基于Box-Cox变换和随机系数回归的非线性退化数据建模方法.pdf

引用格式：引用格式：杨保奎,李天梅,张建勋,等.基于 Box-Cox 变换和随机系数回归的非线性退化数据建模方法J.中国测试，2024,50(1):9-17.YANGBaokui,LITianmei,ZHANGJianxun,etal.NonlineardegradationdatamodelingmethodbasedonBox-CoxtransformationandrandomcoefficientregressionmodelJ.ChinaMeasurement&Test,2024,50(1):9-17.DOI:10.11857/j.issn.1674-5124.2022030158基于 Box-Cox 变换和随机系数回归的非线性退化数据建模方法杨保奎，李天梅，张建勋，司小胜(火箭军工程大学导弹工程学院，陕西西安710025)摘要:变换方法是处理设备非线性退化建模与剩余寿命预测的一种重要方式和可行途径，目前常见的变换方法主要为对数变换和时间尺度变换，其适用范围有限。鉴于此，文章提出一种基于 Box-Cox 变换(Box-Coxtransformation，BCT)的非线性退化数据建模方法。首先，采用 BCT 对非线性退化数据进行变换，将变换后的退化数据通过线性随机系数回归模型进行建模。然后，通过构建观测数据的概率密度函数，利用极大似然估计对于 BCT 中的模型参数进行辨识，并运用 Bayesian 理论对参数进行在线更新实现退化模型的动态校准。最后，分析经过 BCT 后的锂电池和轴承实际退化数据，其线性度与相关系数最高分别提升 69.63%、9.19%，证明文章方法可行，具有潜在的工程应用价值。关键词:非线性退化;Box-Cox 变换;随机系数回归;在线更新中图分类号:TH133文献标志码:A文章编号:16745124(2024)01000909Nonlinear degradation data modeling method based on Box-Cox transformation andrandom coefficient regression modelYANGBaokui,LITianmei,ZHANGJianxun,SIXiaosheng(SchoolofMissileEngineering,RocketForceEngineeringUniversity,Xian710025,China)Abstract:Transformation method is an important and feasible way to deal with nonlinear degradationmodeling and life prediction of equipment.At present,the common transformation methods are mainlylogarithmictransformationandtimescaletransformation,andtheirapplicationscopeislimited.Inviewofthis,thispaperproposesanonlineardegradationdatamodelingmethodbasedonBox-Coxtransformation(BCT).Firstly,thenonlineardegradationdataaretransformedbyBCT,andthetransformeddegradationdataaremodeledbylinearrandomcoefficientregressionmodel.Then,byconstructingtheprobabilitydensityfunctionoftheobservationdata,themaximumlikelihoodestimationisusedtoidentifythemodelparametersinBCT,and Bayesian theory is used to update the parameters online to realize the dynamic calibration of the收稿日期:2022-03-24；收到修改稿日期:2022-06-06基金项目:国家自然科学基金项目（62233017，62073336）作者简介:杨保奎（1997-），男，安徽临泉县人，硕士研究生，专业方向为剩余寿命预测。通信作者:司小胜（1984-），男，甘肃通渭县人，教授，博士，研究方向为剩余寿命预测、故障预测。第50卷第1期中国测试Vol.50No.12024年1月CHINAMEASUREMENT&TESTJanuary,2024degradationmodel.Finally,theactualdegradationdataoflithiumbatteryandbearingafterBCTareanalyzed,andthelinearityandcorrelationcoefficientareincreasedby69.63%and9.19%respectively,whichverifiesthefeasibilityandpotentialengineeringapplicationvalueofthismethod.Keywords:nonlinear degradation;Box-Cox transformation(BCT);random coefficient regression;onlineupdate0 引言随着工程制造业的不断发展，工程系统对设备的可靠性、安全性也有了更高的要求，在一些高精尖武器装备、航天工程、核工程等领域，一旦发生故障，造成人员、设备的损失和带来的影响都是巨大的1-2。如果可以在设备退化初期就运用观测到的退化状态监测信息对设备健康状态进行建模分析和可靠性评估，便可通过在必要时实施主动维护，避免或减少不必要的损失3。基于数据驱动的退化数据分析方法依靠大量的退化数据，并且对退化数据的统计特性也有一定要求，而设备的健康预测和维修决策的准确性对前者分析效果要求甚高，所以研究分析状态监测数据更一般的手段和提高处理精度具有重要现实意义3-4。设备的退化监测数据作为预测与健康管理（prognosticsandhealthmanagement，PHM）的基础，是开展数据驱动的剩余寿命预测(remainingusefullifetime，RUL)研究的基础和前提4，而基于设备监测数据的随机退化建模是研究分析 RUL 问题的主要技术途径。现有统计数据驱动方法的研究中，常用随机系数回归模型和随机过程模型来刻画退化过程，其中随机系数回归模型是退化数据建模分析领域最早研究的一类模型，理论较为成熟，且可以较好体现退化过程的随机性，得到了广大学者的关注。陶耀东等5利用自回归移动平均模型模拟锂电池非线性退化过程；万昌豪等6提出了基于随机系数回归模型的启发式 RUL 方法，克服了不完美先验信息的影响；Ramli 等7采用对数转换的线性回归模型对非线性的降雨数据进行分析；Farnoosh 等8考虑非线性自回归模型，提出一种估计非线性函数的半参数方法。然而，基于随机系数回归模型的非线性退化数据建模的研究，主要集中于选用一种变换手段，将非线性退化数据变换为近似线性退化数据，然后建立线性退化模型，目前常用的变换方法有时间尺度变换、对数变换和非线性函数法。时间尺度变换9就是对数据进行最优尺度转换，将近似线性部分放大，对非线性部分缩小，以得到全局近似线性数据的目的，但缺点是难以得到转换关系式；对数变换10很容易就可以将指数模型线性化，但是缺点也很明显，适用目标较为单一；非线性函数法11是使用多种函数组合对非线性数据进行转化得到线性数据，其适用性广泛，但缺点是转化过程较为复杂，并且非线性函数难以辨识。考虑上述不足，为找到一种有确定的关系式、适用范围广且退化数据经过变换后数学性质良好的变换手段，以及为后续研究非线性设备剩余寿命预测问题奠定基础，本文提出了基于 Box-Cox 变换(Box-Coxtransformation，BCT)的设备退化数据建模方法，目的是对同类设备的非线性退化数据进行建模。首先，建立 BCT 的线性回归模型，运用极大似然估计方法估计出变换参数；其次，针对经过BCT 后的退化数据，提出线性度和相关系数两种指标对变换后数据的线性程度进行评估；之后，提出基于 BCT 和随机系数回归模型的方法进行退化数据建模，并对模型的随机系数进行 Bayesian 在线更新；最后，通过锂电池的非线性退化数据和轴承的非线性退化数据进行仿真研究，验证了本文所提方法的适用性和可行性。1 Box-Cox 变换与变换参数估计1.1 Box-Cox 变换Box-Cox 变换是在 1964 年由 Box 与 Cox12提出的一种应用非常广泛的广义幂变换方法，通过得到最优变换参数，可以使回归模型满足线性、独立性、齐方差性以及正态性，同时又不丢失数据信息。其一般形式为x()=x1,0lnx,=0(1)逆变换为：10中国测试2024年1月x=(1+x()1,0exp(x(),=0(2)x式中：退化观测量；x 0的变换参数。一般而言，通常可借助于统计学方法估计上述模型参数，为确保变换效果，得到有良好数学性质的退化数据，需要确定一组最优的。值得一提的是，Box-Cox 变换可将现有的对数变换、倒数变换等包含为特例。表 1 给出了不同 取值下的变换。表 1 常用变换类型值变换类型1.00无变换，与原始数据相同0.50平方根变换0.33立方根变换0.00自然对数变换0.50倒数平方根变换1.00倒数变换1.2 基于 Box-Cox 变换的线性回归模型sc1,c2,csnx1,x2,xn假设有 个自变量为以及 个退化量；原始数据往往不能很好地拥有线性、独立性、齐方差性以及正态性等性质，而研究数据性质要求数据为高斯分布（如线性度、Pearson 相关系数等），因此通过研究 Box-Cox 变换来改变这一状况。不失一般性，假定该线性模型为xi()=0+1ci1+2ci2+scis+i(3)xi()xi式中：观测量经过变换后的形式；0,1,s回归系数；i N(0,2)随机误差项。2接下来主要对变换参数 和方差进行估计。1.3 Box-Cox 变换参数 估计x()=x1(),x2(),xi()T对于待定变换的参数，一般情况下使用极大似然法进行估计，得到变换后的退化向量为，并且满足x()=C+(4)C=C1,C2,CnTCi=(1,ci1,ci2,cis)式中：为回归自变量矩阵，其中；=(0,1,s)T随机系数；=(1,2,n)T误差项，服从正态分布。x()通过式（4）容易得到的分布为x()N(C,2In)(5)Innx()其中，表示 阶单位矩阵。由此，的概率密度函数即可写成f(x)=f(x()J(,x)=1(22)nexp122(x()C)T(x()C)ni=1x1i(6)J(,x)其中，为 Jacobi 行列式。取原始数据的 PDF 的对数似然函数，得到L(,2,|x)=n2ln2n2ln2122(x()C)T(x()C)+ni=1(1)xi(7)2然后固定变换参数，令似然函数对 和的偏导为 0，得()=(CTC)1CTx()(8)2()=1n(x()C)T(x()C)(9)()2()将和代入对数似然函数中，可以得到Lmax(|x)=n2ln2n2ln 2n2+ni=1(1)lnxi(10)Lmax(|x)Lmax(|x)然后对最大对数似然函数进行多维搜索，给定一组退化数据，即可得到对应的参数值，画出曲线图，在函数极值处 的取值即为最优值。之后将最优 值代入 BCT 中即得到所需的 BCT。2 退化建模和参数估计2.1 基于 BCT 和随机系数回归的退化建模X(tk),tk 0tk假定表示变换前关于时间的退化过程，那么经过 BCT 后退化过程可表示为Y(tk,)=X(tk)1,0lnX(tk),=0(11)tks=1用线性模型描述时间 的退化过程，在 1.2 节的模型中，假定，则变换后的退化数据可以用随机系数回归模型表示为Y(tk,)=+tk+(12)第50卷第1期杨保奎，等：基于 Box-Cox 变换和随机系数回归的非线性退化数据建模方法11Y(tk,)X(tk)式中：用随机系数回归模型表示变换后的随机过程；固定的参数，描述设备之间的共性特征；随机效应系数，用以刻画设备之间的个体差异性；噪声项，可表示随机误差。tkZ(tk,)为简化该模型的分析过程，本文将 时刻经过BCT 后的设备退化量写为，于是模型就可以记为Z(tk,)=Y(tk,)=tk+(13)N(,2)N(0,2)Zk=Z(tk)=Z(tk,)式中，并且参数相互独立。为简化符号，令。2.2 参数的离线估计Zk=(Z1,Z2,Zk)ZitiZk令为退化观测向量，为时刻的观测量。易知退化数据的联合分布为多变量高斯分布，其 PDF 为：p(Zk)=1(2)k|k|exp(Zktk)1k(Zktk)T)(14)tk=(t1,t2,tk)k(i,j)=2+2titj1 i,j k其中，。Zkk=(0,20,2,)T(0,20)Zk对于单个退化设备，容易得到历史退化数据，所以在离线阶段，假设为离线退化数据，为离线退化数据的个数。需要估计的参数可以表示为，其中，表示随机效应系数的 均值与方差。下面，取的对数似然函数为()=k2ln212ln|k|(Zktk)1k(Zktk)T(15)=(0,20,2,)T=(0,20,2,)T(0,20)基于对数似然函数(15)，通过多维搜索算法最大化该函数即可得到对的估计值，包括随机系数回归模型参数和 BCT 中的变换参数。为了方便，仍将离线优化后估计得到的参数记为。然后，在给定 的先验分布的前提下，利用 Bayesian 方法和设备的退化监测数据对随机效应系数 进行在线更新。2.3 参数的在线更新Z1:k=Z(tj),1 tj tkp()N(0,20)针对服役设备，可以利用现有的状态监测手段得到设备实时的退化监测数据，对模型参数进行动态更新。已知离线阶段得到的参数初始值，的先验分布，在给定服tkZ1:k役设备至当前时刻 的所有退化数据的前提下，得到 的后验分布为p(|Z1:k)p(Z1:k|)p()expkj=1Z(tj)tj222exp(0)2220exp(k)222k(16)tk因此，时刻随机效应系数 的后验分布为正态分布，其均值和方差更新后结果为k=Z(tk)tk20+02t2k20+2(17)2k=2220t2k20+2(18)可以看出，每获取一个退化数据，就可以利用式（17）（18）更新参数一次。3 线性程度评估与实例分析3.1 线性度分析和相关系数为分析变换的效果，本文使用线性度和相关系数这两个指标来评价变换性能。1）线性度。线性度又称非线性误差，描述的是在规定变化范围内的实际特性曲线偏离拟合特性直线的程度13。本文用以表述设备退化数据偏离拟合模型的程度，线性度的值越接近于 0，说明偏离程度越小，线性程度就越好。对于原始数据，用最小二乘法拟合回归方程，为Fbefore=pbefore+qbeforet(19)Fbefore式中：变换前的拟合函数；pbeforeqbefore和系数。则原始数据的线性度可表示为before=|(xFbefore)|maxxmaxxmin100%(20)before式中：变换前的线性度；xmaxxmin和原始数据的最大值和最小值。经过 BCT 后退化数据的回归方程为Fafter=pafter+qaftert(21)Fafter式中：变换后的拟合函数；pafterqafter和系数。则经过 BCT 后退化数据的线性度可表示为after=|(x()Fafter)|maxx()maxx()min100%(22)after式中：变换后的线性度；12中国测试2024年1月x()maxx()min和变换后退化数据最大值和最小值。2）相关系数。相关系数也称为关联系数，是统计学中重要的评价指标之一，描述两个变量之间的相互关系和密切程度。本文采用 Pearson 相关系数刻画原始数据和经过 BCT 后退化数据的线性相关程度，其中变换前的相关系数为rx,t=1n1ni=1(xi x)(tit)Var(x)Var(t)(23)变换后的相关系数为rx(),t=1n1ni=1(xi()x()(tit)Var(x()Var(t)(24)r,t式中：Pearson 相关系数；xixi()原始数据第个退化量；xi()经过 BCT 后得到的第个退化量；Var()方差。变换前后的关系指标具体见表 2。?r,t?表 2 的取值与相关程度?r,t?的取值范围0.000.19 0.200.39 0.400.69 0.700.89 0.901.00相关程度极弱相关弱相关中等相关强相关极强相关3.2 实例分析本文使用马里兰大学的 CS2 四组锂电池的非线性退化数据和来源于 PHM2012 的三组轴承退化监测数据进行变换性能测试。1）锂电池数据分析0=0.000720=2.34462=1.2669锂电池目前被广泛应用在军事工业、航空航天以及重要储能装置等领域，拥有输出电压高、重复使用寿命高等优点14。但是，其仍存在非线性退化致使寿命缩短甚至爆炸等隐患，并且实际中也有诸多锂电池因性能退化导致安全事故的例子，如2016 年 10 月，三星 Note7 手机因电池缺陷造成的自燃事件，2020 年北京新能源汽车起火事件等，所以研究锂电池的退化数据具有重要意义。本文用 3组 CS2 锂电池数据进行离线搜索，得到参数初值：，。图 1图 4分别是对 4 组锂电池的退化数据进行 BCT 分析，图(a)是利用原始数据 PDF 的对数似然估计出的变换参数，图(b)是原始数据和拟合直线，图(c)是变换后退化数据、模型期望轨迹及 95%置信区间。从 4 组图(b)和图(c)中，可以很明显地看出，变换后的退化曲线更接近拟合直线，为了更好、更直观地评估变换性能，量化退化数据经过 BCT 后的准确性，本文引入均方误差(meansquarederror，MSE)，其定义为MSE=1nni=1Y(ti,)Z(ti,)2(25)Y(ti,)式中：经过 BCT 得到的退化数据；10 86420246810变换参数(a)变换参数 的估计(b)原始退化曲线(c)变换后的退化曲线8 0007 0006 0005 0004 0003 0002 0001 00001 000似然函数 LX 3.35Y 365.971 802004006008001 00002004006008001 000监测时间/h监测时间/h0.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.2退化数据BCT 前退化数据和拟合数据原始数据线性拟合轨迹0.40.30.20.100.10.2退化数据变换后的退化数据模型期望轨迹95%置信区间图 1 第一组退化数据仿真的结果第50卷第1期杨保奎，等：基于 Box-Cox 变换和随机系数回归的非线性退化数据建模方法13Z(ti,)经本文模型得到的观测量。经过变换后的锂电池退化数据和本文提出模型的均方根误差分别为 0.0010、0.0011、0.0012 和0.0009，表明本文模型准确性比较高，且具有可行性。2）轴承数据分析轴承是保证机械设备正常运行的重要元件，由于其工况复杂，通常还会连接负载和其他元件，而0=0.340720=0.00122=1.2668轴承在轨道交通、发电厂、钢铁冶炼等大型设备上较为常见，一旦出现故障，就会影响设备整体的工作状态，甚至造成人员伤亡和财产损失等15，所以有必要收集轴承的状态监测信息并进行分析研究。轴承由于其运行环境的复杂性，退化数据非线性程度比较高，所以为进一步验证本文方法的效果，选用 3 组来源 PHM2012 的轴承振动退化数据进行分析。通过离线轴承数据搜索得到参数初值：，。图 5图 7 是 310 86420246810变换参数 6 0005 0004 0003 0002 0001 00001 000似然函数 LX 3.65Y 370.779 60100 200 300 400 500 600 700 800 900监测时间/h0100 200 300 400 500 600 700 800 900监测时间/h0.30.40.50.60.70.80.91.01.11.2退化数据BCT 前退化数据和拟合数据0.300.250.200.150.100.0500.050.100.150.20退化数据原始数据线性拟合轨迹变换后的退化数据模型期望轨迹95%置信区间(a)变换参数 的估计(b)原始退化曲线(c)变换后的退化曲线图 2 第二组退化数据仿真的结果86420246810变换参数 12 00010 0008 0006 0004 0002 0000似然函数 LX 2.15Y 24.950 92004006008001 000监测时间/h02004006008001 000监测时间/h00.20.40.60.81.01.21.4退化数据BCT 前退化数据和拟合数据0.60.50.40.30.20.100.10.20.3退化数据原始数据线性拟合轨迹变换后的退化数据模型期望轨迹95%置信区间(a)变换参数 的估计(b)原始退化曲线(c)变换后的退化曲线图 3 第三组退化数据仿真的结果14中国测试2024年1月组变换前后退化数据对比。3 组变换后的轴承退化数据和模型的平均相对误差分别为 0.0050、0.0054、0.0049，进一步表明了本文模型在应用中的可行性和准确性。从以上 7 组数据可以看出，经过 BCT 后得到的退化轨迹以及模型的期望轨迹均包含在本文模型的 95%置信区间内，表明本文的线性回归模型可以有效刻画非线性退化数据经 BCT 后得到的退化过程。式(20)与式(22)、式(23)与式(24)公式一致，区别是输入的数据不同，以此来对比变换效果，表 3 是具体数值分析。=?afterbeforebefore?100%(26)其中，表示线性度提高程度。r=?rx(),trx,trx,t?100%(27)10 86420246810变换参数 12 00010 0008 0006 0004 0002 00002 000似然函数 LX 2.64Y 152.679 92004006008001 0001 200监测时间/h02004006008001 0001 200监测时间/h00.20.40.60.81.01.21.4退化数据BCT 前退化数据和拟合数据0.50.40.30.20.100.10.2退化数据原始数据线性拟合轨迹变换后的退化数据模型期望轨迹95%置信区间(a)变换参数 的估计(b)原始退化曲线(c)变换后的退化曲线图 4 第四组退化数据仿真的结果10 86420246810变换参数 6 0000.80.70.60.50.40.30.20.105 0004 0003 0002 0001 00001 000似然函数 LX 0.01Y 536.016 30100 200 300 400 500 600 700 800 900监测时间/h100 200 300 400 500 600 700 800 900监测时间/h4.03.53.02.52.01.51.00.50退化数据退化数据原始数据线性拟合轨迹变换后的退化数据模型期望轨迹95%置信区间(a)变换参数 的估计(b)原始退化曲线(c)变换后的退化曲线BCT 前退化数据和拟合数据图 5 第五组退化数据仿真的结果第50卷第1期杨保奎，等：基于 Box-Cox 变换和随机系数回归的非线性退化数据建模方法15 r其中，表示相关系数提高程度。从表 3 可以看出，通过计算式(26)，发现七组退化数据变换后的线性度和原始数据的线性度相比，分 别 提 升 了 69.63%，66.50%，64.29%，63.83%，50.63%，29.05%，51.28%，效果提升十分明显；此外，相关程度通过式(27)计算，发现分别提高了 8.98%，9.19%，5.34%，8.16%，3.39%，1.58%，2.41%，七组数据经 BCT 后均达到了极强相关的程度，进一步表明了 BCT 有很好的变换效果。4 结束语本文利用 BCT 将非线性退化数据转换成近似线性退化数据，克服了以往变换方法目标单一、变换关系难以确立等缺点。然后针对变换后的退化数据，提出了基于 BCT 和随机系数回归模型的方法，并对参数进行离线估计和在线更新，最后用锂电池和轴承的退化实验数据进行了对比分析，结果表明：经过 BCT 后的退化数据较原始数据更接近线性以及有更高的相关性，验证了本文所提方法在非线性10 86420246810变换参数 6004002000200400600800似然函数 LX 0.99Y 752.410 20100200300400500600700800监测时间/h0.250.300.350.400.450.500.550.600.650.70退化数据BCT 前退化数据和拟合数据0100200300400500600800700监测时间/h2.52.01.51.00.5退化数据(a)变换参数 的估计(b)原始退化曲线(c)变换后的退化曲线原始数据线性拟合轨迹变换后的退化数据模型期望轨迹95%置信区间图 6 第六组退化数据仿真的结果10 86420246810变换参数 5 0004 0003 0002 0001 0000似然函数 LX 0.27Y 437.943 20100200300400500600700800监测时间/h0100200300400500600700800监测时间/h0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0退化数据BCT 前退化数据和拟合数据1.81.61.41.21.00.80.60.40.20退化数据原始数据线性拟合轨迹变换后的退化数据模型期望轨迹95%置信区间(a)变换参数 的估计(b)原始退化曲线(c)变换后的退化曲线图 7 第七组退化数据仿真的结果16中国测试2024年1月退化数据建模分析上的优势。后续将针对本文建立的模型以及结合发现的问题研究非线性设备剩余寿命预测等问题。参考文献 BARBERO G,BATALIOTO F,NETO A M F,et al.Deviationsfromlinearityinimpedancespectroscopymeasurements confirmed by Kramers-Kronig analysisJ.ElectrochimicaActa,2021,397:139277.1任子强,司小胜,胡昌华,等.融合多源数据的非线性退化建模与剩余寿命预测J.中国测试,2020,46(2):1-8.RENZQ,SIXS,HUCH,etal.Multi-sourcedatafusionfornonlinear degradation modeling and remaining useful lifepredictionJ.ChinaMeasurementTest,2020,46(2):1-8.2李天梅,司小胜,刘翔,等.大数据下数模联动的随机退化设备剩余寿命预测技术 J.自动化学报,2022,48(9):2119-2141.LI T M,SI X S,LIU X,et al.Data-model interactiveremaining useful life prediction technologies for stochasticdegradingdeviceswithbigdataJ.ActaAutomaticaSinica,2022,48(9):2119-2141.3司小胜,胡昌华.数据驱动的设备剩余寿命预测理论及应用M.北京:国防工业出版社,2016.SIXS,HUCH.Data-drivenremainingusefullifepredictiontheoryandapplicationsforequipmentM.Beijing:NationalDefenseIndustryPress,2016.4陶耀东,李宁.基于 ARIMA 模型的工业锂电池剩余使用寿命预测J.计算机系统应用,2017,26(11):282-287.TAOYD,LIN.Industriallithiumbatteryremainingusefullife prediction based on the ARIMA modelJ.ComputerSystemsApplications,2017,26(11):282-287.5万昌豪,刘志国,唐圣金,等.基于不完美先验信息的随机系数回归模型剩余寿命预测方法J.北京航空航天大学学报,62021,47(12):2542-2551.WANCH,LIUZG,TANGSJ,etal.Remainingusefullifeprediction method based on random coefficient regressionmodelwithimperfectpriorinformationJ.JournalofBeijingUniversity of Aeronautics and Astronautics,2021,47(12):2542-2551.RAMLII,BASRIH,ACHMADA,etal.Linearregressionanalysis using log transformation model for rainfall data inwaterresourcesmanagementkruengpase,Aceh,IndonesiaJ.IJDNE,2022,17(1):79-86.7FARNOOSHR,HAJEBIM,SAMADISY.Asemiparametricestimation for the first-order nonlinear autoregressive timeseriesmodelwithindependentanddependenterrorsJ.IranianJournalofScienceandTechnology,TransactionsA:Science,2019,43(3):905-917.8ZHANGN,YUCJ,XIEFS.Thetime-scalingtransformationtechniqueforoptimalcontrolproblemswithtime-varyingtime-delayswitchedsystemsJ.JournaloftheOperationsResearchSocietyofChina,2020,8:581-600.9宋昱,孙文赟,陈昌盛.对数变换主成分分析的图像识别J.西安交通大学学报,2021,55(1):33-42.SONGY,SUNWY,CHENCS.LogarithmtransformationbasedprincipalcomponentanalysisforimagerecognitionJ.JournalofXianJiaotongUniversity,2021,55(1):33-42.10关杰,卢健伟.SIMON 类非线性函数的线性性质研究J.电子与信息学报,2021,43(11):3359-3366.GUANJ,LUJW.ResearchonlinearpropertiesofSIMONclass nonlinear functionJ.Journalof Electronics InformationTechnology,2021,43(11):3359-3366.11BOXGEP,COXDR.AnanalysisoftransformationsJ.JournaloftheRoyalStatisticalSociety,SeriesB,1964,26(2):211-252.12SIXS,LITM,ZHANGQ.AgeneralstochasticdegradationmodelingapproachforprognosticsofdegradingsystemswithsurvivinganduncertainmeasurementsJ.IEEETransactionsonReliability,2019,68(3):1080-1100.13梁志国,李少壮,李滨.数据采集系统直流增益和线性度的精确评价J.航空计测技术,1999(5):17-21.LIANGZG,LISZ,LIB.PreciseEvaluationofDCGainandLinearityofDataAcquisitionSystemJ.AviationMetrologyMeasurementTechnology,1999(5):17-21.14赵磊,张永祥,朱丹宸.复杂装备滚动轴承的故障诊断与预测方法研究综述J.中国测试,2020,46(3):17-25.ZHAOL,ZHANGYX,ZHUDC.Reviewonrollingbearingfault diagnosis and prognostic for complex equipmentJ.ChinaMeasurementTest,2020,46(3):17-25.15(编辑:谭玉龙)表 3 基于多组退化数据得到的健康评估表健康指标数据组别值线性度相关系数原始数据BCT后退化数据原始数据BCT后退化数据第一组数据3.3545.05%13.68%0.89070.9707第二组数据3.6551.48%17.25%0.88160.9626第三组数据2.1531.78%11.35%0.92160.9708第四组数据2.6439.18%14.17%0.89460.9676第五组数据0.0151.00%25.18%0.93470.9664第六组数据0.9940.86%28.99%0.93530.9501第七组数据0.2784.73%41.28%0.92260.9448第50卷第1期杨保奎，等：基于 Box-Cox 变换和随机系数回归的非线性退化数据建模方法17