几何视角下的定点问题的拓展与证明——以2022年高考乙卷理科第20题和《数学通报》问题2712、2713为例.pdf
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1、2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究39几何视角下的定点问题的拓展与证明 以 2022 年高考乙卷理科第 20 题和 数学通报 问题 2712、2713 为例章海辉1,2陈玉青3张奇凤1,2王改红31.福建省厦门大学附属实验中学(363123)2.福建教育学院数学教育研究所(350025)3.宁夏回族自治区彭阳第一中学(756500)摘要本文从 2022 年高考乙卷理 20 题和 数学通报问题 2712、2713 出发进行了更一般的拓展,并给出了较为简洁的纯几何证明.关键词 圆锥曲线;定点问题;纯几何证明1 引言2022 年高考乙卷理科第 20 题以其高难度和深刻的几何背景成为众多学
2、者研究的热点,如文 123.并进行了一定程度的推广,如:文 1 中作者把圆锥曲线的方程换成字母得出一般性的结论;文 2 中作者从解析几何的角度确定了定点的位置及坐标;文 3 中作者把过点 M 的直线从平行于圆锥曲线的对称轴推广到与圆锥曲线的切线平行的直线.2023年 3 月 数学通报 问题 27124和问题 27135也是同样背景下的定点问题.本文在上述研究的基础上,从几何的角度深入挖掘,进行了更一般的拓展与证明,即:1.对过点 M 直线的限制条件推广到任意一条过点 M 的倾斜角固定的直线;2.点 H 的位置更具一般性.具体见下文定理 1、2.为方便阅读,现摘录相关题目如下,并进行分析:题目一
3、(2022 年高考乙卷理科第 20 题)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,对称轴为 x 轴,y 轴,且过 A(0,2),B(32,1)两点.(1)求 E 的方程;(2)设过点 P(1,2)的直线交 E 于 M,N 两点,过 M且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T,点 H 满足 MT=TH.证明:直线 HN 过定点.题目二(数学通报 问题 2712)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0),直线 l 与椭圆 C相切于第一象限内的点 A(x0,y0),与 y 轴交于点 P,过点 P的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,过 M 且平行于 PA 的直线与直线 y=y0交于点 T,点 H
4、 满足 MT=TH.证明:直线HN 过定点.题目三(数学通报 问题 2713)如图 1,PA,PB 切圆于 A,B 两点,过 P 的直线交圆于M,N 两点,过 M 且平行于 PA 的直线与线段 AB 交于点T、交线段 AN 于点 H.求证:TH=TM.图 1分析 题目一和题目二的本源均是圆锥曲线背景下的定点问题,题目三的背景是特殊的圆锥曲线圆,题目三的条件和结论只是与题目二和题目一的条件和结论的互换,并无本质不同.2 主要结果引理6过圆锥曲线 E 外一点 P 作该曲线的两条切线,其切点分别为 A,B 两点,过点 P 的直线交 E 于 M,N 两点,与直线 AB 交于点 Q,则|PM|PN|=|
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