山东省淄博市临淄区2022-2023学年数学九上期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如右图要测量小河两岸相对的两点、的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
3．如图，两点在反比例函数的图象上，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，则的值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6
4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝5的过程中，配方正确的是（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
5．如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，下图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象是（ ）

A． B．
C． D．
6．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的图象经过点P(-1,4)，则该图象必经过点( )
A．(1,4) B．(-1，-4) C．(-4,1) D．(4，-1)
9．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0， 若x1+x2=3，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
10．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则的度数是　　

A．
B．
C．
D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．
12．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
13．两个相似三角形的面积比为，其中较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为__________．
14．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为_____.

15．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为，长为，左侧图片的长比宽多. 若，则右侧留言部分的最大面积为_________.

16．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为______．
17．2019年元旦前，无为米蒂广场开业期间，某品牌服装店举行购物酬宾抽奖活动，抽奖箱内共有15张奖券，4张面值100元，5张面值200元，6张面值300元，小明从中任抽2张，则中奖总值至少300元的概率为_____．
18．已知一组数据：12，10，1，15，6，1．则这组数据的中位数是__．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，菱形的边在轴上，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，直线经过点，与轴交于点，连接，.

（1）求，的值；（2）求的面积.
20．（6分）华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x元(x为正整数)，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
21．（6分）如图，在中，，平分交于点，将绕点顺时针旋转到的位置，点在上．

（1）旋转的度数为______；
（2）连结，判断与的位置关系，并说明理由．
22．（8分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
23．（8分）在半圆O中，AB为直径，AC、AD为两条弦，且∠CAD+∠CAB＝90°．

（1）如图1，求证：弧AC等于弧CD；
（2）如图2，点E在直径AB上，CE交AD于点F，若AF＝CF，求证：AD＝2CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，若AE＝4，BD＝12，求弦AC的长．
24．（8分）如图，点在以为直径的上，的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长度.
25．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：.
26．（10分）（1）计算:
（2）化简：

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ACP中，tan∠ACP=
∴米
故选A．
【点睛】
此题考查是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键．
2、C
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则可对①②进行判断；利用判别式的意义可对③进行判断；利用平方差公式得到（a+b）2-b2=（a+b-b）（a+b+b），然后把b=-2a代入可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2a＜0，所以①正确；
∴b+2a=0，所以②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③正确；
∵（a+b）2-b2=（a+b-b）（a+b+b）=a（a+2b）=a（a-4a）=-3a2＜0，
∴（a+b）2＜b2，所以④正确．
故选：C．
【点睛】
考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3、D
【分析】连接OA、OB、OC、OD，由反比例函数的性质得到，，结合两式即可得到答案.
【详解】连接OA、OB、OC、OD，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AC=3，BD=2，EF=5，
∴解得OE=2，
∴，
故选：D.

【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，比例系数与三角形面积的关系，掌握反比例函数解析式中k的几何意义是解题的关键.
4、B
【分析】在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5、A
【分析】运用动点函数进行分段分析，当点P在AD上和在BD上时，结合图象得出符合要求的解析式．
【详解】①当点P在AD上时，此时BC是定值，BC边的高是定值，则△PBC的面积y是定值；
②当点P在BD上时，此时BC是定值，BC边的高与运动时间x成正比例的关系，则△PBC的面积y与运动时间x是一次函数，并且△PBC的面积y与运动时间x之间是减函数，y≥1．
所以只有A符合要求．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键，有一定难度．
6、B
【分析】将横坐标代入反比例函数求出纵坐标，即可比较大小关系.
【详解】当x=−3时,y1=−1，
当x=−1时,y2=−3，
当x=1时,y3=3，
∴y2<y1<y3
故选：B.
【点睛】
本题考查反比例函数值的大小比较，将横坐标代入函数解析式求出纵坐标是解题的关键.
7、D
【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，
根据题意可列方程为．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．
8、A
【解析】把P点坐标代入二次函数解析式可求得a的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可；
【详解】∵二次函数的图象经过点P(-1，4)，
∴，
解得a=4，
∴二次函数解析式为；
当x=1或x=-1时，y=4；
当x=4或x=-4时，y=64；
故点(1，4)在抛物线上；
故选A.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
9、B
【分析】利用根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
【详解】解：设方程的两个根分别为x1，x2，
由x1+x2=2k+1=3，
解得：k=1，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，能把求k的值的问题转化为解方程得问题是关键．
10、D
【分析】根据圆周角定理求出，根据互余求出∠COD的度数，再根据等腰三角形性质即可求出答案．
【详解】解：连接OD，

，
，
，
，
.
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质等知识.熟练应用圆周角定理是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12、1．
【分析】根据圆周角定理进行分析可得到答案.
【详解】解：

∵∠BAC=∠BOC，∠ACB=∠AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=∠BAC=1°．
故答案为1．
考点：圆周角定理．
13、1
【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为
∴两个相似三角形的相似比为
∴两个相似三角形的周长也比为
∵较大的三角形的周长为
∴较小的三角形的周长为
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14、y=x-,
【解析】根据题意即可画出相应的辅助线，从而可以求得相应的函数解析式．
【详解】
将由图中1补到2的位置，
∵10个正方形的面积之和是10，
∴梯形ABCD的面积只要等于5即可，
∴设BC=4-x，则，解得，x=，
∴点B的坐标为，
设过点A和点B的直线的解析式为y=kx+b，，解得，，即过点A和点B的直线的解析式为y=.
故答案为：y=.
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质.
15、320
【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.
【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm
∴右侧留言部分的面积
又14≤x≤16
∴当x=16时，面积最大(
故答案为320.
【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.
16、
【解析】解：如图，连接OA、OB，OG．
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴OG=OA•sin60°=2× =，
∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．
故答案为．

【点睛】
本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．
17、．
【分析】有15张奖券中抽取2张的所有等可能结果数为种，其中中奖总值低于300元的有种知中奖总值至少300元的结果数为种，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：从15张奖券中抽取2张的所有等可能结果数为15×14＝210种，
其中中奖总值低于300元的有4×3＝12种，
则中奖总值至少300元的结果数为210﹣12＝198种，
所以中奖总值至少300元的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键根据题意得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数．
18、2
【解析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可
【详解】解：将数据从小到大重新排列为：6、1、1、10、12、15，
所以这组数据的中位数为 ，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可

三、解答题(共66分)
19、（1），；（2）.
【解析】（1）由菱形的性质可知，，点代入反比例函数，求出；将点代入，求出；
（2）求出直线与轴和轴的交点，即可求的面积；
【详解】解：（1）由已知可得，
∵菱形，
∴，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
将点代入，
∴；
（2），
直线与轴交点为，
∴；
【点睛】
本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键.
20、（1）y=﹣5x2+110x+1200；(2) 售价定为189元，利润最大1805元
【解析】利润等于（售价﹣成本）×销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；
【详解】（1）y＝（200﹣x﹣170）（40+5x）＝﹣5x2+110x+1200；
（2）y＝﹣5x2+110x+1200＝﹣5（x﹣11）2+1805，
∵抛物线开口向下，
∴当x＝11时，y有最大值1805，
答：售价定为189元，利润最大1805元；
【点睛】
本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键．
21、（1）90；（2）DE∥BC，见解析
【分析】（1）根据旋转的性质即可求得旋转角的度数；
（2）先利求得∠DCE=∠BCF=90°，CD=CE，可得△CDE为等腰直角三角形，即∠CDE=45°，再根据角平分线定义得到∠BCD=45°，则∠CDE=∠BCD，然后根据平行线的判定定理即可说明．
【详解】解：（1）解：∵将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上，
∴∠BCF=90°，即旋转角为90°；
故答案为90°．
（2），理由如下：

∵将绕点顺时针旋转到的位置，点在上，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定，掌握旋转变换前后图形的特点以及旋转角的定义是解答本题的关键．
22、（1）①105°，②见解析；（2）
【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，
②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．
②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．
∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，

∴∠CEA′＝120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴＝，
∴＝，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′CF是等边三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM是等边三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称，
∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝CB′＝1，CM＝，
∴AB′＝＝＝．
∴PA+PF的最小值为．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大．
23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4．
【分析】（1）如图1，连接BC、CD，先证∠CBA＝∠CAD，再证∠CDA＝∠CAD，可得出AC＝CD，即可推出结论；
（2）过点C作CG⊥AD于点G，则∠CGA＝90°，证CG垂直平分AD，得出AD＝2AG，再证△ACG≌△CAE，推出AG＝CE，即可得出AD＝2CE；
（3）取BD中点H，连接OH、OC，则BH＝DH＝BD＝6，OH⊥BD，证Rt△OEC≌Rt△BHO，推出OE＝BH＝6，OC＝OA＝10，则在Rt△OEC中，求出CE的长，在Rt△AEC中，可求出AC的长．
【详解】（1）证明：连接BC、CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵∠CAB+∠CAD＝90°，
∴∠CBA＝∠CAD，
又∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∴AC＝CD，
∴ ；
（2）过点C作CG⊥AD于点G，则∠CGA＝90°，
由（1）知AC＝CD，
∴CG垂直平分AD，
∴AD＝2AG，
∵AF＝CF，
∴∠CAD＝∠ACE，
∵∠CAD+∠CAB＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AEC＝90°＝∠CGA，
∵AC＝CA，
∴△ACG≌△CAE（AAS），
∴AG＝CE，
∴AD＝2CE；
（3）取BD中点H，连接OH、OC，则BH＝DH＝BD＝6，OH⊥BD，
∴∠OHB＝90°＝∠CEO，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABD的中位线，
∴AD＝2OH，
由（2）知AD＝2CE，
∴OH＝CE，
∵OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BHO（HL），
∴OE＝BH＝6，
∴OC＝OA＝AE+OE＝4+6＝10，
∴在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2＝82，
∴在Rt△AEC中，AC＝ ＝4．

【点睛】
本题考查了圆的有关概念及性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，第证明∠AEC=90°和通过作适当的辅助线构造全等三角形是.解题的关键.
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由为的直径得到∠ACB=90，根据CD平分∠ACB及圆周角定理得到∠AOD=90，再根据DE∥AB推出OD⊥DE ，即可得到是的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，求出OH，根据△CHM∽△DOM求出HM得到AM，再利用平行线证明△CAM∽△CED，即可求出DE.
【详解】（1）如图，连接OD，
∵为的直径，
∴∠ACB=90，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45，
∴∠AOD=90，
即OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE ,
∴是的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，
∵∠ACB=90，，，
∴AB=,
∵S△ABC=,
∴CH=,
∴AH=,
∴OH=OA-AH=5-3.6=1.4，
∵∠CHM=∠DOM=90，∠HMC=∠DMO,
∴△CHM∽△DOM,
∴
∴=，，
∴HM=,
∴AM=AH+HM=,
∵AB∥DE,
∴△CAM∽△CED,
∴,
∴DE=.

【点睛】
此题考查圆的性质，圆周角定理，切线的判定定理，三角形相似，勾股定理，（2）是本题的难点，利用平行线构建相似三角形求出DE的长度，根据此思路相应的添加辅助线进行证明.
25、 (1)0；(2) ，.
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【详解】解：（1）原式

.
（2），
在这里，，.
，
∴，
∴，.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−公式法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26、（1）1；（2）
【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的运算法则计算即可.
【详解】解：（1）
原式=2+
=1；
（2）

.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.