2022年北京市燕山地区数学九年级第一学期期末考试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…

0
1
2
…

…

…
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．把两个同样大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点在同一直线上，若，则的长是（ ）

A． B． C．0.5 D．
3．抛物线的对称轴是 （ ）
A．直线＝－1 B．直线＝1 C．直线＝－2 D．直线＝2
4．已知二次函数y=x2+2x-m与x轴没有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜-1 B．m＞-1 C．m＜-1且m≠0 D．m＞-1且m≠0
5．若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（　　）
A．明天一定会下雨 B．明天一定不会下雨
C．明天下雨的可能性较大 D．明天下雨的可能性较小
6．将抛物线y=-2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，∠P=80o ，则∠C =（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°
8．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°．AB＝4，则⊙O的半径为 ( )

A． B．4
C． D．5
9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（ ）

A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72
10．有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；
③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知⊙P的半径为4，圆心P在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上运动，当⊙P与x轴相切时，则圆心P的坐标为_____．

12．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=__________．

13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为_____．

15．写出一个以－1为一个根的一元二次方程 　　　　　 ．
16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．

17．如图，点在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为，则的面积是________．

18．小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：
投篮次数
20
40
60
80
120
160
200
投中次数
15
33
49
63
97
128
160
投中的频率
0.75
0.83
0.82
0.79
0.81
0.8
0.8
估计小亮投一次篮，投中的概率是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．

20．（6分）如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设∆OCD的面积为S，且kS+8=0.

（1）求b的值.
（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
21．（6分）如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点.

（1）求证：；
（2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法）
22．（8分）已知，如图1，在中，对角线，，，如图2，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作交于点；将沿对角线剪开，从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题：

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）设四边形的面积为，试确定与的函数关系式；
（3）当为何值时，有最大值？
（4）连接，试求当平分时，四边形与四边形面积之比．
23．（8分）如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短边长为1，的顶点都在格点上．
（1）用无刻度的直尺作图：找出格点，连接，使；
（2）在（1）的条件下，连接，求的值．

24．（8分）已知抛物线的顶点坐标是（1，－4），且经过点（0，－3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．
25．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，.
（1）求的值；
（2）直接写出不等式的解.

26．（10分）如图，点分别在的边上，已知．

（1）求证：．
（2）若，求的长．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=-=；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，∴a；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4；故③错误
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
2、D
【分析】过点D作BC的垂线DF，垂足为F，由题意可得出BC=AD=2，进而得出DF=BF=1，利用勾股定理可得出AF的长，即可得出AB的长．
【详解】解：过点D作BC的垂线DF，垂足为F，

由题意可得出，BC=AD=2，
根据等腰三角形的三线合一的性质可得出，DF=BF=1
利用勾股定理求得：
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解此题的关键．
3、B
【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．
【详解】解：∵解析式为，
∴对称轴是直线．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．
4、A
【分析】函数y=x2+2x-m的图象与x轴没有交点，用根的判别式：△＜0，即可求解．
【详解】令y＝0，即：x2+2x-m＝0，
△＝b2−4ac＝4+4m＜0，
即：m＜-1，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与x轴的交点，此类题目均是利用△＝b2−4ac和零之间的关系来确定图象与x轴交点的数目，即：当△＞0时，函数与x轴有2个交点，当△＝0时，函数与x轴有1个交点，当△＜0时，函数与x轴无交点．
5、C
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．
【详解】解：气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大，所以只有C合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．
6、B
【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把抛物线y=-2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是y=-2（x+3）2-4，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7、B
【分析】连接AO，BO，根据题意可得∠PAO=∠PBO=90°，根据∠P=80°得出∠AOB=100°，利用圆周角定理即可求出∠C．
【详解】解：连接AO，BO，
∵PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，
∴∠C=，
故选：B．

【点睛】
本题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟知切线的性质以及圆周角定理的内容．
8、A
【解析】试题解析：连接OA，OB．

∴在中，

故选A.
点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
9、B
【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵DF=CF，BE=CE，
∴，，
∴，
∴BG=GH=DH，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，
∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，
∴S△AGH：=1：6，
∵E、F分别是边BC、CD的中点,
∴,
∴,
∴,
∴=7∶24,
故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
10、B
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【详解】解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选B．
【点睛】
本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）
【分析】根据已知⊙P的半径为4和⊙P与x轴相切得出P点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案．
【详解】解：当半径为4的⊙P与x轴相切时，
此时P点纵坐标为4或﹣4，
∴当y＝4时，4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝1+2，x2＝1﹣2，
∴此时P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），
当y＝﹣4时，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝x2＝1，
∴此时P点坐标为：（1，﹣4）．
综上所述：P点坐标为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．
故答案为：（1+2，4），（1﹣2，4），（1，﹣4）．
【点睛】
此题是二次函数综合和切线的性质的综合题，解答时通过数形结合以得到P点纵坐标是解题关键。
12、50°．
【详解】解：∵∠A=70°，∴∠C=180°﹣∠A=110°，
∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，
∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，
故答案为50°．
考点：圆内接四边形的性质．
13、
【分析】一元二次方程有实数根，即
【详解】解：一元二次方程有实数根

解得
【点睛】
本题考查与系数的关系.
14、3﹣
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，F是AB中点，
∴BF＝BG＝1，
∴S1＝S矩形ABCD-S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，
∴S1-S2＝2×--＝3-，
故答案为：3﹣．
【点睛】
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握矩形的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键．
15、答案不唯一，如
【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的定义即可得到结果.
答案不唯一，如
考点：本题考查的是方程的根的定义
点评：解答本题关键的是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值.
16、8﹣π
【解析】分析：
如下图，过点D作DH⊥AE于点H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋转的性质易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，从而可证得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得阴影部分的面积.
详解：
如下图，过点D作DH⊥AE于点H，
∴∠DHE=∠AOB=90°，
∵OA=3，OB=2，
∴AB=，
由旋转的性质结合已知条件易得：DE=EF=AB= ，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠DEH，
∴△DEH≌△BAO，
∴DH=BO=2，
∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF
=
=.
故答案为：.

点睛：作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，从而将阴影部分的面积转化为：S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF来计算是解答本题的关键.
17、
【分析】作EC⊥x轴于C，EP⊥y轴于P，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，由题意可得点A，B的坐标分别为(4，0)，B(0，)，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立反比例函数解析式求出点，F的坐标．由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，
由题意可得点A，B的坐标分别为(4，0)，B(0，)，
由点B的坐标为(0，)，设直线AB的解析式为y=kx+，将点A的坐标代入得，0=4k+，解得k=-．
∴直线AB的解析式为y=-x+．
联立一次函数与反比例函数解析式得，
，解得或，
即点E的坐标为（1，2），点F的坐标为（3，）．
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=×2=1，
∴S△OEF=S梯形ECDF=×（AF+CE）×CD=×（+2）×(3-1)=．
故答案为：．

【点睛】
本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查了反比例函数k的几何意义、一次函数解析式的求法，两函数交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数k的几何意义，利用转化法求面积是解决问题的关键．
18、0.1
【分析】由小亮每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投一次篮投中的概率．
【详解】解：∵0.75≈0.1，0.13≈0.1，0.12≈0.1，0.79≈0.1，…，
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.1左右，
∴估计小亮投一次篮投中的概率是0.1，
故答案为：0.1．
【点睛】
本题比较容易，考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率值即概率．概率=所求情况数与总情况数之比．

三、解答题(共66分)
19、上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为1cm．
【分析】由内外两个矩形相似可得，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的列方程可求出x的值，进而可得答案．
【详解】∵AB＝130，AD＝10，
∴，
∵内外两个矩形相似，
∴，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝1x，
∵矩形作品面积是总面积的，
∴，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（1x﹣10）÷2＝1．
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为1cm．
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例；根据相似多边形的性质得出A′B′与A′D′的比是解题关键．
20、（1）b=4(b>0) ；（2）见解析
【分析】（1）根据直线解析式求OC和OD长，依据面积公式代入即可得；
（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.
【详解】（1）∵D(0,b),C(-,0)
∴由题意得OD=b,OC= -
∴S=
∴k•()+8=0 ∴b=4(b>0)
（2）∵
∴
∴
∴
∴点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
【点睛】
本题考查二次函数的性质及图象与直线的关系，联立方程组并求解是解答两图象交点问题的重要途径，理解图象与方程的关系是解答此题的关键.
21、（1）详见解析；（2）详见解析；
【分析】（1）根据菱形的性质可得：，再根据相似三角形的判定即可证出，从而得出结论；
（2）根据菱形的性质，可得DA=DC，从而得出∠DAC=∠DCA，可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，然后用尺规作图作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∴.
∴.
（2）∵四边形是菱形
∴DA=DC
∴∠DAC=∠DCA
∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，
尺规作图如图所示：
①作∠CPQ=∠AEF，步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形；
②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；
或
∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.
【点睛】
此题考查的是菱形的性质、相似三角形的判定及性质和尺规作图，掌握菱形的性质、相似三角形的判定定理及性质定理和用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键.
22、（1），（2）四边形AHGD
（3）当 四边形的面积最大，最大面积为
（4）
【分析】（1）由题意得：利用垂直平分线的性质得到：列方程求解即可，
（2）四边形AHGD分别求出各图形的面积，代入计算即可得到答案，
（3）利用（2）中解析式，结合二次函数的性质求最大面积即可，
（4）连接 过作于 从而求解此时时间，分别求解四边形EGFD和四边形AHGE的面积，即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，由题意得：

及平移的性质，

点在线段的垂直平分线上，

当时，点在线段的垂直平分线上．

（2） ，，,

又

点在上，

四边形AHGD
（）
（3） 四边形AHGD 且
抛物线的对称轴是：
时，随的增大而增大，
当 四边形的面积最大，最大面积为：

（4）如图，连接 过作于
平分

此时：
由

四边形EGFD
四边形ABGE

四边形AHGE.
四边形EGFD:四边形AHGE

【点睛】
本题考查的是平行四边形中几何动态问题，考查了线段的垂直平分线的性质，图形面积的计算，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23、（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）把一条直尺边与直线AC重合，沿着直线AC移动直尺，直到格点在另一直角边上，即为找出格点，连接；
（2）连接BD，根据勾股定理分别求出BD和AB的长度，从而求的值．
【详解】（1）如图，

（2）如图，连接，连接BD．
∵ ， ，
∴ ，
．
易知 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．

【点睛】
本题考查了几何作图以及三角函数的应用，掌握勾股定理求出对应边长代入三角函数是解题的关键．
24、y=x2－2 x－3
【分析】由于知道了顶点坐标是（1，－4），所以可设顶点式求解，即设y=a(x－1)2－4，然后把点（0，－3）代入即可求出系数a，从而求出解析式.
【详解】解：设y=a(x－1)2－4，
∵经过点（0，－3），
∴－3= a(0－1)2－4，
解得a=1
∴二次函数表达式为y=x2－2 x－3
25、（1），；（2）
【解析】（1）将已知两点代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）根据图象及抛物线与x轴的交点，得出不等式的解集即可．
【详解】（1）将，
代入抛物线解析式得
解得，
（2）由(1)知抛物线解析式为：，对称轴为，
所以抛物线与x轴的另一交点坐标为（2,0）
由图象得：不等式的解为
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
26、（1）证明见解析（2）
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：在中，，
∴.
又∵在中，，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．