核心素养下高考中三角函数考查研究.pdf

26中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)核心素养下高考中三角函数考查研究中山市华侨中学(528400)李 杨吴钰怡摘要 本文研究了核心素养下高考中三角函数的考查情况.通过对 2023 年高考全国卷三角函数试题的统计与分析,探讨三角函数在高考中的地位和作用,以及其与核心素养的关联.研究结果表明,三角函数在高考数学中具有较高的比重,且与数学核心素养有着密切的联系.此外,本文还针对三角函数的考查重点和题型设计进行了深入探讨,为高中数学教育和考生备考提供了有益的参考.关键词 核心素养;2023 年高考;三角函数;考查研究一、三角函数的考查要求、地位和作用三角函数作为高中数学的重要知识模块之一,是考查学生综合素养的重要载体,普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)对三角函数的学习,有如下指引和要求:“可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三角函数构建数学模型,解决实际问题.”三角函数是高中数学的基础内容和重要内容之一,历来在高考数学中具有重要的地位和作用.三角函数不仅是连接几何与代数的一座桥梁,还是沟通初等数学与高等数学的一条通道.高考数学对三角函数的考查,在考查基础知识和基本方法的基础上,注重化归与转化的思想方法的渗透,注重整体思想的运用,注重与其他知识的综合.三角函数知识具有丰富的实际背景和广泛的应用价值,在其它学科中都有广泛的应用,例如地理学、力学、电磁学等.因此,掌握三角函数的基本知识、性质和应用对于参加高考的学生来说是非常重要的.二、2023 年高考全国卷中三角函数试题的统计分析在当今的教育环境中,学生面临的主要挑战之一就是如何在数学学科中提高自己的理解能力与应用能力.三角函数作为高中数学的重要内容,是解决许多实际问题的关键工具.近年来,高考对三角函数的考查越来越重视.本文将从核心素养的角度出发,深入探讨高考中三角函数的考查重点与方式.笔者选取了 2023 年高考新课标 I 卷、2023 年高考新课标II 卷、2023 年高考全国甲卷文理科和 2023 年高考全国乙卷文理科进行分析(后面简称为“新课标 I 卷、新课标 II 卷、全国甲卷文科、全国甲卷理科、全国乙卷文科和全国乙卷理科”),三角函数试题涉及到如下考点.1.同角三角函数的基本关系式与诱导公式、三角恒等变换:如新课标 I 卷的第 6 题、第 8 题、17 题第(1)问,新课标 II卷第 7 题,全国甲卷理科第 7 题,全国乙卷文科第 14 题;2.三角函数的图象与性质:如新课标 I 卷的第 15 题,新课标 II 卷第 16 题,全国甲卷理科第 21 题,全国乙卷理科第 6题、第 10 题、第 12 题,全国乙卷文科第 10 题、第 11 题;是高考的热点考点,也是必考题,这类题考查学生非常注重考查学生的计算能力,因此在高三后期复习中,可以让学生掌握一些计算技巧.比如椭圆与直线联立到韦达定理消元化简过程中一般都是含有参数的,如果熟悉硬解定理可以直接写出所需要的韦达定理.以下试题供读者练习1.已知椭圆x29+y25=1 的左右顶点为 A,B,右焦点为 F,设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m 0,y1 0,y2 0)在区间 0,2 有且仅有 3 个零点,则 的取值范围是.解析 本题考查三角函数的图像、周期性,以及函数零点的概念,考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.f(x)的零点满足 cosx=1,即 x=2k(k Z).由于 0,所以 f(x)的非负零点依次为 0,2,4,6,.由题设知可得46 2,6 2,解得 2 6 3.因此 的取值范围是 2,3).例 3(2023 年高考新课标 II 卷 16)已知函数 f(x)=sin(x+),如图 A,B 是直线 y=12与曲线 y=f(x)的两个交点,若|AB|=6,则 f()=.本题考查对三角函数性质和图像的理解,考查对正弦函数的周期性、对称性和单调性的掌握,考查三角函数性质的几何表示与代数表示间的相互关系,考查逻辑思维能力和运算求解能力.方法和过程与例 1 类似,思维导图如下,这里不再详细解答.|AB|=6 f(x)图像过点(23,0)f(x)解析式 f().例 4(2023 年高考全国甲卷 10)已知 f(x)为函数y=cos(2x+6)向左平移6个单位所得函数,则 y=f(x)与 y=12x 12的交点个数为().A.1B.2C.3D.4解析试题设问新颖,具有一定的综合性,将三角函数的图像与直线的方程结合起来,考查学生的逻辑推理能力、数形结合的能力、运算与转换的能力,以及考生解决创新性问题的能力.在平面直角坐标系中画出 y=f(x)的图像,以及直线y=12x 12.由图像可知,y=f(x)与直线 y=12x 12共有 3 个交点.故选 C.(二)利用三角公式考查高考对三角公式的考查主要包括三角函数的定义、基本性质、诱导公式以及三角函数的图像等.这些知识是学习三角函数的基础,全国高考出题立足于考生最熟悉的知识、题干简单明了,设计巧妙,解题思路清晰,解题方法多样,计算量适中,贴近中学数学教学实际.试题注重基础,强调知识的灵活运用.主要考查在三角恒等变形中,考生识别、选择、应用三角公式解决问题的能力;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力等关键能力.例 5(2023 年高考新课标 I 卷 8)已知 sin()=28中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)13,cossin=16,则 cos(2+2)=().A.79B.19C.19D.79解析本题考查两角和与差的三角函数公式,以及倍角公式;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力等关键能力.因为 sin()=sincos cossin=13,而 cossin=16,因此 sincos=12,则 sin(+)=sincos+cossin=23,所以cos(2+2)=1 2sin2(+)=1 2 (23)2=19.故选:B.例 6(2023 年高考新课标 I 卷 17)已知在 ABC 中,A+B=3C,2sin(A C)=sinB.(1)求 sinA;解析本题第一问主要考查同角三角函数基本关系式、三角恒等变形等基础知识;试题基于解三角形考查空间想象、运算求解、逻辑思维等能力以及函数与方程、划归与转化、数形结合等思想.由题设得 C=4,故 B=34 A.于是 2sin(A 4)=sin(34 A),即2(22sinA 22cosA)=22sinA+22cosA.化简可得sinA=3cosA,故 tanA=3,sinA=31010.例 7(2023 年高考新课标 II 卷 7)已知 为锐角,cos=1+54,则 sin2=().A.3 58B.1+58C.3 54D.1+54本题考查三角函数的基本性质,考查三角恒等变换的基本公式,考查考生运算求解能力.利用半角公式计算直接可求出结果,这里不再陈述.例 8(2023 年高考全国乙卷文 14)若 (0,2),tan=12,则 sin cos=.本题考查考生对三角变换公式掌握程度;考查考生识别、选择、应用三角公式解决问题的能力;综合考查考生灵活应用所学三角公式进行运算的能力.(三)利用真实情景考查高考不仅对基础知识进行考查,更注重学生的应用能力.这包括利用三角函数解决实际问题,如测量距离、高度、角度等实际问题.这种类型的题目通常会要求学生运用三角函数的知识进行建模、计算和判断.考查考生运用数学知识分析、解决学习和生活中实际问题的能力,体现出三角函数的工具性作用.(四)对创新意识的考查利用三角函数解决一些开放性的问题,如寻找规律、发现问题、给出方案等.这些问题可以考查学生的发散思维和创新能力,同时也锻炼了学生的观察、归纳和总结能力.三角函数兼具几何与代数的特点,其变式是多种多样的.可以通过多种方式考查学生的创新意识,这些考查方式不仅要求学生掌握三角函数的基础知识,还需要学生具备探究、建模、计算、逻辑推理和开放思维等多种能力.例 9(2023 年高考全国乙卷理 12)已知 O 的半径为 1,直线 PA 与 O 相切于点 A,直线 PB 与 O 交于 B,C 两点,D 为 BC 的中点,若|PO|=2,则 PA PD 的最大值为().A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2解析本题解法多样,不同的选择体现了考生不同的思维水平.考生可以通过解析几何的方法把直线与圆的方程联立,根据韦达定理得出点D 坐标,进而利用函数思想得到最大值;或可以通过平面几何的方法确定点 D 的轨迹为圆的一部分,再通过数形结合的方法得出最大值.当然,考生还可以用两个向量的夹角作为自变量,通过向量投影得到答案.也可设角,结合几何图像,利用数量积的定义转化为三角函数解决最值问题.总之,试题对考生的思维有一定要求,需要考生思维的创新性,强调多想少算,数形结合.该题具有很好地选拔功能.如图所示,|OA|=1,|OP|=2,则由题意可知:APO=45,由勾股定理可得 PA=OP2 OA2=1.设 OPD=,46 64,则 PD=2cos.因此,PA PD=|PA|PD|cos(+4)=1 2coscos(+4)=12+22cos(2+4).46 64,则 46 2+4634,当 2+4=0,即=8时,PA PD 有最大值,最大值为1+22.故选 A.(五)与其他知识有机整合高考数学中,三角函数与其他知识点的结合考查是非常常见的.三角函数与不等式、常用逻辑用语、解析几何、数列、函数等知识点都有可能结合考查.例如,三角函数与不等式的结合考查可能涉及到利用三角函数的性质解不等式;解析几何中,三角函数可以用于求解一些角度、长度等问题;数列中,可以通过三角函数变换来求解一些递推关系式;函数中,2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究29可以通过三角函数来求解一些最值等问题.在备考时,需要全面掌握三角函数的性质和应用,同时也要注意与其他知识点的联系和结合.1 三角函数与圆例 10(2023 年高考新课标 I 卷 6)过点(0,2)与圆x2+y24x1=0 相切的两条直线的夹角为,则 sin=().A.1B.154C.104D.64本题考查直线与圆的位置关系、两点间距离公式、两条直线夹角的概念和计算,以及三角函数的基本关系.考生可以利用两条切线与圆的位置关系并结合两点间距离公式、二倍角公式得到答案.2 三角函数与常用逻辑用语例 11(2023 年高考全国甲卷理 7)“sin2+sin2=1”是“sin+cos=0”的().A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件本题考查了三角函数中的基本公式 sin2x+cos2x=1,以及考生的逻辑推理能力.3 三角函数与数列、集合例 12(2023 年高考全国乙卷理 10)已知等差数列 an的公差为23,集合 S=cosan|n N,若 S=a,b,则ab=().A.1B.12C.0D.12解析本题是集合、数列、三角函数的综合题,对集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查.本题可以通过三角函数的周期性求解,也可以用数形结合的方法求解.同时也考查了考生的分析问题能力与推理能力.由 题 意 得 an=a1+(n 1)23,所 以 cosan=cos(23n+a123),最小正周期 T=223=3,要使集合 S=cosan|n N 中只有两个元素,则由图象可知有两种情况:an=2k,an1=2k 23,an+1=2k+23,k Z 或 an=(2k 1),an1=(2k 1)23,an+1=(2k 1)+23,k Z,所以 S=1,12 或 S=1,12,所以 ab=12.故选:B.4 三角函数与导函数例 13(2023 年高考全国甲卷理 21)已知 f(x)=ax sinxcos3x,x (0,2).(1)若 a=8,讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)sin2x 恒成立,求 a 的取值范围.本题以三角函数、多项式函数为背景,构造了所要研究的函数.通过对函数性质的研究,试题全面考查了导数及其应用,这也是中学教学的重点和难点.试题的第(1)问面向全体考生,体现试题的基础性,利用导数就能得到函数的单调性,考查考生通过导数解决实际问题的能力、计算与转换的能力,体现函数与方程的数学思想在中学教学的应用.试题的第(2)问体现了试题的选拔性,通过构造函数,利用导数得到函数的单调性,进而利用单调性得到所要论证的不等式,考查了划归与转化的能力、分类讨论的能力、逻辑推理能力、数学运算能力,具有较好的选拔功能.四、结论与建议通过对核心素养下高考中三角函数考查情况的研究,我们可以得出以下结论:三角函数在高考数学中占据重要地位,与数学核心素养紧密相连;高考中对三角函数的考查重点主要集中在基础知识、解题技巧以及知识迁移能力等方面;题型设计灵活多样,既可以直接考查基础知识,也可以通过综合题的形式来考察学生的知识运用能力和解题技巧.针对以上结论,我们提出以下建议:在高中数学教学中应注重培养学生的核心素养,提高学生在解题过程中的抽象思维、逻辑推理和建模能力;加强对三角函数基础知识的巩固和提升,通过多样化的练习和题型设计来提高学生的解题技巧和知识迁移能力;鼓励学生在解决实际问题时运用所学知识,培养其解决实际问题的能力和创新思维.五、展望随着教育的不断发展,我们期待未来的高考对三角函数的考查会更加科学、更加全面.我们希望通过这样的考查方式,能够更好地评估学生的数学能力和核心素养,从而为他们的未来发展打下坚实的基础.同时,我们也希望教师和学生能更加重视对三角函数的学习和理解,不仅是为了应对高考,更是为了提高自己的数学素养和解决问题的能力.总的来说,核心素养下高考中三角函数的考查研究是一项重要的工作.它不仅关系到学生的未来发展,也关系到我们如何理解和改进教育工作.因此,我们应该对此给予足够的重视,以期为我们的教育改革做出贡献.参考文献1 普通高中数学课程标准 M.中华人民共和国教育部.人民教育出版社.202030中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)巧妙计数等腰三角形华南师范大学数学科学学院(510631)李彦姗韩彦昌摘要 本文以 2020 高中数学联赛模拟试题为背景,对其解法进行优化,并对题目进行探究、推广、变式,得到关于如何构造、计数等腰三角形的更巧妙的解法.关键词 n 边形及其边上的 m 等分点;等腰三角形的计数;排列组合1 原题呈现与解法分析原题呈现 从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点,则“这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为.原解法按照选取点中正方形顶点的个数进行分类,依次可以为 3、2、1、0 个,相应的等腰三角形个数为 C34+(41+20)+42+C34=20,因此所求概率为20C38=514.分析原解法以选中正方形顶点的个数来进行枚举分类,较为繁琐,且容易漏数,可以对解法作出以下优化.2 解法优化因为每个非等边的等腰三角形与这个三角形的顶点一一对应,所以对该题中所涉及到的 8 个点我们可以分为两类:一类是正方形顶点 Ai(i=1,2,3,4),第二类是正方形边上的中点 Bi(i=1,2,3,4).图 1如图 1 所示:以 A1为顶点可构造的等腰三角形有 3 个,以 B1为顶点可构造的等腰三角形有 2 个.根据对称性可知一共可构造(2+3)4=20 个等腰三角形.3 问题拓展与深化探究拓展一 从正 n 边形的顶点及各边的中点中随机选取三个点,能构成多少个等腰三角形?解对于正 n 边形顶点及各边中点,对这 2n 个点分为两类:一类是顶点 Ai(i=1,2,n),另一类是中点 Bi(i=1,2,n).分别计数以这两类点为顶点,能构造出等腰三角形个数即可.(1)先讨论以 A1为顶点能构造的等腰三角形个数.图 2如图 2,不论 n 为奇数还是偶数,除了 A1点及其对面的点以外,其余的 2n 2 个点两两组合,均可与 A1组成以 A1为顶点的等腰三角形,共2n 22=n 1 个.所以全部顶点Ai能组成的以 Ai为顶点的等腰三角形有 n(n 1)个.(2)再讨论以 B1为顶点能构造的等腰三角形个数.图 3如图 3,不论 n 为奇数还是偶数,除了 B1点所在边上全部点,及其对面的点以外,其余的 2n 4 个点两两组合,均可与 B1组成以 B1为顶点的等腰三角形,共2n 42=n 2个.所以全部顶点 Bi能组成的以 Bi为顶点的等腰三角形有n(n 2)个.(3)若 n 为 3 的倍数时2陈昂,任子朝,赵轩.高考中三角函数内容考查研究 J.数学通报,2018,57(10):44-47.3章建跃.三角函数教材落实核心素养的思考 J.中小学数学(高中版),2016(12):66.4郑灿基.2023 年高考全国卷数列试题评析及备考建议 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023(19):7-11.