第五章连续时间模型和BlackScholes公式.ppt
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1、第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式金融市场学2024/5/21 周二15.1 连续时间股票模型令S(t)代表某股票在t时刻的价格,假设 S(t)服从几何布朗运动,即股票价格变动由模型 来决定。其中S代表股票价格,代表期望回报率,代表资产波动率,dW代表标准布朗运动。5.2 离散模型首先看离散资产价格模型。设在时刻 时的资产价格为 ,然后设 得到在0t T上离散时间的资产价格模型:其次看连续资产价格模型,由(2)式分别表示 ,得到极限形式 2024/5/21 周二2由 对(3)用中心极限定理,则 可表示为具有数学期望 和方差 的正态随机变量。即:由此,在t时刻资产价格的动态连续
2、时间可表达为:还能离散地得到任意时间序列0=t0t1t2tm的资产价格为:2024/5/21 周二3资产价格路径的随机模拟 可以用(5)计算资产价格路径的计算机模拟。假设以0=t0t1t2tm=T模拟S(t)的值,则可根据公式:来计算故轨迹 就是离散资本几个路径,也可以用公式:由于在风险中性世界里,所以资产的期望收益率等于无风险利率r 故(7)可以重写为:通常以通过产生随机数或拟随机数来模拟资产的几个路径,不妨设 为n资产价格路径(n=1,2,N)则由(8)可得:2024/5/21 周二4其中 代表t-1到t的时间间隔,r代表无风险利率,代表资产波动率,代表相互独立的标准正态分布随机数。在估计
3、期权价格时,我们需要估计到期日的现金流,可以通过多次价格路径模拟来估计。下面通过一些例子来看一看离散方法在模拟资产价格路径等方面的应用。对数正态模型 其中WT是均值为0,方差为T的随机正态分布变量,将围绕该直线波动,因此,如果我们(采用对数纸)描述股价的对数图,我们可以看见这些点落在一条直线上,如果模型更接近现实的话,会有一些点偏离直线。2024/5/21 周二55.3 连续时间模型的分析方程 是一个随机微分方程(SDE),大多数的SDE没有简洁的的封闭形式的解,但幸运的是这个方程存在。其解就是几何布朗运动。这正是具有连续时间变量T的离散模型(5.7)这里,Bt是均值为0,方差为t的正态随机变
4、量。由此得到的是股价的几何布朗运动模型(GBM)。注意:右边的表达式是一个均值为 ,方差为 的正态随机变量。在几何布朗运动模型中,有两个变量:波动率 和漂移率 ,但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到 但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。2024/5/21 周二6几何布朗运动参数估计 假设有一段时间0,T内的股价记录。这段时间由n个长度相等的子区间 组成,再假设已知每个子区间末的股价,将股价表示为:第i个子区间末的股价,样本观测值为n+1个。第一步:计算时间序列值:由几何布朗运动模型 值满足如下等式:几何布朗运动模型 具有下面的性质:1、是一个正态随机变量,方差为 ,均
5、值为0;2、这些差是相互独立的随机变量。2024/5/21 周二7第二步:计算系列数值 的均值和方差。令 表示均值,则 样本方差 表示为:U的观测值均值为 方差为第二步:解方程 和 得到 很容易得到:2024/5/21 周二85.4 Black-Scholes公式我们先介绍与B-S期权定价理论有关的一些预备知识,这些知识主要是围绕着股票价格的变化过程而展开的,内容包括维纳过程、伊藤过程、伊藤引理、几何布朗运动、对数正态分布等等这些内容是理解期权定价和更加复杂的衍生证券定价的基础。维纳过程 在介绍维纳过程之前,先简单介绍一下马尔科夫过程。它是一种特殊的随机过程,在该过程中,变量的变化仅依赖于该变
6、量前一瞬间的状态。当变量遵从马尔科夫过程时,变量在相邻时间内变化的方差具有可加性,但标准差不具有可加性。马尔科夫过程的重要特征是:变量的随机变化是独立同分布的。维纳过程是马尔科夫过程的特殊形式。如果变量服从维纳过程,则该变量的期望为0,方差为1.股票价格模型通常用维纳过程表达。在物理学中,这种过程也被称为布朗运动。2024/5/21 周二9 如果变量z=z(t)服从维纳过程,则其增量 必须满足如下两个基本性质:性质1:之间满足关系 其中 为从标准正态分布中抽取的一个随机值。性质2:对任何两个不同的时间间隔的值相互独立。由性质1,得出 服从期望值为0,方差为 ,标准差为 的正态分布。性质2意味着
7、变量z=z(t)服从马尔科夫过程。再由性质1,当 2024/5/21 周二10一般维纳过程 变量x服从一般维纳过程的定义如下:dx=adt+bdz (3)a是一般维纳过程的预期漂移率,b是波动率。式(3)由两项组成,如果不考虑bdz,则有dx=adt或x=x0+at。其中x0为x在0时刻的值,经过t时刻后,x增加值为at。如果仅考虑bdz,则dx=bdz,其中bdz可以看作是附加在变量x轨迹上的噪声或者波动,这些噪声或波动是维纳过程的b倍。将adt和bdz一并来考虑,则有dx=adt+bdz。经过时间增量 之后,x的增量为 。将(1)代入上式,有如前所述,是自标准正态分布中随机抽取的值,因此
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