相交线与平行线初学及少量例题.doc

第五章相交线与平行线
5.1相交线
两直线相交会产生四个角，这四个角有什么关系？
一、互为邻补角与对顶角

1． 由上个图我们先观察∠2与∠4他们有一个公共边OA，他们的另一条边OC、OD互为反向延长线具有这种关系的两个角，互为邻补角。
2． 再看∠1与∠2他们有一个公共顶点O,并且∠1得两边分别是∠2的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
3． 对顶角的性质：
还是上面的图∠2与∠4互补，∠1与∠4互补也就是∠2+∠4=180°，∠1+∠4=180°，可以得出∠1=∠2
（同角的补角相等）。而∠1与∠2是对顶角，所以得到对顶角的性质：对顶角相等
二、垂线
1 垂直
现在我们还看这两支铅笔，保持两支铅笔相交让一支不动，转动另外一支，当两支铅笔相交所形成的四个角都相等得时候，也就是每个角都是90°时，两条直线互相垂直，其中一条直线是另外一条直线的垂线，他们的焦点是垂足。所以垂直是相交的一种特殊的情况。
反过来，两条直线互相垂直，他们相交所成的四个角都是直角。
判断两直线是否垂直，应求出两条直线相交所成德角的数，若为90°，则垂直，否则不垂直。
二、垂线的性质
1．动手画：过直线l上一点O可以做几条直线与l垂直，过直线外一点B可以做几条直线与l垂直？只能画出一条垂线，即：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

2、如上右图，连接直线L外一点P与直线L上的各点B、C、D、E、F…其中PA⊥L（我们称PB为点P到直线L的垂线段），比较线段PB、PC、PD、PE PF…的长度，可以发现在这些线段中垂线段PB最短。
总结：连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
3、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
例1．如图，∠1的邻补角是( )．

.(A)∠BOC (B)∠BOC和∠AOF (C)∠AOF (D)∠BOE和∠AOF
例2. 图中，是对顶角的为（ ）

例2. 如图，三条直线相交于点O，则（ ）
A. B. C. D.

例3．若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC＝a，则∠AOD等于( )．

(A)180°－2 a (B)180°－a （C) (D)2 a－9°
例4．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )条．

(A)3 (B)4
(C)7 (D)8
三、同位角、内错角、同旁内角
我们知道两条直线相交形成了四个角，有两对对顶角，有四对邻补角。现在两条直线都和第三条直线相交如下图形成了八个角。除对顶角、邻补角之外，像∠1与∠5，∠2与∠6等这样的角有何特点？还有∠3与∠5，∠4与∠6有什么特点？再者要看∠3与∠6，∠4与∠5等这样的角有什么特点？他们都是什么角？

根据对上图的分析，可以找到规律，∠1与∠5分别在两条直线a, b的同一方，并且都在第三条直线c的同侧，∠2与∠6也同样，具有这种位置关系的一对角叫做同位角；∠3与∠5都在两条直线a, b之间，并且分别在第三条直线c的两侧，∠4与∠6也同样，具有这种位置关系的一对角叫做内错角; ∠4与∠5又有何特点，观察发现他们都在两条直线a, b之间，并且在第三条直线c的同旁，∠3与∠6也同样，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，对他们的识别要结合图形。
5.2平行线
一、平行线
动手转一转

将三支铅笔标为a、b、c，分别将铅笔a、b与木条c钉在一起，并把他们想像成两端可以无限延伸的三条直线。转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐渐变为在右侧与b相交。在这个过程中，有没有直线a与直线b不想交的位置呢？
在转动的过程中，存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与直线b互相平行，记作a∥b.
画一画
过直线外的点A、B作平行于直线的直线

3．利用直尺和三角板画平行线是几何画图基本技能之一，注意掌握“一落、二靠、 三移、四画”的基本方法．通过画图可以体验一个事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。在同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交和平行；
垂直是相交的一种特殊形式；
重合是平行的一种特殊形式；

二、直线平行的条件
我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线如图。这个过程中，三角尺起什么作用呢？

三角板的作用是让∠1=∠2, ∠1和∠2是同位角，也就是说，同位角相等，AB∥CD.
由此可以得到判断两直线平行的方法：
方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

例1 如图1所示，已知∠B=40°，∠DCF=140°，∠D=40°.
（1） 那么AB∥CD吗？
（2） BF∥DE吗？为什么？

图1 图2
一、平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
二、 拿出一篇方格纸，看其中的一行，上下两条格线是平行的，那中间的竖格都同时垂直上下两条格线，他们的长度是怎样的，是相等的.像这样，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.
三、命题
我们看一下下面这些句子:
(1) 等式两边加或减同一个数，结果仍是等式；
(2) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
(3) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(4) 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
这些都是对某一件事情做出判断的语句，像这样判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是有已知事项推出的事项.
命题可以写成“如果……那么……”的形式，这时 ，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

图形的平移
一、考点讲解：
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基
本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
3．简单的平移作图
（3）平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．

图形的旋转
一、考点讲解：
1．旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心．
理解旋转这一概念应注意以下两点：（1）旋转和平移一样是图形的一种基本变换（2）图形旋转的 决定因素是旋转中心和旋转的角度．
2．旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化．
3．简单图形的旋转作图
两种情况：（1）给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；（2）给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．
作图步骤（1）作出图形的几个关键点旋转后的对应点；（2）顺次连接各点得到旋转后的图形．
以上这种方法可概括为“以局部定整体”的作图法，体现了点、线、面之间的转化关系，作图过程应遵循点动成线，线动成面的基本规律．
4．图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的．

随堂练习
1．如图所示，线段ON是由线段______平移得到的；线段DE是由线段______平移得到的；线段FG是由线段______平移得到的．