新人教版八年级下数学二次根式教案.doc

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第十六章 二次根式
课 题
16.1二次根式(1)

教 学 目 标
1.经历二次根式概念的发生过程
2.了解二次根式的概念
3.理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围
4.会求二次根式的值
教 学 设 想
教学重点： 二次根式的概念
教学难点：例1的第（2）（3）题学生不容易理解。
教 学 程 序 与 策 略
一、 知识回顾：
1、什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
2、什么叫算术平方根?
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。
用表示
讨论并解释：为什么a≥0 ？

二、 新课教学
做一做：课本P 4 的填空
你认为所得的各代数式的共同特点是什么?
象 这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数式叫做二次根式
例1：求下列二次根式中字母a的取值范围：
为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。

解：（1）由a+1≥0 得，a≥-1
∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数
（2）由 ＞0，得 1-2a＞0。即a<,
∴字母a的取值范围是小于的实数
（3）因为无论a取何值，都有（a-3）2≥0,所以a的取值范围是全体实数
说明：求字母的取值范围实质是：转化为解不等式（组）

练习： 求下列二次根式中字母a的取值范围：

例2：当x = -4 时，求二次根式 的值
解：将x = -4 代入 二次根式得
= = 3
说明：与求代数式的值类比。
1、若二次根式 的值为3，求x的值.

提高：

2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?
3、当分别取下列值时,求二次根式的值:
; ; .
检测：求二次根式中的取值范围：
（1） （2） （3） （4）
附加题： （5） （6） （7）
三、课堂小结：由学生总结，教师适当提问补充。
本节课要掌握：
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
四、作业：

教后反思

第十六章 二次根式
课 题
16.1二次根式(2)

教 学 目 标
1．理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
2．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教 学 设 想
1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．
教 学 程 序 与 策 略
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
老师点评（略）．
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
（a≥0）是一个非负数．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．
同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以
（）2=a（a≥0）
例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，
（）2=，（）2=．
三、巩固练习
计算下列各式的值：
（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2
四、应用拓展
例2 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
五、归纳小结
本节课应掌握：
1．（a≥0）是一个非负数；
2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．
六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式
课 题
16.1二次根式(3)

教 学 目 标
1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
教 学 设 想
1、重点：＝a（a≥0）．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．
教 学 程 序 与 策 略
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个非负数；
3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
=_______；=_______；=______；
=________；=________；=_______．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
=2；=0.01；=；=；=0；=．
因此，一般地：=a（a≥0）
例1 化简
（1） （2） （3） （4）
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．
解：（1）==3 （2）==4
（3）==5 （4）==3
三、巩固练习
教材练习
四、应用拓展
例2 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1）因为=a，所以a≥0；
（2）因为=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
五、归纳小结
本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展
六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式
课 题
16.2二次根式的乘法

教 学 目 标
1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
2、利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
教 学 设 想
1、重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，
b≥0）及它们的运用．
2、难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．
教 学 程 序 与 策 略
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题．
1．填空
（1）×=_______，=______；
（2）×=_______，=________．
（3）×=________，=_______．
2.参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____，×________
二、探索新知
（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．
老师点评：（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1．计算
（1）× （2）× （3）× （4）×
解：（1）×=
（2）×==
（3）×==9
（4）×==
例2 化简
（1） （2） （3）
（4） （5）
解：（1）=×=3×4=12 （2）=×=4×9=36
（3）=×=9×10=90
（4）=×=××=3xy
（5）==×=3
三、巩固练习
（1）计算（学生练习，老师点评）
① × ②3×2 ③·
(2) 化简: ; ; ; ;
四、应用拓展
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及运用．
六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式
课 题
16.2二次根式的除法

教 学 目 标
1、理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
2、 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
教 学 设 想
1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教 学 程 序 与 策 略
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=________，=_________； （2）=________，=________；
（3）=________，=_________； （4）=________，=________．
规律：______；______；_______；_______．
二、探索新知
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）， 反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1．计算：（1） （2） （3） （4）
解：（1）===2 （2）==×=2
（3）===2 （4）===2
例2．化简：
（1） （2） （3） （4）
解：（1）= （2）=
（3）= （4）=
三、巩固练习
课本练习题
四、应用拓展
例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．
解：由题意得，即
∴6<x≤9
∵x为偶数
∴x=8
∴原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）=
∴当x=8时，原式的值==6．
五、归纳小结
本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式
课 题
16.2二次根式的乘除（3）

教 学 目 标
1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
教 学 设 想
1．重点：最简二次根式的运用．
2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教 学 程 序 与 策 略
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）
1．计算（1），（2），（3）
老师点评：=，=，=
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_________．
它们的比是．
二、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．
老师点评：不是．
=.
例1．(1) ; (2) ; (3)
三、巩固练习
1、 课本练习
2、化简:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.
3、计算
（1）·（-）÷（m>0，n>0）
（2）-3÷（）× （a>0）
四、应用拓展

例2．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
五、归纳小结
本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用
六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式
课 题
16.2二次根式的加减（1）

教 学 目 标
1、理解和掌握二次根式加减的方法．
2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
教 学 设 想
1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
教 学 程 序 与 策 略
一、学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
教师点评：同类项合并就是字母不变，系数相加减．
二、探索新知
学生活动：计算下列各式．
（1）2+3 （2）2-3+5
（3）+2+3 （4）3-2+
老师点评：
（1）如果我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？
2+3=（2+3）=5
（2）把当成y；
2-3+5=（2-3+5）=4=8
（3）把当成z；
+2+
=2+2+3=（1+2+3）=6
（4）看为x，看为y．
3-2+
=（3-2）+
=+
因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．
（板书）3+=3+2=5
3+=3+3=6
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算
（1）+ （2）+
解：（1）+=2+3=（2+3）=5
（2）+=4+8=（4+8）=12
例2．计算
（1）3-9+3
（2）（+）+（-）
解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15
（2）（+）+（-）=++-
=4+2+2-=6+
三、巩固练习
1、 课本练习
2、

四、应用拓展

五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；
（2）相同的最简二次根式进行合并．
六、布置作业

教后反思