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凸优化理论与应用凸优化.ppt
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1、可编辑1凸优化理论与应用第三章 凸优化可编辑2优化问题的基本形式n优化问题的基本描述:优化问题的基本描述:优化变量优化变量不等式约束不等式约束等式约束等式约束无约束优化无约束优化可编辑3优化问题的基本形式最优化值最优化值最优化解最优化解 优化问题的域优化问题的域 可行点可行点(解解)(feasible)且满足约束条件且满足约束条件 可行域(可解集)所有可行点的集合可编辑4局部最优解n局部最优问题局部最优问题n若若 为局部最优问题的最优解,则它为原最优问题的为局部最优问题的最优解,则它为原最优问题的局部最优解。局部最优解。可编辑5优化问题的等价形式(1)n定理:若定理:若 则原优化问题与以下优化
2、问题等价则原优化问题与以下优化问题等价可编辑6优化问题的等价形式(2)n定理:设定理:设 为一一对应,且为一一对应,且 则原优化问题与以下优化问题等价则原优化问题与以下优化问题等价可编辑7优化问题的等价形式(3)n定理:设定理:设 为严格单调增函数;为严格单调增函数;满满足足 当且仅当当且仅当 ;满足满足 当当且仅当且仅当 。则原优化问题与以下优化问题等价。则原优化问题与以下优化问题等价可编辑8优化问题的等价形式(4)n定理:原优化问题与以下优化问题等价定理:原优化问题与以下优化问题等价n 称为松弛变量称为松弛变量可编辑9优化问题的等价形式(5)n定理:设定理:设 满足等式满足等式 成立,当且
3、仅当成立,当且仅当 。则原优化问题与以下优化。则原优化问题与以下优化问题等价问题等价可编辑10可分离变量优化问题n性质:性质:其中其中可以分离变量可以分离变量n定理:优化问题定理:优化问题可编辑11优化问题的上半图形式可编辑12凸优化问题的基本形式n凸优化问题的基本描述:凸优化问题的基本描述:为仿射函数为仿射函数 为凸函数为凸函数 若若 为准凸函数,则优化问题称为准凸优化问题。为准凸函数,则优化问题称为准凸优化问题。性质:凸优化问题的可行域是凸集。可编辑13抽象凸优化问题n例:例:等价于凸优化问题等价于凸优化问题可编辑14凸优化问题的局部最优解n定理:凸优化问题的局部最优解均是全局最优解。可编
4、辑15凸优化问题最优解n定理:设 为凸优化问题的可行域,可微。则 为最优解当且仅当 成立。可编辑16凸优化问题最优解n定理:无约束凸优化问题中,若定理:无约束凸优化问题中,若 可微。则可微。则 为最为最优解当且仅当优解当且仅当 成立。成立。n例:无约束二次优化问题例:无约束二次优化问题n可知可知可编辑17凸优化问题的最优解则则 为最优解当且仅当为最优解当且仅当 ,且存在向量,且存在向量 满足满足 n定理:设凸优化问题仅有等式约束定理:设凸优化问题仅有等式约束可编辑18凸优化问题的最优解则则 为最优解当且仅当为最优解当且仅当 ,且,且 n定理:设凸优化问题仅有逐项非负不等式约束定理:设凸优化问题
5、仅有逐项非负不等式约束可编辑19凸优化问题的等价形式等价于等价于 n定理:设凸优化问题定理:设凸优化问题其中其中 可编辑20凸优化问题的等价形式等价于 n定理:设凸优化问题可编辑21准凸优化问题 为准凸函数,为准凸函数,为凸函数。为凸函数。n准凸优化问题的基本描述准凸优化问题的基本描述n注:准凸优化问题的局部最优解不一定是全局最优解。准凸优化问题-最优解的充分条件可编辑22n定理:设 为准凸优化问题的可行域,可微。若有则 为准凸优化问题的最优解。可编辑23准凸优化问题的上半图形式n设设 为准凸函数为准凸函数 的凸函数族表示,即的凸函数族表示,即 则准凸优化问题的可行解问题为则准凸优化问题的可行
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