江苏省南京市上元中学2022年数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知抛物线的对称轴过点且平行于y轴，若点在抛物线上，则下列4个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点，过点P作PM⊥BC于点M，交于点N′，则PN-MN′的值为（ ）

A． B． C． D．
3．下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

A． B．
C． D．
5．在反比例函数图像的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则b的取值范围是（ ）
A．b=3 B． C． D．
6．用配方法解方程，经过配方，得到 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（ ）

A．点A B．点B C．点C D．点D
8．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为(　 　)

A．m B．m C． m D． m
9．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为π cm2，则扇形圆心角的度数为（　　）

A．120° B．140° C．150° D．160°
10．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
11．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
12．一副三角板如图放置，它们的直角顶点、分别在另一个三角板的斜边上，且，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在平面直角坐标系xoy中，直线（k为常数）与抛物线交于A,B两点，且A点在轴右侧，P点的坐标为（0,4）连接PA,PB．(1)△PAB的面积的最小值为____；（2）当时，=_______
14．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米，同时一棵树在地面上的影子长12米，则树的高度为_____米．
15．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为米，旗杆的影长为米，若小青的身高为米，则旗杆的高度为__________米.

16．分式方程的解为______________.
17．如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行于轴，直线交轴于点，，连接，反比例函数的图象经过点．已知，则的值是________．

18．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

20．（8分）问题背景：如图1，在中，，，，四边形是正方形，求图中阴影部分的面积．

（1）发现：如图，小芳发现，只要将绕点逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案）

（2）应用：如图，在四边形中，，，于点，若四边形的面积为，试求出的长；

（3）拓展：如图，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交，于，两点，连接，请直接写出线段，，之间的数量关系．

21．（8分）先化简，再求值，，其中m满足：m2﹣4＝1．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标及线段的长度；
(2)若点关于点的对称点恰好也落在抛物线上，求的值．

23．（10分）计算：|1﹣|+．
24．（10分）已知：如图，中，平分，是上一点，且．判断与的数量关系并证明．

25．（12分）化简：．
26．某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）a的值为 ；
（2）求C等级对应扇形的圆心角的度数；
（3）获得A等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据二次函数的图象与性质对各个结论进行判断，即可求出答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴过点，
∴抛物线的对称轴为，即，可得
由图象可知， ，则，
∴，①正确；
∵图象与x轴有两个交点，
∴，即，②错误；
∵抛物线的顶点在x轴的下方，
∴当x=1时，，③错误；
∵点在抛物线上，即是抛物线与x轴的交点，
由对称轴可得，抛物线与x轴的另一个交点为，
故当x=−2时，，④正确；
综上所述：①④正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析每条结论是否正确．解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．
2、A
【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴OA=OC，AD=AB=4，
∵N是AO的中点，P是OD的中点，
∴PN是△AOD的中位线，
∴PN=AD=2，
∵PM⊥BC，
∴PM//CD//AB，
∴点N′为OC的中点，
∴AC=4CN′，
∵PM//AB，
∴△CMN′∽△CBA，
∴，
∴MN′=1，
∴PN-MN′=2-1=1，
故选：A.
【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.
3、A
【解析】一次函数当时，函数值总是随自变量的增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大.
【详解】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.
故选：.
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.
4、D
【解析】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选D．
5、C
【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，可得3-b＜0，进而求出答案，作出选择．
【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴3-b＜0，
∴b＞3，
故选C.
【点睛】
考查反比例函数的性质和一元一次不等式的解法，掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．
6、D
【分析】通过配方法的步骤计算即可；
【详解】，
，
，
，
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的配方法应用，准确计算是解题的关键．
7、C
【解析】试题分析：根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．
解：连接AC，
∵AB=3cm，AD=4cm，
∴AC=5cm，
∵AB=3＜4，AD=4=4，AC=5＞4，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．
故选C．

考点：点与圆的位置关系．
8、A
【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=，列出方程即可解决问题．
【详解】设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，sinα=，
∴=sinα，
∴x-1=xsinα，
∴（1-sinα）x=1，
∴x=．
故选A．
【点睛】
本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
9、C
【解析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】∵OB=10cm，AB=20cm，
∴OA=OB+AB=30cm，
设扇形圆心角的度数为α，
∵纸面面积为π cm2，
∴，
∴α=150°，
故选：C．
【点睛】
本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积= .
10、C
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
11、B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
12、C
【分析】根据平行线的性质，可得∠FAC=∠C=45°，然后根据三角形外角的性质，即可求出∠1.
【详解】解：由三角板可知：∠F=30°，∠C=45°
∵
∴∠FAC=∠C=45°
∴∠1=∠FAC＋∠F=75°
故选：C.
【点睛】
此题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、 16
【分析】（1）设A（m，km），B（n，kn），联立解析式，利用根与系数的关系建立之间的关系，列出面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最小值即可；
（2）先证明平分 得到，把转化为，利用两点间的距离公式再次转化，从而可得答案．
【详解】解：（1）如图，设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．

得： 即，
∴

∴当k=1时，△PAB面积有最小值，最小值为
故答案为．

（2）设设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．

得： 即，
∴
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（1，4），A（m，km）代入得：
，解得：，
∴
令y=1，得
∴直线PA与x轴的交点坐标为．
同理可得，直线PB的解析式为
直线PB与x轴交点坐标为．
∵

∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
平分，
到的距离相等，

而
∴，
过作轴于，过作轴于，
则

∴
∴

∵∴
∴
∴

故答案为：
【点睛】
本题是代数几何综合题，难度很大．考查了二次函数与一次函数的基本性质，一元二次方程的根与系数的关系．相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解答中首先得到基本结论，即PA、PB的对称性，正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
14、1
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．利用相似比和投影知识解题，
【详解】∵，
∴，即
∴树高为1m
故答案为：1．
【点睛】
利用相似比和投影知识解题，在某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，此题就用到了这一知识点．
15、1
【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，

∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴，
解得OA=1．
故答案为1．
16、；
【解析】方程两边都乘以（x+2）（x-2）得到x（x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，然后进行检验确定分式方程的解．
【详解】解：
去分母得x（x+2）-2=（x+2）（x-2），
解得x=-1，
检验：当x=-1时，（x+2）（x-2）≠0，
所以原方程的解为x=-1．
故答案为x=-1．
【点睛】
本题考查解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．
17、1
【分析】设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，由平行四边形的性质可得出∠BAC＝∠CEO，结合∠BCA＝∠COE＝90°，即可证出△ABC∽△ECO，根据相似三角形的性质可得出BC•EC＝AB•CO＝mn，再根据S△BCE＝3，即可求出k＝1，此题得解．
【详解】解：设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，
∵CD平行于x轴，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠CEO．
∵BC⊥AC，∠COE＝90°，
∴∠BCA＝∠COE＝90°，
∴△ABC∽△ECO，
∴AB:CE＝BC:CO，
∴∴BC•EC＝AB•CO＝mn．
∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝mn＝BC•EC＝2S△BCE＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，由△ABC∽△ECO得出k＝mn＝BC•EC是解题的关键．
18、1．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

三、解答题（共78分）
19、（1）；见解析；（2）；见解析；（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣1）或（﹣，﹣）或（，）；详解解析．
【分析】（1）＝0，则根据根与系数的关系有AB＝，即可求解；
（2）设点E，点F，四边形EMNF的周长C＝ME+MN+EF+FN，即可求解；
（3）分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）依题意得：=0，
则，
则AB＝，
解得：a＝5或﹣3，
抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：…①；
（2）由得：点A、B、C的坐标分别为：、，
设点E，OA＝OC，故直线AC的倾斜角为15°，EF∥AC，
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，
故点F，点M、N的坐标分别为：、，
则EF＝，
四边形EMNF的周长C＝ME+MN+EF+FN＝，
∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝，
故点E的横坐标为：；
（3）①当点Q在第三象限时，当QC平分四边形面积时，
则，故点Q；
当BQ平分四边形面积时，
则，
则，
解得：，故点Q；
②当点Q在第四象限时，
同理可得：点Q；
综上，点Q的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（1）（3）都要注意分类求解，避免遗漏．
20、（1）30；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意根据全等三角形的性质以及运用等量代换得出，进而得出的面积即阴影部分的面积；
（2）由题意把绕点旋转到处，使与重合，利用全等三角形的性质进行等量代换得出，进而进行分析即可；
（3）根据题意延长AC到G，使CG=BE，并构造全等三角形，运用全等三角形的判定和性质进行分析即可 ．
【详解】解：（1）∵绕点逆时针旋转一定的角度到达，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴等量代换可知，
∵，，
∴阴影部分的面积即的面积为：.
（2）如图，把绕点旋转到处，使与重合，可得.

，
，
即，、、三点共线.
又，四个角都为，
四边形是正方形，易得.
，即.
（3）线段BE、CF、EF之间的数量关系为：EF=BE+CF.
理由：如图，延长AC到G，使CG=BE，

∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG，
在△DBE和△DCG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF，
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．
【点睛】
本题考查四边形的综合问题，根据题意熟练掌握全等三角形的判定与性质以及四边形的性质，综合运用数形结合思维分析是解题的关键.
21、，﹣
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出符合条件的m的值，从而代入计算可得．
【详解】解：原式＝÷
＝
＝，
∵m2﹣4＝1且m≠2，
∴m＝﹣2，
则原式＝＝﹣．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22、（1）顶点坐标为（3，9），OA=6；（2）m=2
【解析】（1）把m代入抛物线，根据二次函数的图像与性质即可求出顶点，与x轴的交点，即可求解；
（2）先用含m的式子表示A点坐标，再根据对称性得到A’的坐标，再代入抛物线即可求出m的值．
【详解】解：（1）当y=0时，
，
即O（0，0），A（6，0）
∴OA=6
把x=3代入 y=-32+69
∴顶点坐标为（3，9）
（2）当y=0时，
，
即A（m，0）
∵点A关于点B的对称点A′
∴A′(-m，-8)
把A′(-m，-8)代入得m1=2,m2=-2（舍去）
∴m=2.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知坐标的对称性.
23、1．
【分析】根据根式、绝对值、指数的运算，以及特殊角的三角函数值，即可求得.
【详解】|1﹣|+（﹣cos60°）2﹣﹣（2+3）0
＝﹣1+4﹣+3﹣1
＝1
【点睛】
本题考查根式、绝对值、指数的运算，以及特殊角的三角函数值，属基础题.
24、，理由见解析.
【分析】根据题意，先证明∽，则，得到，然后得到结论成立.
【详解】证明：；
理由如下：如图：

∵平分，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
25、
【分析】根据完全平方公式和平方差公式,先算整式乘法,再算加减.
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】
考核知识点：整式乘法.熟记乘法公式是关键.
26、（1）8 ；（2）；（3）
【分析】（1）根据D等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B等级的百分比即可得a的值；
（2）用C等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数；
（3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可
【详解】解：（1）班级总人数为 人，B等级的人数为 人，故a的值为8；
（2）
∴C等级对应扇形的圆心角的度数为．
（3）画树状图如图：(画图正确）
由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．
∴P（一男一女）

答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率为．也考查了统计图．