河南省淮滨县2022年数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线如图所示，给出以下结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）其中结论错误的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在菱形ABCD中，于E，，，则菱形ABCD的周长是　　

A．5 B．10 C．8 D．12
4．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1；④当y＞0时，﹣3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大：⑥若点E（﹣4，y1），F（﹣2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（　　）个

A．5 B．4 C．3 D．2
6．下列事件中为必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面向上 B．打开电视，正在播放广告
C．购买一张彩票，中奖 D．从三个黑球中摸出一个是黑球
7．如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )
A． B． C． D．
9．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ）

A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
10．如图，动点A在抛物线y＝-x2+2x+3（0≤x≤3）上运动，直线l经过点（0，6），且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是（　　）

A．2≤BD≤3 B．3≤BD≤6 C．1≤BD≤6 D．2≤BD≤6
11．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
12．若是方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．双曲线 在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________
14．如图，，与交于点，已知，，，那么线段的长为__________．

15．如图,利用标杆测量建筑物的高度,已知标杆高1.2,测得,则建筑物的高是__________．

16．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是_____．

17．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为米，旗杆的影长为米，若小青的身高为米，则旗杆的高度为__________米.

18．墙壁CD上D处有一盏灯(如图)，小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝____．

三、解答题（共78分）
19．（8分）解方程
（1）x2﹣6x﹣7＝0
（2）（x﹣1）（x+3）＝12
20．（8分）如图， 已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F. 试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF＝BF

21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．

⑴求ｋ的值；
⑵求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．
22．（10分）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）如图2，将三角板绕点旋转，当时，连接交于点求证：；

（3）如图3，将“正方形”改为“矩形”，且将三角板的直角顶点放于对角线(不与端点重合)上，使三角板的一边经过点，另一边交于点，若，求的值．

23．（10分）近年来某市大力发展绿色交通，构建公共、绿色交通体系，将“共享单车”陆续放置在人口流量较大的地方，琪琪同学随机调查了若干市民用“共享单车”的情况，将获得的数据分成四类，：经常使用；：偶尔使用；：了解但不使用；：不了解，并绘制了如下两个不完整的统计图.请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的总人数是 人，“：了解但不使用”的人数是 人，“：不了解”所占扇形统计图的圆心角度数为 .
（2）某小区共有人，根据调查结果，估计使用过“共享单车”的大约有多少人？
（3）目前“共享单车”有黄色、蓝色、绿色三种可选，某天小张和小李一起使用“共享单车”出行，求两人骑同一种颜色单车的概率.
24．（10分）在中，，以直角边为直径作，交于点，为的中点，连接、．

（1）求证：为切线．
（2）若，填空：
①当________时，四边形为正方形；
②当________时，为等边三角形．
25．（12分）先锋中学数学课题组为了了解初中学生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行调查，调查结果分为“重视”、“一般”、“不重视”、“说不清楚”四种情况（依次用A、B、C、D表示），依据相关数据绘制成以下不完整的统计表和统计图，请根据图表中的信息解答下列问题：
类别
频数
频率
重视
a
0.25
一般
60
0.3
不重视
b
c
说不清楚
10
0.05

（1）求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；
（2）若该校共有2000名学生，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的学生人数．
26．如图，AB是€⊙O的直径，点C是€€⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，再根据与x轴的交点坐标代入分析即可得到结果；
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴ab＜0，故①②正确；
当x=-1时，，故③正确；
当x=1时，根据图象可得，故④正确；
根据函数图像与x轴有两个交点可得，故⑤正确；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析每一个数据是解题的关键．
2、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线可知： ，，
对称轴，
∴，
∴，故①错误；
②由对称轴可知： ，
∴，
，故②错误；
③关于的对称点为，
∴时，，故③正确；
④当时，y的最小值为，
∴时， ，
∴，
故④正确
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.
3、C
【解析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=2，然后利用周长公式进行计算即可得答案.
【详解】如图连接AC，

，，
，
菱形ABCD的周长，
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握的灵活应用相关知识是解题的关键.
4、B
【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】画树状图得：

则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果，
∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为 ＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
5、C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案．
【详解】由抛物线的开口向上，可得a＞0，对称轴是x＝﹣1，可得a、b同号，即b＞0，抛物线与y轴交在y轴的负半轴，c＜0，因此abc＜0，故①不符合题意；
对称轴是x＝﹣1，即﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，因此②符合题意；
抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），可知与x轴的另一个交点为（﹣3，0），因此一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，故③符合题意；
由图象可知y＞0时，相应的x的取值范围为x＜﹣3或x＞1，因此④不符合题意；
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此当x＞0时，y随x的增大而增大是正确的，因此⑤符合题意；
由抛物线的对称性，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣2，
∴y1＞y2，（3，y3）l离对称轴远
因此y3＞y1，因此y3＞y1＞y2，因此⑥不符合题意；
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a、b、c的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．
6、D
【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件逐项进行判断即可.
【详解】A，B，C选项中，都是可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；
D是必然事件，符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查必然事件的定义，熟练掌握定义是关键.
7、B
【分析】根据平行可得，∠A=∠O，据圆周角定理可得，∠C=∠O，结合外角的性质得出∠ADB=∠C+∠A=60°，可求出结果．
【详解】解：∵OB∥AC，∠A=∠O，
又∠C=∠O，
∴∠ADB=∠C+∠A=∠O +∠O=60°，
∴∠O=40°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理、平行线的性质以及外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
8、A
【解析】一次函数当时，函数值总是随自变量的增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大.
【详解】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.
故选：.
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.
9、B
【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵CD=CE，OE=OD，
∴AO是线段DE的垂直平分线，
∴∠AOB=90°；
则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．
10、D
【分析】根据题意先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，4），再根据矩形的性质得BD=AC，由于2≤AC≤1，从而进行分析得到BD的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
∵直线l经过点（0，1），且与y轴垂直，抛物线y＝-x2+2x+3（0≤x≤3），
∴2≤AC≤1，
∴另一对角线BD的取值范围为：2≤BD≤1．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质与二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
11、C
【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值．
【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.
12、D
【解析】试题分析：x1+x2=-=6，故选D
考点: 根与系数的关系

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据反比例函数的性质可知 ，y随x的增大而增大则k知小于0，即m-2＜0，解得m的范围即可.
【详解】∵反比例函数y随x的增大而增大
∴m-2＜0
则m＜2
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，函数值y随x的增大而增大则k小于0，函数值y随x的增大而减小则k大于0.
14、
【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD＝AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长．
【详解】∵AB∥CD，
∴OA：OD＝AB：CD，即OA：2＝4：3，
∴OA＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
15、10.5
【解析】先证△AEB∽△ABC，再利用相似的性质即可求出答案.
【详解】解：由题可知，BE⊥AC，DC⊥AC
∵BE//DC，
∴△AEB∽△ADC，
∴，
即：，
∴CD＝10.5（m）.
故答案为10.5.
【点睛】
本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.
16、115°
【解析】根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可．
【详解】由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠E＝∠CAE＝45°，
∵∠ACD＝70°，
∴∠DCE＝20°，
∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°，
故答案为115°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．
17、1
【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，

∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴，
解得OA=1．
故答案为1．
18、m
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．
【详解】如图：

根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，
∴,
解得：x=, y=,
∴CD=m.
∴灯泡与地面的距离为米，
故答案为m.

三、解答题（共78分）
19、（1）x＝7或x＝﹣1（2）x＝﹣5或x＝3
【分析】（1）方程两边同时加16，根据完全平方公式求解方程即可．
（2）开括号，再移项合并同类项，根据十字相乘法求解方程即可．
【详解】（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴x2﹣6x+9＝16，
∴（x﹣3）2＝16，
∴x﹣3＝±4，
∴x＝7或x＝﹣1；
（2）原方程化为：x2+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣5或x＝3；
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20、1．
【解析】（1）根据等边三角形性质得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根据SAS证△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；
（1）根据等边三角形性质求出∠ABE=∠AEB=60°，根据∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．
（1）解：△BEC是等腰三角形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形．
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠ABE＝45°，
∴∠AEB＝45°＝∠ABE，
∴AE＝AB＝，
由勾股定理得：BE＝，
即BC＝BE＝1．
“点睛”本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用．
21、（1）；（2）B(2,-2)
【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求得a的值，再将A坐标代入反比例函数解析式中求得m的值；
（2）联立解方程组，即可解答．
【详解】⑴把点A(-1,a)代入得

把点A(-1,4)代入得：
⑵解方程组 ，
解得： ,
∴B(2,-2)．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握求两函数图象交点的方法是解答的关键，会解方程（组）是解答的基础．
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据旋转全等模型利用正方形的性质，由可证明，从而可得结论；
（2）根据正方形性质可知，结合已知可得；再由（1）可知是等腰直角三角形可得 ，从而证明 ，由相似三角形性质即可得出结论；
（3）首先过点作，垂足为，交AD于M点，由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，再由平行可得，由此即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵在正方形ABCD中，
∴，
又∵，
，
在和中，
，
∴（ASA），
；
（2）证明 ：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴．

（3）解：如图，过点作，垂足为，交AD于M点，

∵四边形ABCD为矩形，
∴，，
∴四边形ABNM是矩形，
∴ ，，
∴
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
，
∵
．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形性质和判定；涉及了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意旋转全等模型和一线三垂直模型的应用．
23、（1），，；（2）4500人；（3）
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息，即可求解；
（2）由小区总人数×使用过“共享单车”的百分比，即可得到答案；
（3）根据题意，列出表格，再利用概率公式，即可求解．
【详解】（1）50÷25％=200（人），
200×（1-30％-25％-20％）=50（人），
360°×30％=108°，
答：这次被调查的总人数是200人，“：了解但不使用”的人数是50人，“：不了解”所占扇形统计图的圆心角度数为108°．
故答案是：，，；
（2）×（25％+20％）=（人），
答：估计使用过“共享单车”的大约有人；
（3）列表如下：
小张
小李
黄色
蓝色
绿色
黄色
（黄色，黄色）
（黄色，蓝色）
（黄色，绿色）
蓝色
（蓝色，黄色）
（蓝色，蓝色）
（蓝色，绿色）
绿色
（绿色，黄色）
（绿色，蓝色）
（绿色，绿色）
由列表可知：一共有种等可能的情况，两人骑同一种颜色有三种情况：（黄色，黄色），（蓝色，蓝色），（绿色，绿色）
．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及简单事件的概率，列出表格，得到事件的等可能的情况数，是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）①2；②．
【分析】（1）连接，，根据为斜边的中线得出，进而证明得出即得．
（2）①根据正方形的判定，只需要即得；
②根据等边三角形的判定，只需要即得．
【详解】（1）证明：如图，连接，．
∵为直径
∴
∵为斜边的中线
∴
∵，
∴
∴
∴为的切线．

（2）①当DE=2时
∵
∴
∵由（1），得
∴
∴四边形为菱形
∵
∴四边形为正方形
②当时
∵
∴为切线
∵由（1），为切线
∴
∵为的中点
∴
∵
∴
∴
∵OD=OB
∴为等边三角形
【点睛】
本题是圆的综合题型，考查了圆周角定理、切线判定、切线长定理、正方形的判定、等边三角形的判定及全等三角形的判定及性质，解题关键是熟知：直径所对的圆周角是直角，经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
25、（1）样本容量为200，a＝50，b＝80，c＝0.4，图见解析；（2）800人
【分析】（1）由“一般”的频数及其频率可得样本容量，再根据频率＝频数÷样本容量及频数之和等于总人数求解可得；
（2）用总人数乘以样本中“不重视”对应的频率即可得．
【详解】（1）样本容量为60÷0.3＝200，则a＝200×0.25＝50，b＝200﹣50﹣60﹣10＝80，c＝80÷200＝0.4，
补全条形图如下：

（2）估计该校“不重视阅读数学教科书”的学生人数为2000×0.4＝800（人）．
【点睛】
本题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图和利用样本估计总体等知识.
26、（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝5．
【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；
（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，
∴OC⊥PD，
∴PC与⊙O相切；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴，
∴∠ABE＝∠ECB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCP+∠OCB＝90°，
∴∠BCP＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠BCP＝∠BEC，
∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：连接AE，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，
∴BC＝6，
由勾股定理得，AB＝，
∵，
∴AE＝BE，
则△AEB为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝5．

【点睛】
本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定，切线的判定及勾股定理、锐角三角函数．熟练运用这些性质是解题的关键．