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基于数学核心素养下的四边三角形解题策略——一道东莞市期末考试题的思考.pdf
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1、2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究29基于数学核心素养下的四边三角形解题策略 一道东莞市期末考试题的思考广东省东莞市第六高级中学(523419)王蔷薇摘要 解三角形是高考的一个考点,也是难点,对于图形所给的条件,考生往往不知从何分析而失分,本文主要探究四边三角形的常见类型及解决方法,从而找到解三角形的一个有效的方法,便于计算,化繁为简.关键词 数学核心素养;四边三角形;解题策略解三角形是高中数学的一个重要章节.在高考解答题的六大模块中,解三角形与三角函数是其中的一个重要部分.其中,解三角形题目的涉及形式多样,主要考察学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.从 2020 年八省
2、联考,以及 2021、2022 年的新高考对解三角形的考察来看,考察的力度有所增强.在教学中,适当的处理解三角形的个别微专题,对学生的学习能力的提升是很有帮助的.笔者探究解四边三角形的多种解法,希望能起到抛砖引玉的作用.那什么是四边三角形呢?如下图,在三角形中,增加一条线段,组成两个小三角形,这样的形状我们称之为四边三角形.1 典例分析例 1(东莞市 2022 高一下期末考试 21)ABC中,角A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 2bcosC=2a c.(1)求角 B;(2)如右图,若 ABC 外接圆半径为263,D 为 AC 的中点,且 BD=2,求 ABC 的周长.从理解技术的
3、角度看,新课程强调数学日常教学和信息技术的深度融合.考虑到数学学科的特殊性,信息技术的使用不仅可以在课堂上在解决问题、课堂评价反馈中予以使用,在数学发现问题、提出猜想环节也能进行融合.从展示学生的情况来看,个别学生利用几何画板发现、验证自己的猜想,真正实现了用技术解决问题的能力.从理解评价的角度看,一种教学方式必然倡导一种教学文化,数学教学应该重视学生的综合发展与主体作用,本堂课不仅从研究性学习的开展环节视角进行呈现,更是考虑到学生在学习过程中,教师对学生的学习成果进行重视,以课堂上展示交流、追问反思等形式对学生的学习开展过程性评价,这种评价促进了学生的对于学习的更进一步渴望,以评价促进学习发
4、生.4 教学实施的不足当然在本课的教学过程中,还存在一些可以值得改进的方面:(1)作为竞赛教练的执教老师对于学生发现的数学结论能够很好地从数学知识的逻辑性和专业性上给与指导,但因教学经验的不足,在语言上的简洁性、精准性上还有待加强,同时我们也可以思考,学生在进行作品展示时,除了以投影方式呈现以外,是否可以采用分小组制作 ppt 进行交流汇报,更体现研究性学习的规范性.(2)由于课时限制学生未能将探究的整个过程、探究过程中存在的想法全部呈现出来,对于一些还没有能够证明的猜想,教师也应在课下继续与学生沟通交流点燃学生数学研究的热情.5 结语当今社会,拔尖创新人才的培养是教育急需解决的重要问题.作为
5、培养学生理性思维的数学学科,要想通过数学培育拔尖创新人才,教师应当多在日常教学中给予学生探究的机会、激发学生探究的热情、引导学生探究的态度、培养学生探究的品质,才能更好地彰显数学学科的育人价值.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 2017 年版 2020年修订 M.人民教育出版社,2020.4.2 章建跃.普通高中数学教科书数学必修第二册 M.人民教育出版社,2020.4.30中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)分析 这道题的第(2)问能看到,所有的三角形都不是可解三角形,由第一问得到的 B 角和外接圆半径易算出 b,要求周长,即找到 a+c 的值,从条件中不难发
6、现,余弦定理易得到第一个关系,两个未知数,但是还需另找一个条件联立方程组或者消元才行.所以如何找到第二个条件,是本题的关键.解:(1)由正弦定理得 2sinB cosC=2sinA sinC,由A=(B+C),得 2sinB cosC=2sin(B+C)sinC,化简得 sinC=2sinC cosB,因为 C (0,),所以 sinC=0,所以 cosB=12,又因为 B (0,),所以 B=3.(2)由正弦定理得bsinB=2 263 b=22,即AC=22,因为 D 为 AC 边上的中点,所以 AD=CD=2,由余弦定理得 b2=a2+c2 2accosB,即a2+c2 ac=8.12
7、常见方法方法一:余弦定理在 ABD 中,cosBDA=4+2 c22 2 2,在 BCD中,cosBDC=4+2 a22 2 2,因为 BDA+BDC=,所以 cosBDA+cosBDC=0,即4+2 c22 2 2+4+2 a22 2 2=0,整理得a2+c2=12.2由12得 ac=4,所以(a+c)2=a2+c2+2ac=20,所以a+c=25,所以 ABC 的周长为 a+b+c=22+25.评注四边三角形由于图形的特点,容易找到公共的角或者相邻互补的角即可得到新的边角关系,所以,这道题用余弦定理的方法即可解.方法二:向量的加法由向量加法得 2 BD=BA+BC,两边平方得 4 BD2=
8、BA2+BC2+2 BA BC,即16=a2+c2+ac.2由12得 ac=4,所以(a+c)2=a2+c2+2ac=20,所以a+c=25,所以 ABC 的周长为 a+b+c=22+25.评注由中点的特点易发现,向量法是结合角度和边长的的有力工具,从而结合余弦定理联立方程组,易得.方法三:极化恒等式 BA BC=(BD+DA)(BD+DC)=(BD+DA)(BD DA)=BD2 DA2=4 2=2即accosB=2,ac=4所以(a+c)2=a2+c2+2ac=20,所以 a+c=25,所以 ABC 的周长为 a+b+c=22+25.评注由中线的特点,用极化恒等式可以快速找到边角间的关系.方
9、法四:作平行线,转移到一个三角形过 A 作 AE/BC,交 BD 的延长线于点 E,如右图所示,则ADCD=EDBD=AECB=1,AE=a,AB=c,又 BAD=B=23,ABE 中,BE2=AE2+AB2AEBE cosBAE.即16=a2+c2+ac.3由13得ac=4,所以(a+c)2=a2+c2+2ac=20,所以a+c=25,所以ABC 的周长为a+b+c=22+25.评注本题由于所给的边角都不在一个三角形中,关键没有可解三角形,所以,将所知条件平移到一个三角形中也是一个很巧妙的方法.方法五:构造平行四边形以 BA、BC 为 邻 边,将ABC 补成平行四边形 ABCE,由平行四边形
10、性质:AC2+BE2=2(AB2+BC2),(22)2+42=2(c2+a2).即a2+c2=12.4由14得 ac=4,所以(a+c)2=a2+c2+2ac=20,所以a+c=25,所以 ABC 的周长为 a+b+c=22+25.评注 本题由于给定的中线,要找 a,c 的关系,补成平行四边形,用四边的平方和等于对角线的平方和也是一个不错的方法.小结 解三角形问题,关键是看是否有可解三角形,如果不可解,那就需要联立方程组或者消元,所以找到相应的条件是关键.那么,此类问题,找公共角或者相邻的补角,利用2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究31余弦定理是个不错的选择.而由于中线,又有很多可
11、以入手的方式,所以可选择性比较多.那,如果不是中线呢?我们可以看看以下的变式.3 拓展变式例 2 如右图,在 ABC 中,AB=2AC,AD 是 BAC的角平分线,且 AD=kAC.求 k 的取值范围;分析:这也是四边三角形问题,只是由中线变成了角平分线,所以我们要根据角平分线的一些性质来求,比如角平分线定理、面积或者正弦定理来求解.方法一:正弦定理由 AD 是 BAC 的角平分线,可得DBDC=ABAC=2.在 ABC 中,由正弦定理得ABsinC=BCsinBAC.1在 ACD 中,由正弦定理得ADsinC=DCsinBAC2.2由12得ADAB=DCBCsinBACsinBAC2,即kA
12、C2AC=12+12cosBAC2,k=43cosBAC2,cosBAC2(0,1),k (0,43).评注 本题由于给的是角平分线,角多,可以选择正弦定理求解.也都不是可解三角形,要求 k 的值,就是边之间的比例关系,所以,选择正弦定理是比较合适的.方法二:等面积法由 SABC=SABD+SACD,得12AB AC sinBAC=12AB AD sinBAC2+12AD AC sinBAC2.又 AB=2AC,AD=kAC,整理 k=43cosBAC2,cosBAC2(0,1),k (0,43).评注 本题由于给的是角平分线,得到两角相等,也可以根据等面积法,找到边角关系.方法三:余弦定理法
13、ACD 中,DC2=AD2+AC2 2AD AC cosBAC2=(k2+1 2k cosBAC2)AC2.ABD 中,BD2=AB2+AD2 2AB ADcosBAC2=(4+k2 4k cosBAC2)AC2.又 BD2=4DC2,则 4+k2 4k cosBAC2=4(k2+12k cosBAC2)解得:k=43cosBAC2,cosBAC2(0,1),k (0,43).评注 根据公共的角或者相邻互补的角即可得到新的边角关系,所以,这道题,用余弦定理的方法即可求解.方法四:作平行线,转移到一个三角形过 B 作 BE/AC,交 AD 的延长线于点 E,如右图所示,则BDCD=EDAD=BE
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