3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答.doc

第三章 微分中值定理与导数的应用答案

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§3.1 微分中值定理
1． 填空题
（１）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是．
（２）设，则有 3 个实根，分别位于区间中．

2． 选择题
（１）罗尔定理中的三个条件:在上连续，在内可导，且，是在内至少存在一点，使成立的（ B ）．

A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件

（２）下列函数在上满足罗尔定理条件的是（ C ）．
A.　 B.    C.     D.
（３）若在内可导，且是内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）．
A．
B． 在之间
C．
D．

3．证明恒等式：．
证明： 令，则，所以为一常数．
设，又因为，
故 ．

4．若函数在内具有二阶导数，且，其中 ，证明:在内至少有一点，使得．
证明：由于在上连续,在可导,且，根据罗尔定理知，存在， 使． 同理存在，使． 又在上
符合罗尔定理的条件，故有，使得．
5． 证明方程有且仅有一个实根．
证明：设，　则，根据零点存在定理至少存在一个， 使得．另一方面，假设有，且，使，根据罗尔定理，存在使，即，这与矛盾．故方程只有一个实根．

6． 设函数的导函数在上连续，且，其中是介于之间的一个实数． 证明： 存在, 使成立.
证明： 由于在内可导，从而在闭区间内连续，在开区间内可导．又因为，根据零点存在定理，必存在点，使得． 同理，存在点，使得．因此在上满足罗尔定理的条件，故存在， 使成立．

7. 设函数在上连续, 在内可导. 试证:至少存在一点, 使

证明： 只需令，利用柯西中值定理即可证明.

8．证明下列不等式
（１）当时，．
证明： 设，函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，且, 故, 即
()
因此， 当时，．
（２）当 时，．
证明：设，则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件，有

因为，所以，又因为，所以，从而
．

§3.1 洛毕达法则

1． 填空题
（１）
（２） 0
（３）=
（４）1

２．选择题
（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）
A．
B．  
C．    不存在
D． =
（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）
A． B． C．   D．

3． 求下列极限
（１）．
解： =．

（２）．
解： ===．

（３） ．

解：＝＝．
（４） ．
解：＝＝．

（５）．
解：　，
＝＝
．
（６） ．
解：

（７） ．
解：．
（８）．
解： =
==．

（９） ．
解： 因为，所以=1．

§3.3 泰勒公式
１．按的幂展开多项式．
解： ，
同理得，且．
由泰勒公式得：=．
2． 求函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．
解：因为，
所以 ==．

3． 求一个二次多项式，使得．
解：设，则，．
，
故 ，
则 为所求．
4．利用泰勒公式求极限．
解：因为 ，
所以 ==，
故 ．

5． 设有三阶导数,且,证明在内存在一点,使．
证明： 因为 ，所以．
由麦克劳林公式得： （介于0与之间），因此 ，由于，故．

§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1． 填空题
（１） 函数的单调增加区间是，单调减少区间．

（２）若函数二阶导数存在，且，则在上是单调 增加 ．

（３）函数在内单调增加，则．

（４）若点（1，3)为曲线的拐点，则，，曲线的凹区间为，凸区间为．

2． 单项选择题
（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数.
　　　A. 　　 B. 　　
　C. 　　　 D. 　
（２）设，则在区间内（ B ）．
A. 单调增加，曲线为凹的
B.  单调减少，曲线为凹的 
C.  单调减少，曲线为凸的
Ｄ．单调增加，曲线为凸的

（３）在内可导, 且,当 时, ,则( D )
A. 任意 B. 任意
C. 单调增 D. 单调增

（４）设函数在上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ）
A. B.
C. D.
2． 求下列函数的单调区间
（１）．
解：，当时，,所以函数在区间为单调增加；
当时，，所以函数在区间为单调减少．
（２）．
解：，
当，或时，,所以函数在区间为单调增加；
当时，，所以函数在区间为单调减少．
（３）
解： ，故函数在单调增加．

3． 证明下列不等式
（１）证明： 对任意实数和, 成立不等式．
证明：令，则， 在内单调增加.
于是, 由 , 就有 , 即

（２）当时, ．
证明：设， ，由于当时，, 因此在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 当 时, 有.故当时,, 因此．

（３）当 时，．
证明：设, ，当，，
所以在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 从而当 时, 有. 因此当 时，．
4． 讨论方程(其中为常数)在内有几个实根．
解：设 则在连续, 且，
由，得为内的唯一驻点．
在上单调减少，在上单调增加．
故为极小值，因此在的最大值是,最小值是．
（１） 当或时,方程在内无实根；
（２） 当时,有两个实根；
（３） 当时，有唯一实根．

5． 试确定曲线中的a、b、c、d，使得处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上．
解： ,，所以

解得： ．
6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
（１）
解： , ,
令,得，当时不存在．
当或时, ,当或时, ．
故曲线在上是凸的, 在区间和上是凹的，
曲线的拐点为．
　　（２）拐点及凹或凸的区间
解： ，．
当时，不存在；当时，．
故曲线在上是凸的, 在上是凹的，是曲线的拐点,

7．利用凹凸性证明: 当时,
证明：令, 则, ．
当时, , 故函数的图形在上是凸的, 从而曲线在线段（其中）的上方，又, 因此,即．

§3.5 函数的极值与最大值最小值
1． 填空题
（１）函数取极小值的点是．
（２） 函数在区间上的最大值为，最小值为 ．

2．选择题
（１） 设在内有二阶导数，，问还要满足以下哪个条件，则必是的最大值？（　C ）
A． 是的唯一驻点 B． 是的极大值点
C． 在内恒为负 D．　不为零

（２） 已知对任意满足，若，则（　B　）
A. 为的极大值 B. 为的极小值
C. 为拐点 D. 不是极值点, 不是拐点

（３）若在至少二阶可导, 且,则函数在处( Ａ )
A． 取得极大值 B． 取得极小值 C． 无极值 D． 不一定有极值

3． 求下列函数的极值
（１）　．
解：由，得．
，所以函数在点取得极小值．

（２）．
解：定义域为，，
令得驻点，当时，，当时，．
因此为极大值．

4． 求的在上的最大值与最小值．
解：．
由，得, ．
而, 所以最大值为132，最小值为7．

5． 在半径为的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积最大．
解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为，
由于，因此 ，
由，得，此时．
由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在的内部取得. 现在在内只有一个根,故当, 时, 内接锥体体积的最大．

6. 工厂与铁路线的垂直距离为, 点到火车站的距离为. 欲修一条从工厂到铁路的公路, 已知铁路与公路每公里运费之比为，为了使火车站与工厂间的运费最省, 问点应选在何处？　

解: 设, 与间的运费为, 则
（），
其中是某一正数．
由 , 得.
由于, , , 其中以为最小, 因此当AD=km时, 总运费为最省．

7． 宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?

解： 问题转化为求过点的线段的最大值. 设木料的长度为, ，木料与河岸的夹角为，则，且
,
．
则
，
由得, 此时，
故木料最长为．

§3.6 函数图形的描绘
１．求的渐近线.
解：由 ，所以为曲线的铅直渐近线．
因为
所以为曲线的斜渐近线．

2．作函数的图形。
解： 函数的定义域为．
．
令，得；令，得．列表讨论如下：

＋

－
＋

＋

－
－
－
－

＋

æ
极大值
ö
æ
拐点

ø

由于
， ，
所以，是曲线的斜渐近线．又因为，所以是曲线的铅垂渐近线．
当时；当时．
综合上述讨论，作出函数的图形如下
2
3
－2
-1

§3.7 曲率
1． 填空题:
（１） 曲线上任一点的曲率为，上任一点的曲率为__0__．
（２） 曲线在其顶点处曲率为___2____，曲率半径为．
（３） 曲线的弧微分．

2． 求常数，使在处与曲线相切，且有相同的凹向与曲率．
解： 由题设可知 函数与在处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故
．

3． 曲线弧上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径．
解： , 曲线在一点处的曲率为

令 , ，
当时,,故在上单调增加, 因此在上的最大值是, 即在点处的曲率半径最小, 其曲率半径为．
4．求椭圆 在点处的曲率及曲率半径．
解：
因此曲率，
曲率半径．

§3.7方程的近似解
1. 试证明方程在区间内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01.
证明: 令，函数在单调递增．在上连续，且,故方程在区间内有唯一的实根．求近似值的过程略．

第三章 综合练习题

1．填空题
（１） 0 ．
（２） 函数在区间内单调减少，在区间内单调增加．
（３） 曲线的渐近线是．
（４） 1 ．
2． 求下列极限
（１）
解：＝
＝＝＝
＝．
（２）
解：==
=．
3． 求证当时， ．
证明： 令, 则
,
当时, ，故在单调增． 当时，有，即 ．　　
4． 设在上可导且，证明：存在点使.
证明： 设, 则，且．
由拉格朗日中值定理知, 存在，使, 即
．

5． 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且, , 证明： 存在,使得．
证明： 设分别在取得最大值， 则, 且． 令．
当时, , 由罗尔定理知, 存在, 使
, 进一步由罗尔定理知, 存在，使，即
当时, ,，由零点存在定理可知，存在，使． 由于，由前面证明知, 存在，使，即．

6． 设,证明方程有且仅有一个正的实根．
证明：设．　当，显然只有一个正的实根．下考虑时的情况．
先证存在性：　因为在内连续，且，，由零点存在定理知，至少存在一个，使，即至少有一个正的实根．
再证唯一性：假设有，且，使，根据罗尔定理，存在，使，即，从而，这与矛盾．故方程只有一个正的实根．

7． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在小时之后，生产出个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？
解：因为,, 令,得． 又当时，．函数在上单调增加；当时，，函数在上单调减少．故当时，达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．