Lévy噪声和高斯白噪声驱动的非对称三稳系统的相转移问题研究.pdf

浙江大学学报（理学版）Journal of Zhejiang University（Science Edition）http：/ 51 卷第 2 期2024 年 3月Vol.51 No.2Mar.2024 Lvy噪声和高斯白噪声驱动的非对称三稳系统的相转移问题研究刘倩茹，郭永峰*（天津工业大学 数学科学学院，天津 300387）摘要：讨论了非对称三稳系统在 Lvy 噪声和高斯白噪声共同驱动下的相转移问题。采用四阶 Runge-Kutta 算法，计算了系统的稳态概率密度函数，通过改变系统参数和噪声参数观察其稳态概率密度函数曲线形态的变化情况。研究发现，非对称参数、加性噪声强度、乘性噪声强度、稳定性指标、偏斜参数均可诱导系统相转移，当分别改变加性噪声强度和乘性噪声强度时，概率密度函数的峰数与高度的变化情况相反。此外，在相同的非对称参数下，随着偏斜参数正负取值的变化，概率密度曲线图中峰的结构亦呈现不同的现象。关键词：非对称三稳系统；Lvy噪声；稳态概率密度；噪声诱导相变中图分类号：O 414.2 文献标志码：A 文章编号：10089497（2024）0220507LIU Qianru,GUO Yongfeng（School of Mathematics Sciences，Tiangong University，Tianjin 300387，China）Phase transitions driven by Lvy noise and Gaussian white noise in an asymmetric tristable system.Journal of Zhejiang University(Science Edition),2024,51(2):205211Abstract:In this paper,the phenomenon of phase transition is studied in an asymmetric tristable model driven by Lvy noise and Gaussian white noise.First,the fourth-order Runge-Kutta algorithm is used to simulate the stationary probability density of the system.Then we observe the shape of the stationary probability density curve by adjusting the system parameters and noise parameters.It has been found that asymmetric parameter,additive noise intensity,multiplicative noise intensity,the stability index,and the skewness parameter can all induce phase transition.Moreover,the influence of additive noise intensity and multiplicative noise intensity on the number and height of stationary probability density peaks is opposite.We also found that under the same asymmetric parameters,the influence of positive and negative skewness parameters on the stationary probability density is different.Key Words:asymmetric tristable system;Lvy noise;stationary probability density noise;noise induced phase transition0引 言随机扰动（即噪声）在生活中无处不在，特别是在非线性随机动力系统中，噪声大多决定了系统的演化趋势。噪声不仅存在于物理学、生物学、化学等动力系统中，也广泛存在于经济学、社会学等领域。传统观念认为，噪声会产生消极作用，如破坏序、相变、抹去相与相之间的区别等。但无规则的随机干扰有时也具有积极作用，如噪声诱导的相变1-4、跃迁5-7、随机共振7-11、相干共振12以及随机分叉13等动力学行为，近年来随机扰动已成为重要的研究方向。其中，噪声诱导的相转移是动力系统稳态特性的一个重要指标。DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2024.02.009收稿日期：20211213；修回日期：20230419；接受日期：20230428；出版日期：20240325.基金项目：国家自然科学基金资助项目（11672207）；天津市自然科学基金项目（17JCYBJC15700）作者简介：刘倩茹（1998），ORCID：https：/orcid.org/0009-0008-2293-3983，女，硕士研究生，主要从事应用概率统计研究.*通信作者，ORCID：https：/orcid.org/0000-0002-6228-0365，E-mail：.浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷目前，对非线性系统动力学行为的研究已经扩展到非对称领域。在实际的物理系统和自然系统中，势的对称性很难保证，非对称势系统更能准确地反映现实情况。与对称的动力系统相比，非对称的多稳系统呈现出不同的稳定性，在随机共振、平均首次穿越时间等方面具有有别于对称系统的动力学性质14-17。文献 17 研究了非对称三稳系统的平均首次穿越时间，发现平均首次穿越时间随非对称参数的增加而增加，且存在噪声增强稳定性现象。研究表明，非对称性在动力系统的稳态特性方面具有重要作用，如文献 18 讨论了 Lvy噪声激励的非对称双稳系统，并发现非对称参数使系统出现两次相转移。但已有对非对称势的研究主要集中于双稳模型，对三稳系统的研究较少。三稳模型具有 3 个稳定平衡点和 2 个势垒的结构特点，在提高能量收集的宽带性能和增强弱信号的检测效果方面较双稳定或单稳定模型更具优势19-21。三稳系统的优良性质逐渐被认识，并被广泛研究22-30。GHOSH 等23探讨了与色关联的高斯 白 噪 声 驱 动 的 三 稳 系 统 稳 态 概 率 密 度 函 数。SHI 等24-25研究了时滞三稳系统中的随机共振和平均首次穿越时间，并将其应用于信号检测。XU等26-28对高斯白噪声以及与高斯白噪声激励关联的 时 滞 三 稳 模 型 的 动 力 学 问 题 展 开 了 讨 论。ZHANG 等30研究了色噪声驱动的三稳系统的稳态概率密度及随机共振。已有研究大多选用高斯白噪声和色噪声作为研究对象。这是因为高斯白噪声具有马尔科夫性质，便于理论推导。但自然界中真实的高斯噪声并不存在，普遍存在的是非高斯噪声，较典型的有 Lvy 噪声。Lvy 噪声具有拖尾性、脉冲性等特性，可以在大范围内跳动。因此，用Lvy 噪声模拟实际问题中的随机扰动更确切。文献 31-33 讨论了 Lvy 噪声激励的各种双稳系统的动力学性质，文献 34 研究了 Lvy噪声驱动下的具有粗糙势函数的三稳动力学模型的稳态和瞬态性质。但是对于 Lvy 噪声和高斯白噪声驱动的非对称三稳模型稳态特性的分析尚未见到。基于此，进一步探讨 Lvy噪声和高斯白噪声共同 驱 动 的 三 稳 态 系 统 的 相 转 移 现 象。首 先，用Janicki-Weron 算法生成 Lvy 随机数，然后，通过四阶 Runge-Kutta算法模拟该系统的稳态概率密度函数，分析加性噪声强度Q、乘性噪声强度D、稳定性指标、偏斜参数、非对称参数r对系统稳态概率密度函数的影响。1Lvy 噪声和高斯白噪声驱动的非对称三稳系统Lvy 噪声和高斯白噪声驱动的非对称三稳系统，其朗之万方程为22-30dxdt=-k1x+k2x3-k3x5+r+(t)x+(t)，（1）其中，(t)为乘性高斯白噪声，(t)为加性 Lvy 噪声，r表示非对称参数，刻画系统的非对称性。当k22-4k1k3 0时，该系统为三稳系统。引入乘性高斯白噪声主要是考虑系统内部激励的影响，但由于系统还会受外部一些突发的不连续随机因素诱发的随机扰动，故引入加性 Lvy噪声。式（1）的势函数为U(x)=12k1x2-14k2x4+16k3x6+rx，（2）U(x)有 3 个稳定点s1，s2，s3，以及 2 个不稳定点u1，u2，具体为 s1=-k2+k22-4k1k32k3，s2=0，s3=k2+k22-4k1k32k3，u1=-k2-k22-4k1k32k3，u2=k2-k22-4k1k32k3。其中，k1，k2，k3均取正值，式（2）的势函数图像如图 1所示，可知，当r 0时，势函数左阱变深，右阱变浅；当r 1时，当 0时，Lvy 分布左偏，当 0时，Lvy 分布右偏；在 0，根据文献 17，22-23，取k1=2，k2=0.8，k3=0.06。2.1数值模拟稳态概率密度是衡量动力系统稳态特性的重要工具之一。对于高斯噪声诱导的随机系统，已有许多计算其稳态概率密度函数的理论方法，如福克-普朗克方程、刘维尔方程等。由于 Lvy噪声是不连续的，所以很难从理论上推导 Lvy噪声激励动力系统的解析解。鉴于此，直接用数值模拟法计算郎之万方程的数值解31-35。先调用 Matlab 软件的内置函数 Randn 生成服从标准高斯分布的序列 i，再模拟高斯白噪声序列 i：i=D/t i，（5）其中，D为高斯白噪声强度，t为离散时间步长。采 用 Janicki-Weron 算 法 生 成 Lvy 噪 声 序 列 i，具体方法如下：当 1时，i=D，sin(V+C，)()cos V1cos V-(V+C，)W1-+，（6）其中，C，=arctan tan()2，D，=()cos arctan tan()21。（7）当=1时，i=2()2+V tan V-ln2W cos V2+V+，（8）其中，V服从(-2，2)上的均匀分布，W是均值为1的指数分布，且V与W相互独立。进一步，应用四阶 Runge-Kutta算法求式（1）的响应序列，即xi+1=xi+t6(F1+F2+F3+F4)+t1i，（9）其中，t为时间步长，Fi(i=1，2，3，4)分别为F1=-k1xi+k2xi3-k3xi5+xiD/t i+r，F2=-k1()xi+t2F1+k2()xi+t2F13-k3()xi+t2F15+()xi+t2F1D/t i+r，F3=-k1()xi+t2F2+k2()xi+t2F23-k3()xi+t2F25+()xi+t2F2D/t i+r，F4=-k1(xi+tF3)+k2(xi+tF3)3-k3(xi+tF3)5+(xi+tF3)D/t i+r。（10）加性 Lvy 噪声和乘性高斯白噪声激励下的三稳随机动力系统的数值解如图 2 所示。最后，统计粒子的分布概率，绘制稳态概率密度函数图像，并由此探讨其稳态性质以及相变行为。2.2稳态分析根据数值模拟方法，探讨在不同非对称参数r、乘性噪声D、加性噪声Q、稳定性指标、偏斜参数下非对称三稳系统的稳态性质。k1=2，k2=0.8，k3=0.06图 1不同非对称参数下的势函数Fig.1Potential functions under different asymmetric parameters207浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷图 3展示了当噪声强度和稳定性指标固定、r取不同值时，系统的稳态概率密度函数Pst(x)的变化情况。从图 3中可以看出，当r=0时，Pst(x)曲线为对称的三峰结构，随着|r|的增大，Pst(x)曲线由三峰转化为双峰，当|r|增大到一定程度时，曲线变为单峰。无论r取正值还是负值，稳态概率密度函数峰数的变化趋势都相同，但当r取相反符号时，Pst(x)曲线的变化方向相反。这是因为在r 0时，随着r的增大，势函数中间势阱到左势阱的势垒升高，而中间势阱到右势阱的势垒降低，使得粒子更容易越过右边势垒到达右势阱；在r 0时，Lvy 分布左偏，向左的偏斜激励更大，所以粒子获得较大的能量，越过左边势垒到达左势阱。由 图 7（b）可 知，当=-0.5时，左 峰 消 失，Pst(x)曲线由三峰结构变为双峰结构，且右峰随的减小而升高。出现这种现象的原因是，当偏斜参数 0，D=0.1，Q=0.5，=1.4，r=0.2（b）0，D=0.1，Q=0.5，=1.4，r=0.2图 7偏斜参数 取不同值时Pst(x)的变化曲线Fig.7The Pst(x)with different values for skewness parameter D=0.1，Q=0.5，=0，r=0.2图 6稳定性指标取不同值时Pst(x)的变化曲线Fig.6The Pst(x)with different values for stability index 209浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷4申雅君，郭永峰，袭蓓.关联高斯与非高斯噪声激励的 FHN 神 经 元 系 统 的 稳 态 分 析J.物 理 学 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