信号与系统-.ppt

上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福第二第二节 中心极限定理中心极限定理一、一、问题的引入的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例三、典型例题四、小四、小结上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福一、一、问题的引入的引入实例例:考察射考察射击命中点与靶心距离的偏差命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小小误差的差的总和和,这些因素包括些因素包括:瞄准瞄准误差、差、测量量误差、子差、子弹制造制造过程方面程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的的误差以及射差以及射击时武器的振武器的振动、气象因素、气象因素(如如风速、速、风向、能向、能见度、温度等度、温度等)的作用的作用,所有所有这些不同些不同因素所引起的微小因素所引起的微小误差是相互独立的差是相互独立的,并且它并且它们中每一个中每一个对总和和产生的影响不大生的影响不大.问题:某个随机某个随机变量是由大量相互独立且均匀小量是由大量相互独立且均匀小的随机的随机变量相加而成的量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福二、基本定理二、基本定理定理一（定理一（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福定理四表明定理四表明:上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福即即:上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福定理二定理二(李雅普李雅普诺夫定理夫定理)上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福则随机随机变量之和的量之和的标准化准化变量量上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福定理二表明定理二表明:(如如实例中射例中射击偏差服从正偏差服从正态分布分布)下面介下面介绍的定理三是定理一的特殊情况的定理三是定理一的特殊情况.上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福证明明 根据第四章第二根据第四章第二节例例题可知可知定理三定理三(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福根据定理四得根据定理四得定理三表明定理三表明:正正态分布是二分布是二项分布的极限分布分布的极限分布,当当n充分充分大大时,可以利用可以利用该定理来定理来计算二算二项分布的概率分布的概率.上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福下面的下面的图形表明形表明:正正态分布是二分布是二项分布的逼近分布的逼近.上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福三、典型例三、典型例题解解由定理四由定理四,随机随机变量量 Z 近似服从正近似服从正态分布分布 N(0,1),例例1上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福其中其中上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲的冲击,纵摇角大于角大于 3 的概率的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲次波浪冲击,问其中有其中有29 50030 500次次纵摇角大于角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲浪的冲击看作一次看作一次试验,并假并假设各次各次试验是独立的是独立的,在在90 000次波浪冲次波浪冲击中中纵摇角大于角大于 3 的次数的次数为 X,则 X 是一个随机是一个随机变量量,例例2上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福所求概率所求概率为分布律分布律为直接直接计算很麻算很麻烦，利用，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福 某保某保险公司的老年人寿保公司的老年人寿保险有有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元.若老人在若老人在该年内死亡年内死亡,公司付公司付给家家属属1万元万元.设老年人死亡率老年人死亡率为0.017,试求保求保险公司在公司在一年内的一年内的这项保保险中中亏本的概率本的概率.解解设 X 为一年中投保老人的死亡数一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福保保险公司公司亏本的概率本的概率上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福 对于一个学生而言于一个学生而言,来参加家来参加家长会的家会的家长人数是一个随机人数是一个随机变量量.设一个学生无家一个学生无家长、1名名家家长、2名家名家长来参加会来参加会议的概率分的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加各学生参加会会议的家的家长数相互独立数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会求参加会议的家的家长数数 X 超超过450的概率的概率;(2)求求有有1名家名家长来参加会来参加会议的学生数不多于的学生数不多于340的概率的概率.解解例例4上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福四、小四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普李雅普诺夫定理夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机当独立随机变量的个数增加量的个数增加时,其和的分布其和的分布趋于于正正态分布分布.上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福例例1 某某车间有有200台台车床，它床，它们独立地工作着，独立地工作着，开工率开工率为0.6,开工开工时耗耗电各各为1千瓦，千瓦，问供供电所至所至少要供少要供给这个个车间多少多少电力才能以力才能以99.9%的概率的概率保保证这个个车间不会因供不会因供电不足而影响生不足而影响生产。解：设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有：思 考 题上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。思 考 题上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福例例2某某单位有位有200台台电话分机，每台分机有分机，每台分机有5%的的时间要使要使用外用外线通通话。假定每台分机是否使用外。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，是相互独立的，问该单位位总机要安装多少条外机要安装多少条外线，才能以，才能以90%以上的概率以上的概率保保证分机用外分机用外线时不等待？不等待？解：设有X部分机同时使用外线，则有设有N条外线。由题意有由德莫佛-拉普拉斯定理有思 考 题上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福例例3设一个系一个系统由由100个相互独立起作用的部件个相互独立起作用的部件组成，成，每个部件的每个部件的损坏率坏率为0.1。为了使整个系了使整个系统正常工作，正常工作，至少必至少必须有有85个部件正常工作，求整个系个部件正常工作，求整个系统正常工作正常工作的概率。的概率。解：设X是损坏的部件数，则 XB(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当 X 15.由德莫佛-拉普拉斯定理有思 考 题上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福证例例4上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，上页 下页 返回 结束 安徽建筑工业学院数理系安徽建筑工业学院数理系主讲:俞能福