2022-2023学年湖北省武汉市两学校数学九年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（　　）

A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
2．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，则m的值是（ ）.
A． B．2 C． D．1或2
3．将0.000102用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，CD∥AB，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是(　　)

A． B． C． D．
6．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）

A． B． C． D．
7．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣ D．y＝x2﹣1
8．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（ ）

A． B．6 C． D．9
10．如图所示的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
11．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝1．则△PEF的周长为（　　）

A．1 B．15 C．20 D．25
12．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是_____．
14．如图所示是二次函数的图象，下列结论：

①二次三项式的最大值为；
使成立的的取值范围是；
一元二次方程，当时，方程总有两个不相等的实数根；
该抛物线的对称轴是直线；

其中正确的结论有______________ (把所有正确结论的序号都填在横线上)
15．函数中，自变量的取值范围是________.
16．如图所示，个边长为1的等边三角形，其中点，，，，…在同一条直线上，若记的面积为，的面积为，的面积为，…，的面积为，则______.

17．若，则的值为__________．
18．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．己知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）先化简再求值：其中.
20．（8分）实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元.
求甲、乙两种智能设备单价；
垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．

（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若，，求OB．
22．（10分）（1）计算：4sin260°+tan45°-8cos230°
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，b=5，求a、c．
23．（10分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．

（1）甲运动后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
24．（10分）如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边CD，CB上，点F在AC上，AB＝3，BC＝4
（1）求的值；
（2）把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断CP与AF的位置关系，并说明理由．

25．（12分）如图，在中，，点为边的中点，请按下列要求作图，并解决问题：
（1）作点关于的对称点；
（2）在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转，
①面出旋转后的（其中、、三点旋转后的对应点分别是点、、）；
②若，则________．（用含的式子表示）

26．如图，在坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点.直线.

抛物线的解析式为 .直线的解析式为 ；
若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的解析式；
设抛物线的顶点关于轴的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，如果直线与抛物线在轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形).请结合函数的图象，直接写出点的纵坐标的取值范围.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
【详解】连接AQ，AP．

根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）．
故选A．
【点睛】
此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
2、B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入mx2–2=0可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可得答案.
【详解】∵x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，
∴m-2=0，
解得：m=2，
故选：B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题，能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；熟练掌握定义是解题关键.
3、A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000102=1.02×10−4， 
故答案为：．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4、D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．
5、B
【分析】连接BC、OD、OC、BD，过O点作OE⊥CD于E点，先证△COD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S扇形COD-S△COD计算可得．
【详解】如图所示，连接BC、OD、OC、BD，过O点作OE⊥CD于E点，

∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ABC=70°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠ABD=∠ACD=40°，
∴∠DBC=30°，
则∠COD=2∠DBC=60°，
又OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
∴OD=CD=2，DE=
∴
则图中阴影部分的面积是S扇形COD-S△COD
故选：B．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点．
6、C
【解析】试题分析：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是=；故选C．
考点：几何概率．
7、C
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
8、D
【分析】先利用平方差公式得到=（a+b）（a-b），再把，整体代入即可．
【详解】解：=（a+b）（a-b）==．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了平方差公式，把a+b和a-b看成一个整体是解题的关键．
9、A
【分析】由点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，可得到m、n之间的关系，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，构造直角三角形，可求出直角三角形的直角边的长，由平移可得直角三角形的直角顶点在直线l上，进而将问题转化为求△ADB的面积．
【详解】解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，
∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），
即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，
∵m+n＞0，
∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，
∴BD＝xB﹣xA＝n﹣m＝3，AD＝yA﹣yB＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，
又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，
∴平移后点A与点D重合，
因此，点D在直线l上，
∴S△ACB＝S△ADB＝AD•BD＝，
故选：A．

【点睛】
本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握计算法则.
10、D
【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选D．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
11、C
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝1，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长＝PA＋PB．
12、B
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵x1+1x﹣1＝0，
∴x1+1x+1＝1，
∴（x+1）1＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）1=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、a＜1
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，
∴﹣＜，
解得a＜1．
故答案为：a＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．
14、①③④
【分析】根据图象求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质结合图象可以判断各个小题中的结论是否正确．
【详解】由函数图象可知：抛物线过(-3，0)，(1，0)，(0，3)，
∴设抛物线解析式为，把(0，3)代入得：3=，解得：a=－1，
∴抛物线为，即，
∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确，
由=3，解得：x=0或x=-2，由图像可知：使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0，故②错误．
∵二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，
∴当k＜4时，直线y=k与抛物线有两个交点，
∴当k＜4时，方程一元二次方程总有两个不相等的实数根，故③正确，
该抛物线的对称轴是直线x=﹣1，故④正确，
当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故⑤错误．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15、
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣1≠0，求解可得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意，有x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．
16、
【分析】由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线BB1．易求得△ABC1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．
【详解】如图连接BB1，B1B2，B2B3；
由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1, B2，B3，…Bn在一条直线上．
∴S△ABC1=×1×=
∵B B1∥AC1，
∴△ BD1B1∽ △ AC1D1，△BB1C1为等边三角形
则C1D1=BD1=；，△C1B1D1中C1D1边上的高也为；
∴S1=××=；
同理可得；
则=,
∴S2=××=；
同理可得：；
∴=，
Sn=××=．

【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17、
【分析】直接利用已知得出，代入进而得出答案．
【详解】∵
∴
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
18、1
【分析】袋中黑球的个数为，利用概率公式得到，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：设袋中黑球的个数为，
根据题意得，解得，
即袋中黑球的个数为个．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查概率的计算问题，关键在于根据题意对概率公式的应用．

三、解答题（共78分）
19、
【解析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可.
【详解】解：原式

，
当时，
原式

．
【点睛】
本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.
20、（1）甲设备万元每台，乙设备万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为元.
【分析】（1）设甲单价为万元，则乙单价为万元，再根据购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可；
（2）先求出每吨燃料棒成本为元，然后根据题意列出一元二次方程解答即可.
【详解】解：设甲单价为万元，则乙单价为万元，则:

解得
经检验，是所列方程的根.
答：甲设备万元每台，乙设备万元每台.
设每吨燃料棒成本为元，则其物资成本为，则:
，解得
设每吨燃料棒在元基础上降价元，则

解得
.

每吨燃料棒售价应为元.
【点睛】
本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键在于弄懂题意、找到等量关系、并正确列出方程.
21、（2）有一个公共点，证明见解析；（2）．
【分析】（2）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；
（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=2，从而求出BE=2．再由AC∥DE 得出，把各线段的长代入即可求出OB的值.
【详解】（2）判断有一个公共点
证明：连接OE，如图．

∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠DEB=90°．
∵ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠B．
又∵∠AED=∠B，
∴ ∠AED=∠OEB．
∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO
=∠OEB +∠DEO
=∠DEB=90°．
∴ AE是⊙O的切线．
∴图形W与AE所在直线有2个公共点．
（2）解：∵ ∠C = 90°，，，
∴ AC=2，．
∵ ∠DEB=90°，
∴ AC∥DE．
∴ ∠CA E=∠AED=B ．
在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，
∴ CE=2．
∴ BE=2．
∵AC∥DE
∴．
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合知识，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.
22、（1）2 ；（2）a=5，c=1
【分析】（1）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；
（2）由直角三角形的性质可得c=2a，由勾股定理可求解．
【详解】（1）原式=4×()2+1﹣8×()2
=3+1﹣6
=﹣2；
（2）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴c=2a．
∵a2+b2=c2，
∴，
∴3a2=75，
∴a=5(负数舍去)，
∴c=1．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答本题的关键．
23、（1）28cm；（2）3s；（3）7s
【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；
（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可；
（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm.
答：甲运动 4s 后的路程是 ．
（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则.
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s．
（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
24、（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）CP⊥AF，理由：见解析.
【解析】(1)根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据勾股定理得到AC＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(2)(Ⅰ)连接CF，根据旋转的性质得到∠BCG＝∠ACF，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论；
(Ⅱ)根据相似三角形的性质得到∠BGC＝∠AFC，推出点C，F，G，P四点共圆，根据圆周角定理得到∠CPF＝∠CGF＝90°，于是得到结论．
【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∴，
∵四边形CEFG是矩形，
∴∠FGC＝90°，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CBA，
∴，
∵FG∥AB，
∴；
(2)(Ⅰ)连接CF，
∵把矩形CEFG绕点C顺时针旋转到图②的位置，
∴∠BCG＝∠ACF，
∵，
∴△BCG∽△ACF，
∴；
(Ⅱ)CP⊥AF，
理由：∵△BCG∽△ACF，
∴∠BGC＝∠AFC，
∴点C，F，G，P四点共圆，
∴∠CPF＝∠CGF＝90°，
∴CP⊥AF．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）①见解析，②90°−α
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出O点；
（2）①利用网格特点和旋转的性质分别画出A、B、C三点对应点点E、F、G即可；
②先确定∠OCB＝∠DCB＝α，再利用OB＝OC和三角形内角和得到∠BOC＝180°−2α，根据旋转的性质得到∠COG＝90°，则∠BOG＝270°−2α，于是可计算出∠OGB＝α−45°，然后计算∠OGC−∠OGB即可．
【详解】（1）如图，点O为所作；
（2）①如图，△EFG为所作；

②∵点O与点D关于BC对称，
∴∠OCB＝∠DCB＝α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝α，
∴∠BOC＝180°−2α，
∵∠COG＝90°，
∴∠BOG＝180°−2α＋90°＝270°−2α，
∵OB＝OG，
∴∠OGB＝ [180°−（270°−2α）]＝α−45°，
∴∠BGC＝∠OGC−∠OGB＝45°−（α−45°）＝90°−α．
故答案为90°−α．
【点睛】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
26、（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)将两点坐标直接代入可求出b，c的值，进而求出抛物线解析式为，得出C的坐标，从而求出直线AC的解析式为y=x+3.
(2)设直线的解析式为，直线与抛物线只有一个公共点，方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式即可求出b的值.
(3)抛物线的顶点坐标为（-1，4），关于y轴的对称点为M（1，4），可确定M在直线AC上，分直线不在直线下方和直线在直线下方两种情况分析即可得解.
【详解】解：将A，B坐标代入解析式得出b=-2，c=3,
∴抛物线的解析式为：
当x=0 时，y=3，C的坐标为（0，3），
根据A，C坐标可求出直线AC的解析式为y=x+3.
直线，
设直线的解析式为.
直线与抛物线只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
解得.
直线的解析式为.
.
解析：如图所示，，

抛物线的顶点坐标为.
抛物线的顶点关于轴的对称点为.
当时，，
点在直线上.
①当直线不在直线下方时，直线能与抛物线在第二象限的部分形成封闭图形.
当时，.
当直线与直线重合，即动点落在直线上时，点的坐标为.
随着点沿抛物线对称轴向上运动，图形逐渐变小，直至直线与轴平行时，图形消失，此时点与抛物线的顶点重合，动点的坐标是，
②当直线在直线下方时，直线不能与抛物线的任何部分形成封闭图形.
综上，点的纵坐标的取值范围是.
【点睛】
本题是一道二次函数与一次函数相结合的综合性题目，根据点坐标求出抛物线与直线的解析式是解题的关键.考查了学生对数据的综合分析能力，数形结合的能力，是一道很好的题目.