觉得这个题目设计欠妥，将“开放性"转变成了“随意性"，有悖于我们的教学目标.更有的老师说：这样的开放太过分了，会让学生陷入“任何一种解答都是可以接受的”这一误区……
由此我与新课改的相关研究员对老师就有关开放性问题进行了一次调查问卷,如表1。
表1 数学开放题与其它题型的比较分析
题型
答案选项及各选项被选中的百分比
1.开放题与一题多解
A。一题多解是对封闭题而言的
B.一题多解题可算作开放题
C.开放题必定是一题多解题
4人选A,占16.7%
2人选B，占8.3%
18人选C，占75％
2.开放题与分类讨论题
A。开放题必是分类讨论题
B.分类讨论题必定是开放题
C.开放题与分类讨论题有区别
8人选A，占33.3%
10人选B,占41。7%
6人选C,占25％
3.开放题与探索题
A。两者没什么区别
B。探索题是开放题
C.开放题必是探索题
17人选A，占70.8%
3人选B,占12.5%
4人选C，占16.7％
4。开放题的结论与答案
A.两者没有什么区别
B.问题答案必是问题结论
C。两者是两个不同层次的问题
15人选A，占62.5％
5人选B，占20.8％
4人选C,占16.7％
5。开放题与封闭题
A。开放题与封闭题两者相互排斥
B.开放题是对封闭题的相对补充
C。开放题的育人功能比封闭题大
4人选A，占16。7%
17人选B，占70.8％
3人选C,占12。5%
6。开放题在教学中
A.应大力加强
B。应适当增加
C。不宜加强
8人选A，占33。3％
9人选B,占37.5%
7人选C，占29.2％
由上表可以看出，教师对开放题的具体情况认识不够，对开放性问题的运用等还存在一定的偏差,较以前对开放性问题的作用有一定的认可,但对开放到什么程度，与传统的封闭性问题怎样结合运用开发学生的思维，对开放题的具体价值等还不十分了解。但是，随着教育改革的深入发展,新课程改革的逐步实施，数学开放题的教育价值日益突出，新的课程标准已为数学开放题的教学搭建了平台，新课程高考也即将随之进入教师的教学中。因此,有必要对开放性问题及其教学的价值和操作予以总结介绍，以便顺利进入平常课堂，真正发挥其应有的作用。

2中学数学开放题的基本认识
目前，中学数学新课程新教材已经大量的引入了数学开放题，这不但早已是数学教育家关注的一个热点，而且正逐步成为广大一线数学教师所必须面对的一个教学方面问题.因为数学开放性问题的非完整性、不确定性、发散性、层次性、创新性等特点顺应了新课程改革的理念，顺应了新课程中问题解决的需要。
2.1中学数学开放题的产生
2。1。1中学数学开放题的国际概况
上世纪60年代以后，随着声势浩大的“新数运动”的急剧衰落，数学“回到基础”迅速成为70年代的主题，数学开放题在这种阵痛后的冷静与理性中应运而生。1971年，日本学者岛田茂、桥本吉彦、泽田利夫等27人率先研究“开放式结尾（open—ended）问题”，并于1977年发表了报告文集《算术、数学课的开放式问题—-改善教学的新方案》.至80年代，一方面“问题解决”成为数学教育的主题，另一方面以布鲁纳为首的教育家将建构主义引向深入，在此背景下,开放性问题迅速成为数学教育的一面旗帜。同时,新西兰等国家也对开放性问题进行了卓有成效的教学实验和理论分析.可以说,从首开先河的日本到美国递至新西兰等国家对开放题的实践探索和理论研究，直接促进了数学开放题的成熟并使之迅速成为一种国际潮流.
2.1.2中学数学开放题在国内的发展
在我国，数学开放题从理论的引入到教学的实验递至大面积进入数学考试,大体上经历了几个过程.
1980年，《外国教育》（第4期）发表了泽田利夫关于数学开放题的研究成果，其内容包括开放题的涵义、开放题的举例以及开放题教学的优缺点等问题，该文拉开了我国研究数学开放题的序幕。1984年，浙江教育学院戴再平教授首先运用开放题进行测试，测试发现:知识和技能的堆砌与学生的创造思维没有必然的联系。1988年，王慧斌在《外国教育资料》上介绍了日本的开智法，其中也涉及到数学开放题的一些知识，如开放题应该具备的条件等。
1990年，胡林瑞对安徽省黄山市一所中学的学生也进行了数学开放题的测试。并得出以下结论：①高中生的发散性、创造性思维与初中生没有区别；②基础知识和基本技能的增长不能作为创造性思维能力发展的充分条件，但却是创造性思维发展的必要条件；③学生的基础知识不一定能自然地转化为能力。1994年，胡启迪写文章也介绍了日本的一堂开放题教学课.
1993年，戴再平又在浙江省五所中学运用数学开放题进行教学试验，试验发现：①在中学适当增加开放题是必要的；②开放题与封闭题应该并存而不是互相排斥；③开放题所包含的事件应为学生所熟悉,通过学生现有的知识能够解决；④开放题能使学生获得各不相同的各种水平的解答；⑤开放题应体现学生的主体地位；⑥开放题应注重学生的探索过程。1994年,湖南省教研室赵雄辉运用数学开放型应用题进行了实验,实验认为:①学生对开放型应用题非常欢迎；②开放型应用题有利于培养学生运用数学的意识和探索的精神。至此，中学数学开放题教学试验开始广泛进行。
1996年2月，“开放题——数学教学的新模式"立项（1997年获得批准）为全国教育科学“九五"规划重点课题。1998年11月，课题组在上海金汇学校召开“数学开放题及其教学学术研讨会”，此次会议扩大了国际交流并形成一些理论认识。此外，上海师范大学小学教育研究所与香港合作，也进行了小学数学开放性问题的课题研究，并发表了一些有关文章。这表明数学开放题的研究进入了有计划有组织的研究阶段.
2.2中学数学开放题的涵义
2.2.1中学数学开放题的界定
数学开放题，又叫数学开放型题,或数学开放性题，学术界还没有统一的定义，查阅相关的文献资料大致分三类：
（1）条件不完备、结论不确定的数学问题称为开放题，代表性观点有:①数学开放题是相对于传统中条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题(刘萍)；②开放型问题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴涵着多种可能性,要求解题者自行推断（孙耀庭)。
（2)答案不确定的数学问题称为数学开放题，代表性观点有:①有几种正确答案似乎都带有可能性或成为未完结的问题称为开放的问题（泽田利夫)；②答案不唯一的问题称为开放题,开放题的一个显著特性是答案的多样性（俞求是）.
（3）数学开放题是指条件开放(条件在不断变化)、结论开放（多结论或无结论）、策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题.
其实,“数学开放题”并未经审定的规范的数学专业名词,它只是相对封闭题而言的,是相对于封闭题的一种否定。因而,对数学开放题内涵的认识可对比封闭性问题归纳出两个明显的特征,也是最基本的特征：一是条件不完备即条件开放；二是结论不确定即结论开放。
2.2。2中学数学开放题的分类
目前已有不少的学者依据开放题的按命题要素、解题目的、学习过程、问题答案等不同的特性，对中学数学开放题进行了多种分类。
综合各种情况如表2：
表2 数学开放题的常见题型可归纳成下表
按命题要素的发散倾向分类
按解题目标的操作模式分类
按学习过程的训练价值分类
按问题答案的结构类型分类
综合开放型
条件开放型
策略开放型
结论开放型

量化设计型
分类讨论型
问题探求型
规律探索型
情境研究型
构造对象型
数学建模型
知识巩固型
知识发生型
信息迁移型

有限可列型
无限离散型
无限连续型
有限混沌型

2.2。3中学数学开放题的特征
（1）问题的条件常常是不完备的（条件开放题）
这类型目是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一，这类题常以基本知识为背景加以设计而成，主要考查学生对基础知识的掌握程度和归纳能力。
A
B
D
E
C
【例1】如:（2003年山东济南市中考试题）
如图，△ABC中，已知AB=AC,
要使AD=AE，需要添加的一个条件是 。
(2）问题的答案是不确定的(结论开放题）
这类问题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散性思维和对所学基础知识的应用能力.
【例2】 1994年荷兰数学教育学派的代表人物，德·朗治（de Lange)在上海做报告中有这样一个题目：“如果A离学校5千米，B离学校10千米，问A、B相距几千米？"
这一题目拟乎是一道小学算术题,事实上，它的内涵很丰富，涉及到从自然相加，有理数加减，圆的几何轨迹,点的距离,以至圆的参数表示,复数相减等许多数学知识，题目可适合各种层次的学生，可以考虑一直线的情况,可以做为平面来计算,也可以在空间测量,留给学生的思考空间很大。
（3)问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性（策略开放题）
【例3】（2002年浙江省金华中考试题）试比较下面两个几何图形的异同，如图，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。
正方形
正五边形

相同点：正方形的对角线相等,正五边形的对角线也相等；
不同点:正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。
此题是考察学生正多边形的知识和有关性质，通过观察分析能从正多边形的边、角（中心角、内角和)对称性有无外接圆与内切圆,从一个顶点作三角形的个数等方面去理解,就可以写出很多相同点与不同点.
2。2.4中学数学开放题的现实意义
从皮亚杰发生认识论的观点看，数学开放题能引起学生认知结构上的顺应，从而使学生认知结构发生质的变化，使他们的知识水平和数学能力得到较大程度的提高。数学开放题的主要目的是培养学生的创新意识与创新能力，核心是灵活地运用数学思想方法解决问题。数学开放题的诸多特点决定了数学开放题在教育教学中的诸多价值。
对学生来说，李永桃认为，数学开放题有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性.俞求是认为，数学开放题有助于培养学生的创造性思维。开放题的答案不统一，给学生提供了较多寻求新颖独特方法的机会，也正是这种寻求答案的过程,刺激了学生强烈的问题意识.问题意识有利于培养学生思维的广阔性、灵活性、发散性和独创性。强烈的问题意识常常会引起学生浓厚的探究兴趣，使学生产生强烈的探求欲望,寻找解决问题的方法，并在寻找多种答案和最优解的过程中培养学生思维的深刻性与严谨性,从而培养学生的集中性思维。
刘萍认为，开放题的挑战性有利于激发学生的好奇心和求知欲，为学生主动学习创造了条件。在开放题的学习中,学生必须打破原有的思维模式,展开丰富的联想和想象，从多角度、多方位、多层次进行思考，其思维方向和模式的发散性有利于创造能力的形成。开放题的层次性使全体学生真正参与教学活动成为可能，即使学习困难的学生也能做出一种或几种答案，并从中体验到成功的乐趣.从而有利于数学教育面向全体学生，实现“人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的“新课改”目标。开放题的开放性决定了没有现成的固定的解题模式，需要学生独立地进行探索，这就为培养学生的主体性创造了条件。
范黎明认为,在开放题的教学中，学生接触到许多实际问题，有的有许多答案,有的有多种解法，其中许多问题不能靠一个人的力量在有限的时间内完成，必须依靠大家的力量和集体的智慧分工合作进行，在这种合作、交流的教学过程中,学生们不仅学到了知识,而且学会了与人合作，学会帮助他人等。俞求是认为，开放题答案的多样性使学生可在不同水平的答案的交流中共同讨论、互相学习、不断优化、最后得出较好的答案，从而培养学生精益求精、不断探索、追求卓越的精神，并提高解题的能力。
开放题的可操作性给学生提供了能充分表达自己观点的舞台，拓展了学生发挥各自想象的空间，创造了数学思想方法相互交流的条件。因为在开放学习过程中，人人可以动手操作，个个可以参与探索，并且不同层次的学生都能享受到成功的快乐。朱乐平认为，由于数学开放题本身有层次，即使学习困难的学生也能做出一种或多种答案，使学生体验到成功的乐趣，这就有利于培养学生的自信心。能激发学生学习数学的兴趣，使学生乐于参与，久而久之就会成为学生主动学习的动力。在开放学习的过程中，经过不同角度不同方法的分析、推理的训练,培养了学生综合思维的能力。而这种能力是学生继续学习的后推动因素，这对学生将来走上社会后合理处理问题是至为关键的，这正是新课程理念下教育追求的结果。
开放题的集中性和系统性特征体现在课堂教学中就是以全方位多角度对某知识点或某题型进行思路发散而内容相对集中的研究学习，当问题得到彻底解决后，学生对此的收获不是一“点”而是一条“线”或是一个面，这样在解决一个开放题的过程中就构建了一个知识系统,课堂效率大大提高,从而帮助学生扔掉了课后费力费时效率低下的构造与链接的包袱，可见开放题是减轻学生过重课业负担的重要手段。
对教师来说，开放题的出现以及对其教育功能的肯定,既反映了数学教育观念的转变,也适应了迅速发展的时代需要.实际上反映了人们对于数学教学新模式的追求,是人们站在新时代历史的高度上对数学教育改革的新探索.我国教育部基础教育司明确指出：“课程是一个历史范畴，课程目标、课程结构、课程内容都将随着时代的发展而变革。”因此，教材应体现科学性、基础性和开放性。开放题课堂教学的数学观是动态的、全面的甚至可出错的.数学观即对数学本质的认识，教师的数学观直接影响着其教学观.如果教师能用动态的、全面的观点来理解数学，那么他所用的教学方法就会是启发式的，其教学观就是以学生为中心的。
在开放题引入课堂后，教师的角色定位，即在教学过程中，教师不是教学活动的唯一主角，而是“编剧”和“导演”；不只是知识的单纯传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者、协调者.教师的注意力应集中到设计问题、引导学生“建构”知识、调节教学程序、评判学习活动等方面上。
同时，开放题还要求教师注意讲究“放"的策略,既要大胆地“放一放”，把时间留给学生,让学生有机会去探索全面、正确的结论，又要善于把握全局,调控“放”力度。凡是学生能提的问题,教师决不代替；学生能思考的问题，教师决不暗示；学习能解决的问题，教师决不插手，真正做到适时而“放”，提高“放"的整体效率.这就要求教师转变教育观念，认真钻研教材，精心设计教学，使教师实施教学的注意力转移到设计好每一道题、上好每一堂课的重心中去，保证学生在课堂上能够高质量高效率地学习，做到减负不减重。

3中学数学开放题的相关研究
3。1中学数学开放题的设计
3.1.1中学数学开放题的设计原则
中学数学开放题是一种相对于长期以来只有“唯一答案”的封闭性问题提出来的，体现的是一种数学思维方式方法，具有鲜明的针对性，问题的偏制优劣将直接影响开放题的实效，因此中学数学开放题的设计要考虑以下几个原则：
3.1。1。1现实性原则
所谓现实性是指既要结合学生的生活实际，又要适合学生的知识背景，还可是指切合现实实践性.只有符合学生的具体情况并体现时代特征的问题,才能有效的使问题继续下去。同时，也只有符合学生的“最近发展区"并具有一定的挑战性，才能调动学生的求知和探索的欲望,达到应有的效果。
3。1。1.2层次性原则
数学开放题具有条件的不确定性与结论的不确定性等特征，因而这种特征必定要求问题要有层次感与灵活性，对不同认知水平的学生来说都有探索的余地，能让不同的学生体验不同的数学活动，能让不同的学生学习不同的数学.问题的解决要求能涉及到多种策略，即使是同一答案的获得，也能有多种途径和方法。同时问题所涉及的要具有较高的价值，可使学生通过问题的解决，体验到数学探索与发现的乐趣，感受到数学的魅力，领悟到数学中的欢乐.
3.1。1。3延展性原则
一道开放题的价值不光体现在题目本身，还体现在它能否有效的将课本的知识迁移到题目中；或者通过它能更好的理解，深化所学的数学知识或方法；或者能进一步的引伸拓广；或者发展成为另一个新的问题.
3.1.1.4思想性原则
题目引导学生关心社会发展,体现了数学的社会化功能，编制的开放型应用问题要有现实感、时代感，解决现实生活中碰到的实际问题;开放型应用题能体现德育功能,能对学生热爱祖国、健全人生、积极向上有潜移默化的作用；开放型应用问题的设计既要保持问题的实际背景，又要使学生在理解社会信息上不产生困难;问题的“可读性”好(容易被看懂读懂）；模型的“可移植性”强，学生从建模的求解的过程中不仅能体会理论与实践相互作用,还能将得到的数学模型“移植"到众多情境中去;很大一部分好的开放型问题都会展现计算机的作用，甚至可以预言越来越多的建模求解过程可以用或者必须用计算机；问题应当允许学生查阅（在较为方便的情况下)有关资料来解决，甚至要求学生查阅资料后，根据资料中的数据来解决问题,这一过程培养了学生观察事物、查阅资料、调查研究、分析数据等方面的能力,让学生学会用数学工具去采集、处理、分析问题的规律，无疑对学生是一种科研的微缩模拟训练等.
以上这些在一个问题中很难做到面面俱到，但在开放型问题系统中应当作为一个目标来追求。在以上所述中，开放型问题是否体现重要的数学思想及数学教育思想是一个关键因素，在设计问题时,应多考虑解决问题时涉及到重要的数学教育的思想，这是评价数学开放性问题好坏的一个重要标准.
3。1.2数学开放题的设计方法
数学开放题的资料来源主要有两种：第一，直接源于一些参考资料（包括教材）,如《高中数学开放题集》、《高中数学开放题题型突破例释》、现行的新课标教材等；第二，源于对封闭题等的改造或改编。
变视角 新解释
变内涵 新方法
关于数学开放题的设计方法国内上都有学者进行探讨，并提出了许多可行的方案，根据创造的三要素:“结构、关系、顺序",我们可以构建设计开放题的如下框图模式：

变结构 新形式
变外延 新结论
封闭性问题

变情境 新方式
变顺序 新组合
问题分解

A
B
C
D
（1）弱因法。指在传统数学题中减少某些已知条件或用较隐蔽条件替换原来的条件，再适当修改题目指令，即可得到数学开放题。
【例4】 课本原题:如图AB=AC，BD=BC
求证：ABC～BDC.
若将条件去掉，改编成如图，满足什么条件时，
ABC~BDC.这就是一例很好的开放题。
（2）隐果法.把传统数学题的结论隐去，使其结论待定或多样化。
【例5】 原命题：试证明：
C
A
B
E
H
P
F
将结论“2”隐去，改编成是否存在最大的正整数M，使得。
（3）换形法。把传统数学中的某个图形换成其它图形， 观察结论的正谬性，可得新型的数学开放题。
【例6】 课本原题：ABC中，已知AB=AC，
P为BC上任一点，,，。
求证:
改编时，将“ABC中,AB=AC"换成“等腰梯形ABCD中，AB=CD”是否能得出同样结论呢？通过学生画图、证明,进一步将思维引向多样、广泛。
A
B
C
D
E
F
（4）移动法.把原题中的直线或点进行移动,或将静态变为动态，从而得数学开放题。
【例7】 课本原题：如图，已知AD为圆的直径，
BC切圆于D,AB、AC与圆交于E、F.
求证：AE·AB=AF·AC
改编时，将BC向上或向下移动,问原结论是否成立。
·

C
B
D
A
(5）特殊化一般法。是指把原命题中的特殊条件转化为一般条件，或把特殊位置转化为一般位置。
【例8】 课本原题：如图,⊙和⊙交于A、B,
点在⊙上，AD为⊙的直径，延长DB交⊙于C。
求证：
改编时，将不放在⊙上,AD由直径改为弦，看原结论是否成立.

A
B
C
E
H
G
D
（6）逆向思维法。将原命题中的条件和结论对调，构成逆向思维题.
【例9】 课本习题:ABC的高AD、BE交于H，
AD延长线交外接圆于G，
求证：D为HG的中点。
改编时，将结论:“DH=DG"改为条件，
问BE与AC有何关系?
（7）建模法。根据某些数学知识和数学方法,在相关情景下,设计应用性开放题。
【例10】 某企业进行技术改造，有两种贷款方案：第一种，一次性贷10万元,第一年获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润.第二种，每年贷款1万元，第一年可获利1万元,以后每年增加利润5千元,两种方案都是10年，到期一次性还本付息，试比较两种方案的优劣.
（8)引进变数探求结论。
把问题中的某个确定的常数换成变数，来探求变数的取值，可得一些开放题。
【例11】 把分解因式,将2换成或将15换成，可得开放性题目：要使下列二次三项式能在整数范围内因式分解，、分别可取哪些整数？并因式分解：
① ②
（9）比较某些对象的异同点。
【例12】①试指出下列两个代数式的共同点：。
②2002年浙江省金华市中考试题,比较正方形和正五边形的异同（前面已出现)。
（10）利用不同知识的联系与区别进行推广或类比.
【例13】将克水和克糖混合配成糖水，现向该糖水内同时添加克糖和克水，问糖水变甜了吗?
你能否理解,该问题的实质就是比较和的大小，结果如何呢？请你按照以下步骤解答.
①用具体的数据试验一下(至少用3组）；
②通过①的试验，猜想一般结果；
③我们给出方法：“设甲、乙两个代数式，如果要证明‘甲〈乙’,只要证明‘甲-乙〈0’即可."那么，你能够用上述方法证明②中你的猜想吗?
④现在你可以回答开头提出的问题了吧！
在开放题的编制、开发中，要十分重视开放题的设问方式，语言的暗示性要恰当，防止将思维导入歧途；要把握问题的开放度,不同水平的学生应采用不同的设问方式，提出不同的解题要求；开放题中所包含的事件应为学生所熟悉，其内容是有趣的，是学生所愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题;要注意问题的可发展性，给学生一个提问题的机会，也许比解题本身更重要。
3.2中学数学开放题与教师素质
理论是行动的先导，数学开放题教学的成功与否，关键在于教师的数学观。如果教师用静态的、片面的观点将数学理解为是由概念、性质、定理、法则等要素组成的公理化系统，认为其教育价值仅仅在于逻辑推理能力的培养,那么他采用的教学方法就会是灌输式的,其教学观就会以教师为中心;如果教师用动态的、全面的观点来理解数学，那么他采用的教学方法就会是启发式的，其教学观就会以学生为中心。“数学活动论"的观点认为“数学不应该看成事实性结论的汇集，而主要地应被看成是人类的一种创造性活动”。从这一角度出发，在数学开放题的教学中，我们不应该只注重解题得到了多少结论，得到了什么结论，更应该注意解题中学生的思维过程，把解题看作数学探索、数学发现的活动过程.因此，教师对于开放题的看法以及教师所具备的能力和知识，对开放题的教学起着关键作用。
而目前的数学教师对数学开放题的认识并不乐观,对开放题的认识较以前全面些，但还存在众说纷纭，不一而终.因此有必要先澄清几个认识:数学开放题不同于习惯上所说的“一题多解”，因为“一题多解”的问题一般是条件完备且结论也确定的问题,只是由于解题思路而异或解题手段的不同所造成的多种解法而已。数学开放题也不同于一般的分类讨论题，因为数学开放题的每一个答案都可以成为问题的一个相对独立的完整答案,而分类讨论题的每一个答案只能是问题的完整答案的一部分。数学开放题的“结论”是在问题系统内部相对于问题的“条件”而言的，它与问题的条件成并列关系，是问题的一部分；问题的“答案（解法）”是相对于整个问题而言的,它与问题本身成并列关系。数学开放题与封闭题并不排斥，一个问题是开放还是封闭的，有时还取决于提出问题时学生的知识水平.
数学开放题在教学中的价值认识上也存在差异，数学开发题的优点是开放题顺应了开放社会时代发展的需要；开放题的教学可使全体学生主动参与，并能给予学生更多地体验成功的机会；开放题的教学有利于实现教学民主，建立新型的师生关系，师生观重新定位；开放题的教学可使学生更全面理解数学本质，有助于培养学生的优化意识、创造意识和创新能力，体会数学美；开放题的解答利于培养学生元认知；开放题的研究过程，有利于教师素质的提高。而不少教师批判开放题，认为开放题在单一的技能训练、知识学习上费时费力，效率低下，受考试文化的影响，要使更多师生接受、重视乃至于推广开放题，显得十分艰难;开放题的教学往往因课时制约，课堂上常出现学生思维在低层次上重复的现象；开放题的教学对教师要求较高，难推广；开放题很难以制定客观公正的评分标准，故在用开放题作考试题时困难重重；现有适合教学的开放题有限，开发设计更多更好的开放题又面临较多困难.
除了教师对数学开放题的有关理论不太了解外，更主要的是还有现实因素：一是开放题答案的不确定性，让人心里没有踏实感;二是开放题的教学比较费时间，往往受现实的限时“课堂教学”的制约；三是在“应试教育”的现实下,开放题与封闭题相比，毕竟是“冰山之一角”,考试中断然不会出现很多。
3。3中学数学开放题与考试
3.3.1数学开放题进入中学数学考试
教育部在2000年3月发布的《关于2000年初中毕业、升学考试改革指导意见》中明确指出：“数学考试应设计一定的……开放型问题”。（教育部在其下发的文件中明确要求在考试中设计某类题型，这是建国以来第一次).以后在2001年7月教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》和2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中又分别强调了数学开放题的意义和作用.新的国家课程标准已为数学开放题在中小学数学教育搭建平台,从根本上打破了数学封闭题长期一统天下的现状。
随着教育改革的深入发展和素质教育的进一步实施，数学开放题的教育价值日渐破冰而出。其实在数学开放题在开始光明正大地进入数学中考试题和数学高考试题之前,我国各省、市数学中考和数学高考就已进行过一定的尝试和探索。在1982年山西省太原市中考就出现过一个数学开放题(即例14)。
【例14】已知⊙O内切于四边形ABCD,AB=AD，连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：绘出工整的图，不写画法，图中除A，B，C，D，O五个字母之外，不再标注其他字母，不再添加任何辅助线，不写推理过程,推出五条结论给满分，推出五条以上者给予加分）此题1996年又被宁夏自治区中考重复采用。
开放题被选拔性考试采用,说明人们日益认识到开放题的测试能力水平,特别是测试创造能力水平中的重要作用。进入新课程改革，伴随教育行政部门对数学开放题的意义和作用的正式肯定，数学开放题中考试题和数学高考试题之中必将占有一席之地，并将呈现出百花齐放、异彩纷呈的局面。
3。3。2中学数学开放题在考试中需注意的几个问题
尽管在操作层面上,数学开放题已经进入了中考和高考，而且这也是考试发展的一大趋势,但依然有些问题需要我们进一步思考：
3.3。2。1试题的开放度与难度
控制好试题的开放度是数学开放题设计是否成功的一个关键。无视这个关键，单纯追求答案的多样性，有可能导致试题设计的失败,这种失败最突出的表现就是试题难度失控。试题的开放度与难度并不完全成正比。
【例15】已知点A（1，2）和B（—2，5）。试写出一个二次函数,使它的图象经过A，B两点。
三点确定一条抛物线，题目少了一个条件，因此答案很多，这种试题的开放度极大，但难度并不十分高,同时也没有鼓励学生“多方面、多角度、多层次"的探索，难以考查学生的创新能力,反而给阅卷工作平添很多麻烦。
其实，开放型试题首先是起点要低，不管是基础好能力强的学生，还是基础差能力弱的学生都能动手尝试,并有一定的进展和收获。其次，开放型试题的难度要有坡度,有层次,开放型试题应该比一般的常规题更能区分学生思维和能力的差异。再次，开放型试题能有多种结论，要让学生有发现余地.最后，开放型试题在解决问题的每一个层次上能有多种解法，能体现出综合题的功能。另外，开放型试题还应注重思维方式和思维能力的考查，其解答应不拘泥于形式和格式（特别是对于非形式化开放题更应如此），它应有别于常规题注重基本知识和基本能力的考查。
3.3.2.2答案的弹性化与评分标准的刚性化
开放题的一个突出特点就是结论的多样性，因而也就导致了答案的弹性化,可评分标准却是刚性化的，两者之间似乎难以找到平衡点.开放题的解答水平主要体现在解题者能给出多少答案,给出哪些答案，给出怎样的答案.特别值得注意的是，并不是给出的答案数量越多，解答水平就越高，分数赋值就越高。
【例16】已知，试写出满足条件的（,）.
这里有以下两种解答：
解答①：(2,2），（5/4，5)，（3/2，3），（7/5，7/2），（5/3，5/2)
解答②：(2，2），（0，0）,（7/5，7/2），（3—，3+)
从答案数量上看,解答①要多，但从答案类型上看，解答②要丰富。两者孰优孰劣,伯仲自明，一般而言，开放题的解答水平主要体现为如下几个指标：解答的多样性、解答的完备性、解答的深刻性.达到以上指标，可视为解答水平较高，分数赋值相应就高些。
3.3。2。3陈题改造与题型创新
在考试中引进开放题，应注意下面几个问题：①当前的一段时间内,必须坚持以传统题型为主，适度引入开放型题；②引入开放题必须由浅入深，逐步过渡；③试题中的开放型题的编制,最好以现行教材中的题目为原形；④努力突破“单项选择题"、“填空题”、“解答题"的传统题型，适当进行题型创新，如“设计图形"、“短文论述"等，为数学开放题注入新的活力。比如:
【例17】写出一段文字说明定义的合理性.
3.3。3中学数学开放题考试的评分方法
由于开放题更符合新课程发展的评价理念，在新课程的学业水平评价中应大力加以提倡，但从以往的中考或高考试题来看，虽然增改了一些开放性问题,而这些题都包含着高级思维能力的因素，且评价标准还是根据“积分点”来制定，没有把这类题目按开放题来处理,不能很好的发挥开放题的应有功能。这一问题不解决,开放性问题就难以进入学生学业评价,深入平时的教学之中。因此在进行答案评分时，要注意根据答案分清学生所处的思维层次，体现学生思维进程的评价。同时根据开放题本身所具有的思维含量来确定层次，对于样板式的标准答案，教师应不拘泥于其表述，而应深入考查该题思维层次的划分依据和方法。还可以采用多个教师综合评分的方法来权量.
3.4中学数学开放题与新课程改革
3.4.1中学数学开放题与数学新课程标准
数学新课程标准的基本理念中提出：“……数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性化发展和对未来人生规划的思考……"而开放性问题恰好能给学生提供多层次的问题和思维水平。
新课程中也出现了开放性参考案例,例如《普通高中数学课程标准》（实验）中第23页例2：观察自己的教室，说出观察到的点、线、面之间的位置关系，并说明理由。第50页例2：探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系;例3：平面上的圆与空间中的球的类比等。
同时，新课标在第三部分内容标准中花了不少篇幅，讲述了数学探究及相关内容，这中间不少是涉及开放性问题,在第四部分实施建议中明确提出：“要重视学生做数学的过程，……作业的类型应多样化，例如常规作业，开放性、探索性数学问题。”
总之，数学新课程标准较以前的大纲更加注重开放性问题及其所带来的作用与价值,确定了开放性问题在