含60°内角的三角形的两个命题.pdf
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1、问题赏析272023年第6 期含6 0 内角的三角形的两个命题康路(西安远航真空钎焊接技术有限公司,7 10 2 0 1)摘要:以含特殊内角6 0 的三角形人手,发现平面几何中最常见的三点共线和四点共圆命题各一则。关键词:6 0 内角;三点共线;四点共圆中图分类号:0 12 3.1文献标识码:A文章编号:10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 6-0 0 2 7-0 3引用格式:康路.含6 0 内角的三角形的两个命题 J,中等数学,2 0 2 3(6):2 7-2 9.命题1#在锐角ABC中,ABAC,ZBAC=60,O O 是外接圆,D是劣弧BC的中点,E、F、G 分别在OO上且满足B
2、E工AC,CF工AB,A G/B C,直线GE与AB交于点M,直线GF与AC交于点N,直线GD与BC交于点L.证明:L、M、N 三点共线.证明如图1,记H是ABC的垂心,联结AH、D H并延长,分别交0 于点S、T.则由垂心性质知H、S 关于BC对称.记P、Q 分别是DT、A D 与BC的交点,A B C 的内角为ZA、ZB、ZC,O O 的半径为r.易知ODLBC,AHIBC=AH/OD.ABcos 60又AH=r=OD,则sin C四边形ODHA是平行四边形ZAGT=ZADT=ZOADNGAFT1川M1E小H,1BLC-1P11QSD图1ZA(90-ZC)=ZC-602=ZAGT+ZGAD
3、=ZC-60+ZGAB+ZBAD=ZC-60+ZB+30=90GT AD.由ZDBQ=ZDAC=ZDABDBDQ=D B Q S D A B=DADB=DB2=DA.DQ.类似地,DB?=DT.DP.则DA.DQ=DT.DPA、Q、P、T 四点共圆.类似地,G、L、P、T 四点共圆.由ZPSH=ZPHS=90-ZHPC=90-ZDAT=ZATG=ZGSHG、P、S 三点共线.由ZGTL=ZGPL=ZCPS=ZCPH=ZTGLLG=LT.又OG=OT,则OL是GT的中垂线.从而,GT工OL.收稿日期:2 0 2 1-11-0 2修回日期:2 0 2 3-0 8-0 7作者简介:康路(198 9一
4、),男,陕西榆林人,硕士研究生,主要从事平面几何研究类似地,ON/AD.ZABR-ZBARZARB=180ABR=90在ABR中点RB=150B180-(90ZBEMZMBEZBME=180故BAG/BEMBEG在BEM中,由于AG/BC,Brsin(150BE:2rsinBCEACE中等数学28又GTAD,故OL/AD在BEC中,由正弦定理得由正弦定理得BEMBsin1ZBMEsin ZBEMsinZBEMMB=BE=2rsinB=AC.sinZBME=180-(90-ZC)-30=180-ZB.由正弦定理得ARABsin ZABRsin ZARBsinZABRcosCAR=ABAB.sin
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