假设大小、确定放缩、精度调整--例谈一类比较大小题目的一种解答策略.pdf

2024 年第 1 期(下)中学数学研究47假设大小、确定放缩、精度调整 例谈一类比较大小题目的一种解答策略重庆市綦江中学(401420)晏炳刚綦江区南州中学(401420)涂元梅摘要比较大小题目在近三年的高考题、模拟题中出现在中高难度位置.题目求解灵活多变,能有效培养学生的数学逻辑推理和运算能力.提出一种解法:先假设大小确定放缩方向,再根据不同函数放缩调整精度,直至能比较大小.并用 5 个例子阐述策略的操作方法、注意事项与解题价值.关键词 比较大小;函数放缩;精度调整比较大小题目在每年高考题中都有涉及,尤其在 2021和 2022 年中,题目呈现出精度高,难度大,方法多的特点.文献 1-3 对这类题目做了思考,本文也提出自己的见解,供读者参考.1 题目呈现(1)(22 年新高考 卷)设 a=0.1e0.1,b=19,c=ln0.9判断 a,b,c 大小关系.(2)(22 年甲卷)设 a=3132,b=cos14,c=4sin14,判断a,b,c 大小关系.观察这类题目,有两个类型.(1)一个是实数记为 t,另一个是指数型、对数型、三角型或其它型实数记为 f(x0),题目抽象出来就是判断f(x0)t(f(x0)g(y0).解 设 x=22x22y,y=22x+22y代入曲线C.当x 0,即x y得x2+3y2=2,当x 0,即x y,x2+3y2=2 上2 倍点的个数(即横、纵坐标均为2 倍数的点),易知(22,22),(22,22),(2,0),(22,22)对称的上半部分有两个点,故1对.2绕原点旋转图形形状不变,由椭圆方程得到离原点最远距离为2(两个点).2对.3绕原点旋转图形原来面积等于旋转的面积,若知道椭圆的面积公式 ab 可直接判断 213 23 3,或利用1找的特殊点组成四边形面积估算.故3错.选 C.评析 曲线 C 旋转后得到标准的椭圆方程,相应问题转化为在标准方程及其几何性质下解决则变得更加容易,1求y=x+2t(t Z)与椭圆相交的点的个数,2是椭圆长轴的定点有两个点满足,3就是椭圆面积公式.这些在原方程中都体现不出来.3.3 旋转双曲线例 3(2020 泉州质检)若双曲线 C:mx2+ny2=1.(mn 0)为对勾函数,当双曲线焦点在 y 轴时,函数为 y=1+2mx223mx(m g(x)或f(x)g(x0)t或 f(x0)f1(x)g1(y)g(y),x I,y J,当 x0 I,y0 J 有f(x0)f1(x0)g1(y0)g(y0).解法(1)的关键是先假设大小,再确定放缩方向,选择不同不等式调整精度,直到能比较大小.解法(2)的关键是先假设大小,找到放缩方向,寻找合适不等式调整精度,小的一侧放大,大的一侧缩小,直到放大后的值小于缩小后的值为止.3 预备知识由解题策略可知,找什么样的不等式?如何调整精度?是这种方法的关键,又因这类考题涉及的函数多为常见函数,因此下面给出常用的函数 lnx,ex,sinx,cosx 的常用放缩不等式.(1)11x2(x 1)x+1 lnx 12(x1x)1).(2)1 1x12(x 1x)lnx 2(x 1)x+1 x 1(0 x 1).(3)1+x 6 1+x+12x26 ex6x+22 x611 x(0 6x 1).(4)x+1 x+22 x ex 1+x+12x2(x 0).(5)x x33!sinx x x33!+x55!0).(6)1 x226 cosx 6 1 x22+x424.不等式(1)到(4)都是高中数学导数学习、练习、拓展阶段常见的不等式,不等式(5)、(6)是三角函数放缩,是泰勒展开的局部情况,在此不证.这些不等式都是把常见函数放缩为多项式或有理型分式,目的是放缩后能够把数值代入计算并判断大小,而不等式串的存在会调整精度提供了机会,因此记住这些不等式是本文所提解决策略的基础.4 例题展示用常用不等式放缩比较大小,在不清楚大小的情况下,要经过如下两步:(i)假设大小确定放缩方向;(ii)选择不等式调整精度.例 1 比较 a=sin0.1,b=0.09,c=12ln119的大小.分析此题是 3 个数比较大小,其中 a,c 是函数型数,b是普通常数.此题解法较多,此处用本文所提策略.解:(1)假设 a b,由不等式 sinx x x36,a=sin0.1 0.1 0.136 0.0998 0.09=b,所以 a b.(2)假设 b c,由 lnx x1 有 c=12ln109 0.09=b,假设失败,原因是放大过快还是假设错误.再用精度更好的lnx 12(x1x),放大有 c=12ln109 0.09=b,更精确的放大还是失败.思考假设错误.(3)假设 c b,则由 lnx 缩小不等式 lnx 1 1x有c=12ln11912(1 911)=111 0.09=b,所以 c b.(4)假设 c a,则缩小 c,由 lnx 1 1x有 c=12ln11912(1 911)=111 0.09,由 sinx x 有a=sin0.1 2(x 1)x+1有 c=12ln11912(119 1119+1)=110=0.1 sin0.1=a.所以 c a b.点评由过程(1)(2)(3)知,此解题过程假设是第一步,它决定放缩方向,当失败后也可调整假设,一个放缩不等式失败后,再尝试精度更好的放缩也是重要的思路.由过程(4)知在 c 放小,a 放大过程中,合理选择不等式调整准确度尤为重要.这个核心过程综合性强、难度大,要求学生对常见不等式的有系统的认识才能做到.例 2 比较 a=0.1e0.1,b=19,c=ln0.9 的大小关系.分析此题即 2022 年新高考 1 卷试题,方法很多,这里只谈本文所提策略.解:(1)假设 a b,由不等式 ex611 x得,有xexx1 x.所以 a=0.1e0.10.11 0.1=19=b.也可以用 ex6x+22 x,有 xex6x(x+2)2 x,即有 a=0.1e0.160.1(0.1+2)2 0.1 0.11 19=b.所以 a c,由 ex 1+x 有 a=0.1e0.10.1(1+0.1)=0.11.而c=ln0.9=ln109,由lnx x1有 c=ln109 0.11,失败.这里是假设失败,还是 a 缩小过快,还是 c 放大过快呢?下面选择精度更好的 c 放大.由 lnx 1)有 c=ln10912(109910)0.106.此刻 0.106 c.这里也可以选择精度更好的 a 缩小.由 ex1+x+12x2有 a=0.1e0.1 0.1(1+0.1+120.12)=0.1105,又 0.1053 c.(3)由(1)(2)可得 c a b.在这里直接比较 c b 也可用本文策略解决.c=ln0.9=ln109由 lnx x 1 有 c=ln0.9=ln109 c,选 择 不 等 式 ex x+1 有a=0.7e0.4 0.7 (0.4+1)=0.98=c,所以 a c.(2)假设b c,选择不等式lnx 11x有b=eln1.4 e (1 11.4)0.78,失败.原因是缩小过快还是假设错误呢?再选择缩小慢些的不等式 lnx 2(x 1)x+1有b=eln1.4 e 2(1.4 1)1.4+1 0.91,还是失败.(3)重新假设有 b c,由 lnx x 1 有 b=eln1.4 e(1.4 1)1.09,失败,是否放大过快呢?选择放大慢些的不等式 lnx 1)有 b=eln1.4 e 12(1.4 11.4)0.93 0.98=c,所以 b c.因此b c b.由 ex x+1 有 a=e0.2 0.2+1=1.2,由 x x(x 1)有 1.2 1.2.所以 a b.(2)假 设 a c.由 ex x+1 有 a=e0.21+0.2=1.2.c=ln3.2 选择 lnx x 1 放大有c=ln3.2 3.2 1=2.2 失败,部分放大呢?c=ln3.2=ln+ln1.6 0.6932+1.6 1 1.293,还是失败.c=ln3.2选择放大慢些的不等式 lnx 1)放大有c=ln3.2 12(3.2 13.2)1.44,失败,再选择放大慢些的部分放大有c=ln3.2=ln2+ln1.6 ln2+12(1.6 11.6)0.693+0.49 1.183 1.2 c.此处也可把 c=ln3.2=ln4+ln0.8 选择 lnx 2(x 1)x+1(0 x 1)放大有c=ln3.2 2 0.693+2 (0.8 1)0.8+1 1.164 1.2 c.c=ln3.2 放大为 c=ln3.2 1.183 而b2=1.2,所以 c2 1.1832 1.4,失败,c=ln3.2 更精确的常见放大无法得到,考虑假设错误.(4)假设 b 1 1x有缩小有c=ln3.2 1 13.2 0.688,而 b=1.2 1 失败,部分缩小呢?由c=ln3.2=ln2+ln1.6 0.693+111.6 1.068,有 c2 1.0682=1.141,而 b2=1.2 还是失败.下面调整精度选择缩小慢些的不等式由 lnx 2(x 1)x+1(x 1)有缩小有 c=ln3.2 2(3.2 1)3.2+1 1.048,而 c2 1.0482 1.098,b2=1.2 失败.再选择缩小慢些的部分缩小有 c=ln3.2=ln2+ln1.6 ln2+2(1.6 1)1.6+1 0.693+0.462 1.155,所以 c2 1.1552 1.334,而 b2=1.2,所以 c2 b2,所以b 12(x 1x)(0 x 20.693+12(0.810.8)1.161,所以 c2 1.1612 1.348,而 b2=1.2,所以 c2 b2,所以 b c b.点评 此题难度较大,用常见的构造不等式入手不易,而用假设大小、确定方向、精度调整易于入手.核心解题思路是,把 ln3.2 拆分 ln2 与 ln1.6 之和,再部分放缩调整精度.此处也用到常见对数值 ln2 0.693,这里记住此值确实带来方便,没有记住也可把 ln2 纳入放缩比较也可解决.调整精度是本文方法的核心,而如何调整精度是关键,除了记住常见不等式,这里拆分部分放缩也很有价值.练习已知 a=3132,b=cos14,c=4sin14,判断 a,b,c大小.分析 此题即 2022 年甲卷试题,考查三角型数的比较大小,方法很多,这里也尝试本文策略.解:(1)假设 a 1(14)22=1 132=3132=a,所以 a b.